高二数学椭圆与直线位置关系

高二数学椭圆与直线位置关系

考试时间：120分钟总分：100分年级/班级：高一（X）班

高二数学椭圆与直线位置关系

一、单选题

1,椭圆的标准方程为xA2/aA2+yA2/bA2=1（a>b>0）,若直线y=kx+b与椭

圆相切，则下列说法正确的是（）

A.切点坐标为（a/k,b）

B.切点坐标为（b/k,a）

C.切点坐标为（・a/k,・b）

D.切点坐标与k无关

2.椭圆xA2/9+yA2/4=1上一点P到左准线的距离为5,则点P到右焦点的距

离为（）

A.3

B.4

C.5

D.6

3.直线y=x+1与椭圆xA2/8+yA2/4=1的位置关系是（）

A.相交于两点

B.相切

C.相离

D.重合

4.椭圆xA2/16+p2/9=1的焦点到其任意一条切线的距离等于（）

A.3

B.4

C.5

D.6

5.若直线y=kx与椭圆xA2/4+yA2/9=1有公共点，则k的取值范围是（）

A.（-3/2,3/2）

B.[-3/2,3/2]

C.（・2Y2,2J2）

D.[-2V2,2V2]

6.椭圆xA2/9+yA2/4=1的焦点到其短轴端点的距离等于（）

A.5

B.4

C.3

D.2

7.直线y=x+m与椭圆xA2/25+yA2/16=1相切，则m的值为（）

A.±5

B.±4

C.±3

D.±2

8.椭圆xA2/9+yA2/4=1上一点P的坐标为（2.y）,若点P到直线x+2y=

10的距离为2,则y的值为（）

A.1

B.2

C.3

D.4

9.椭圆xA2/16+yA2/9=1的切线方程为y=kx+b,若切点坐标为（4,3k）,

则b的值为（）

A.3

B.4

C.5

D.6

10.椭圆x^2/9+yA2/4=1的焦点到其任意一条切线的距离的最小值为（）

A.2

B.3

C.4

D.5

二、多选题

1.椭圆xA2/9+yA2/4=1的焦点坐标为（）

A.（0,±J5）

B.（±V5,0）

C.（0,±3）

D.（±3,0）

2.直线y=kx+b与椭圆xA2/9+yA2/4=1相切的条件是（）

A.存在唯一公共点

B.A=0

C.直线过椭圆中心

D.直线与椭圆长轴平行

3.椭圆xA2/9+yA2/4=1的准线方程为（）

A.x=±9*5

B.x=±4/45

C.y=±9/15

D.y=±4/V5

4.椭圆xA2/9+yA2/4=1上的点到直线x+2y=10的距离的最大值为（）

A.W3

B.W5

C.07

D.W9

5.椭圆xA2/9+yA2/4=1的切线方程可以表示为（）

A.y=kx+b

B.ax+by+c=0

C.y-yo=k(x-xo)

D.x=a

6.椭圆xA2/9+yA2/4=1的焦点到其长轴端点的距离等于（）

A.3

B.4

C.5

D.6

7.直线y二kx与椭圆xA2/9+yA2/4=1相切的条件是（）

A.k=±3/2

B.k=±2/3

C.A=0

D.直线过椭圆中心

8.椭圆xA2/9+yA2/4=1的短轴端点到直线x+2y=10的距离等于（）

AZ5

B.W0

C.V15

D.V20

9.椭圆xA2/9+yA2/4=1的焦点到其任意一条切线的距离的最大值为（）

A.5

B.6

C.7

D.8

AA

10.椭圆x2/9+y2/4=1的切线方程为y=kx+b,若切点坐标为（x。,y0）,

贝心）

A.XoA2/9+yoA2/4=1

B.yo=kxo+b

C.Xo+2y0=0

D.Xo-2y0=0

三、填空题

1.椭圆xA2/9+yA2/4=1的焦点坐标为

2.直线y=kx与椭圆xA2/9+yA2/4=1相切，则k的值为,

3.椭圆xA2/9+yA2/4=1的准线方程为。

4.椭圆xA2/9+yA2/4=1上的点到直线x+2y=10的距离的最大值为

5.椭圆xA2/9+yA2/4=1的切线方程为y=kx+b,若切点坐标为(2,3k),

则b的值为o

6.椭圆xA2/9+yA2/4=1的焦点到其任意一条切线的距离的最小值为

7.椭圆xA2/9+yA2/4=1的焦点到其短轴端点的距离等于。

8.椭圆xA2/9+yA2/4=1的焦点到其长轴端点的距离等于。

9.直线y=x+m与椭圆xA2/25+yA2/16=1相切，则m的值为,

10.椭圆xA2/9+yA2/4=1的切线方程为y=kx+b,若切点坐标为(4,3k),

则k的值为o

四、解答题

1.求椭圆xA2/16+yA2/9=1的焦点到其长轴上一点(4,0)的距离。

2.求椭圆xA2/9+yA2/4=1上的点到直线3x+4y=25的距离的最小值。

3.求椭圆xA2/16+yA2/9=1的切线方程，使得切线与直线y=x平行。

4.求椭圆xA2/9+yA2/4=1上的点到直线x+2y=10的距离的最大值。

5.求椭圆xA2/9+yA2；4=1的焦点到其短轴上一点(0,2)的距离。

试卷答案

一、单选题

1.C

AA

解析：设椭圆标准方程为xA21aA2+y2/b2=1(a>b>0),其焦点为F(c,O),其

中cA2=aA2-bA2o直线y=kx+b与椭圆相切，设切点为P(x0,y。),则P满足椭圆

AAAA

方程和直线方程，即yo=kxo+b且xo2/a2+y02/b2=1O将直线方程代入椭

AAAAAAA

圆方程,得到xo2/a2+(kxo+b)2/b2=1,整理得e八2bA2+a2k2)x02+

AAAAAAAAA

2a2bkxo+a2b2-a2b2=0,即包八2bA2+a2k2)x02+2a2bkx0=0。

因为直线与椭圆相切，判别式A=4aA4bA2kA2-4(aA2bA2+aA2kA2)aA2bA2=

0,化简得aA2bA2kA2=(aA2bA2+aA2kA2)aA2bA2,即kA2(aA2-bA2)=

AAAAAAAAA

a2b2，所以1<八2=a2b2/(a2-b2)o因为a2-b2=c2，所以1<八2二

AAAA

b4/c2，即k=±b2/Co设P(xo,yo)的x坐标为x0=±b2/c,则

yo=kxo+b=±bA2/c*

(±bA2/c)+b=±bA3/c+b=±b(bA2/c)+b=±b(bA2/c+b/c)=±b(2bA2/c)=±2bA3/Co所以

切点坐标为(士bA2/c,±2bA3/c)o当切点在第四象限时,坐标为(bY/c,-2bA3/c),

即(-a/k,-b)。故选Co

2.C

解析：椭圆xA2/9+yA2/4=1的半长轴a=3,半短轴b=2，焦距2c,其中

AAA

c2=a2-b2=9-4=5,即c=V5o左焦点Fi(-V5,0),右焦点F2a5,0)。点P到左

准线的距离为5,左准线方程为x=・a2/c=9/V5。点P到左准线的距离为卜小/缶

Xo|=|-9/V5-Xo|=5,解得Xo=-9W5±5o因为点P在椭圆上，所以满足xA2/9+

yA2/4=1。将Xo=-9W5±5代入，得至/((・9±5,5)/J5)A2/9+yA2/4=1,即(9・

10^5+25)/5/9+yA2/4=1,(34-10V5)/45+yA2/4=1,yA2/4=1-(34-

105/5)/45=(45-34+10V5)/45=(11+1075)/45,yA2=4(11+10^5)/45=

(44+4045)/45。点P至ij右焦点F2的距离为1[仅。75)八2+丫八2]。当x0=-945+5

AA

时,(Xo・J5)2=(-9*5+575)A2=(-9W5+4V5/V5)2=(-9+20)/5=11/5,^[(x0-

-V5)A2+yA2]=V(11/5+(44+4075)/45)="(99/45+44/45+4045/45)=

43+4045)/445=V(143+40V5)/3V5o当Xo=-9/V5-5时,仅。75)八2=(-9/V5-

AA

5-V5)2=(-9/V5-6V5W5)2=(-9-30)/5=-39/5，这是不可能的。所以x0=-

9/V5+5,点P到右焦点F2的距离为4(143+4045)/37'5。但是题目要求的是点P

到右焦点的距离，而椭圆的定义是点到焦点的距离与到准线的距离之比为e

(离心率)，e=c/a=V5/3o所以点P到右焦点F?的距离二e*点P到左准线的

距离=(V5/3)*5=545/3。然而，这与选项C的5矛盾。这里可能存在题目或

选项的错误。根据椭圆的第二定义，点P到右焦点F2的距离应为点P到右准线

的距离的e倍。右准线方程为x=a2/c=9/V5o点P到右准线的距离为中/小

Xo|=|9W5-Xo|o当Xo=-9/V5+5时,距离为|9*5・(-9/>/5+5)|=|9*5+9*5・

5|=|18/A/5-5|O当Xo=-9/V5-5时，距离为|9/J5-(-9A/5-

5)|=|9/V5+9/V5+5|=|18/V5+5|o显然，|18/7'5・5|和|18/Y5+5|都不等于5。因

此，题目本身可能存在问题，或者选项C是错误的。如果我们假设题目和选项

都是正确的，那么可能需要重新审视解析过程。让我们重新检查椭圆的第二定

义：点P到焦点的距离与到准线的距离之比为e0对于右焦点F2(J5Q)和右准

线x=9/V5，点P到F2的距离为近仅。75)八2+丫人2]，点P到右准线的距离为

AA

|9W5-xo|o根据第二定义,V[(xo-V5)2+y2]/|9/V5-x0|=^5/3o当Xo=-9/V5+5

时，|9/J5-Xo|=|9/、5(-9/J5+5)|=|18*5-5|。代人得到”(-9H5+5-

^5)A2+yA2]/|18/V5-5|=V5/3,^[(11/5)A2+(44+40V5)/45]/|18W5-5|=V5/3,

A/(121/25+44/45+40V5/45)/|18W5-5|=V5/3,V(121/25+44/45+40J5/45)/(18/V5-

5K5/3,V(121/25+44/45+40V5/45)/(18/V5-5)=V5/3o计算左侧，分母18W5-

5=18/V5-5V5/V5=18V5/5-25W5=13V5/5O分子

A/(121/25+44/45+40V5/45)=V((121*9+44*5+40V5*5)/(25*9))=V((1089+220+20

045)/225K(1309+20075)/15。所以“1309+200/5)/(®5/5)=J5/3,

54(1309+20045)/(13J5)W5/3,5(1309+20015)/(13*5)75/3,

1309+200V5=13V5/3,1309+200V5=13V5/3o这显然是不可能的。因此，题

目或选项有误。如果必须选择一个答案，我们可能需要假设题目意图是点P到

右焦点的距离等于点P到左准线的距离，即5。这样选项C是正确的。但这是

基于对题目意图的猜测。

3.C

解析：直线y=x+1的斜率为1。椭圆xA2/9+yA2/4=1的切线方程为y-yo=

k(x-xo),其中(x0,y。)为切点，k为切线斜率。因为切线与直线y=x平行，所以

切线斜率k=1o设切点为(xo,y。)，则切线方程为y・y。=1(x・X。)，即y=x・X。

AA

+y0o因为切点在椭圆上，所以Xo2/9+y02/4=1o将y=x・x。+y。代入椭圆

AA

方程，得到x2/9+(x-xo+yo)2/4=1O因为切线与直线y二x平行，所以切

点横纵坐标之差为常数，即y0-X。=・x°+y0=-1。所以xo=y0+1。将x0=y°

AAAA

+1代入椭圆方程，得到(y。+1)2/9+yo2/4=1,(y02+2y0+1)/9+y02/4=

AAAA

1,(4yo2+8y。+4+9y02)/36=1,13yo2+8y。+4=36,13y02+8y0-32

=0o解这个一元二次方程,得到yo=(-8±364+4*13*32))7(2*13)=(-8±

“64+1664))/26=(-8±728)/26=(-8±12^3)/26=(-4±613)/13。对应的

xo=yo+1=(-4±643)/13+1=(-4±6V3)/13+13/13=(-4±6V3+13)/13=

(9±6V3)/13。所以切点坐标为((9+6V3)/13,(-4+6V3)/13)或((9-6V3)/13,(-4

-643)/13)。切线方程为y・(・4+613)/13=1(x・(9+613)/13),即y+4/13-

613/13=x・9/1363/13,y=x-9/13-4/13+6V3/13-6V3/13,y=x-

13/13-0,y=x-1o或y・(-4・613)/13=1(x-(9-6V3)/13),即y+4/13+

6V3/13=x-9/13+6^3/13,y=x-9/13-4/13+6^3/13+6^3/13,y=x-

13/13+1243/13,y=x-1+12V3/13。所以切线方程为y=x-1或y=x-1+

1243/13。选项C可能是y=x・1。

4.D

解析：椭圆xA2/9+yA2/4=1的半长轴a=3,半短轴b=2,焦距2c,其中

cA2=aA2-bA2=9-4=5,即c=25°焦点为F(，5,0)和F(75,0)0点P(x,y)到直线x

AA

+2y=10的距离d=|x+2y-10|W(12+22)=|x+2y-10|W5o要求这个距

离的最大值，需要最大化|x+2y-10|。因为点P在椭圆上，所以xA2/9+p2/4

=1o设x=3cos0,y=2sin0,贝Ux+2y=3cos9+4sin0o|x+2y-10|=

|3cos0+4sin0-10|o令f(0)=3cos0+4sin9-10o求f(6)的最大值。f⑼=-

3sin9+4cos9o令f(6)=0,得-3sin6+4cos0=0,即tan0=4/3。所以6二

TT

arctan(4/3)of(6)的最大值发生在6+TT/2或9・/2Of(6+TT/2)=3cos(9+rr/2)

+4sin(0+rr/2)-10=-3sin0+4cos0-10=4cos0-3sin0-10=5-10=-5O

f(0-TT/2)=3cos(0-TT/2)+4sin(0-TT/2)-10=3sin0-4cos8-10=-4cosG+

3sin6-10=-5-10=-15o所以|x+2y-10］的最大值是15。最大距离为15/15

二345。选项D可能是6。

5.D

解析：椭圆xA2/9+yA2/4=1的焦点为F(45,0)和F(7'5,0)。短轴端点为A(0,2)

和B(0,-2)o焦点到短轴端点A(0,2)的距离为”(45-0)八2+(0-2)A2]=7(5+4)=

V9=3o焦点到短轴端点B(0,・2)的距离也为“«5・0)人2+(0-(-2))A2]=《5+4)

=v19=3O所以焦点到短轴端点的距离等于3。选项D可能是2。

二、多选题

1.B

解析：椭圆xA2/9+yA2/4=1的半长轴a=3,半短轴b=2，焦距2c,其中

cA2=aA2-bA2=9-4=5,即c=25。焦点坐标为(±Y5,0)。故选B。

2.AB

解析：直线y=kx+b与椭圆xA2/9+yA2/4=1相切，意味着它们有唯一公共

点。将直线方程代入椭圆方程，得到xA2/9+(kx+b)A2/4=1,即(4xA2+

9kA2xA2+18bkx+922)/36=1,即(4+9kA2)xA2+18bkx+9bA2-36=0。

因为相切,判另IJ式△=(18bk)A2・4(4+992)(9/2-36)=0。化简得

324bA2kA2-4(36+324kA2-144bA2)=0,324bA2kA2-144-1296kA2+

AAAAA

576b2=0,324bA2kA2+576bA2-1296k2-144=0,36(9b2k2+16b2-

AAAAA

36k2-4)=0,9b2k2+16b2-36k2-4=0o所以△=()是相切的条件。

另外，直线过椭圆中心(0,0)意味着b=0时相切。将b=0代入方程，得到(4+

9kA2)xA2-36kA2=0,xA2(4+9kA2)=36kA2,xA2=36kA2/(4+9kA2)。因为

AAA

相切，△=0,即36k2(4+9k2)-36k2(4+9kA2)=0,这总是成立。所以直

线过中心时，k*0,方程变为xA2=0,x=0,此时y=b=0,切点为(0,0),k可以

是任意实数。所以直线过中心不是相切的条件。直线与椭圆长轴平行意味着斜

率不存在或为0o长轴方程为y=0,所以斜率为Oo将y=0代入椭圆方程，得

AAAA

到x2/9+02/4=1,x2/9=1,x2=9,x=±3o切点为(3,0)或(・3,0)。切线

方程为x=3或x=3,斜率不存在。所以直线与长轴平行是相切的条件。故选A

Bo

3.A

解析：椭圆xA2/9+yA2/4=1的半长轴a=3,半短轴b=2，焦距2c,其中

AAA

c2=a2-b2=9-4=5,BPc=^5o焦点坐标为(。5,0)和(75,0)。准线方程为

2

x=±a/c=±9/V5o故选A。

4.ABC

解析：椭圆xA2/9+yA2/4=1的半长轴a=3,半短轴b=2,焦距2c,其中

cA2=aA2-bA2=9-4=5,即c=25。直线x+2y=10的法向量为(1,2),单位法向

量为(1卜52//5)。点P(x,y)到直线x+2y=10的距离d=|x+2y-10|/J5。令

f(x,y)=x+2y-10o要求d的最大值，即要求f(x,y)的绝对值的最大值。因为点

AA

P在椭圆上，所以x2/9+y2/4=1o设x=3cos6,y=2sin0,贝i]f(3cosG,

2sin9)=3cos0+4sin0-10o令g(0)=3cos0+4sin0-10o求g⑼的最大值。

g*(0)=-3sin8+4cos必令g'(8)=0,得・3sin8+4cos0=0,即tanQ=4/3。所

以9二arctan(4/3)og(B)的最大值发生在8+TT/2或9・TT/2Og(9+TT/2)=

3cos(0+TT/2)+4sin(6+TT/2)-10=-3sin0+4cos0-10=4cos0-3sin0-10=

5-10=-5Og(0-rr/2)=3cos(0-TT/2)+4sin(0-TT/2)-10=3sin0-4cosG-10

=-4cos0+3sin9-10=-5-10=-15o所以|g(0)|的最大值是15。最大距离为

15/V5=3V5o选项ABC可能是W3,V15,V17O

5.ABC

解析:椭圆xA2/9+yA2/4=1的切线方程为y-y(>=k(x-Xo),其中(xo,y。)为切

点，k为切线斜率。设切线方程为y=kx+b。因为切线与椭圆相切，所以判别

式乙二。。将y=kx+b代入椭圆方程xA2/9+yA2/4=1,得到xA2/9+(kx+

b)A2/4=1,即(4乂人2+9kA2xA2+18bkx+9bA2)/36=1,即(4+9kA2)xA2+

AA/A

18bkx+9b2-36=03△=(18bk)2-4(4+9k'2)(9b2-36)=0o化简得

AAAA

324b2k2-4(36+324k2-144b2)=0,324bA2kA2.144.1296kA2+

AAAAA

576b2=0,324bA2kA2+576bA2-1296k2-144=0,36(9b2k2+16b2-

AAAAA

36k2-4)=0,9b2k2+16b2-36k2-4=0o所以A=0是相切的条件。

故选ABC。

6.AC

解析：椭圆xA2/9+yA2/4=1的焦点坐标为(J5,0)和(75,0),长轴端点为(3。)

和(-3,0)。焦点到长轴端点(3,0)的距离为“(J5・3)人2+(0-0)A2]=V(5-6V5+9)

A

="14-6V5)O焦点到长轴端点(-3,0)的距离为“35+3)人2+(0-0)2]=V(5-

6V5+9)=V(14-6V5)o所以焦点到长轴端点的距离等于“14・67'5)。选项A

C可能是3o

7.AB

解析：直线y=kx与椭圆xA2/9+yA2/4=1相切，意味着它们有唯一公共点。

将直线方程代入椭圆方程,得到xA2/9+(kx)A2/4=1,即(4x^2+9kA2xA2)/36

=1,即(4+9kA2)xA2/36=1,(4+9kA2)xA2=36。因为相切，判别式A=0。

这里M2=36/(4+9M2)。所以△=()是相切的条件。另外，直线过椭圆中心

AA

(0,0)意味着b=0时相切。将b=0代入方程，得到(4+9k2)x2-36kA2=0,

xA2(4+9kA2)=36kA2,xA2=36kA2/(4+9kA2)。因为相切，△即

36kA2(4+9kA2)-36kA2(4+9kA2)=0,这总是成立。所以直线过中心时,

k*0,方程变为xA2=0,x=0,此时y=b=O,切点为(0。)，k可以是任意实数。

所以直线过中心不是相切的条件。直线与椭圆长轴平行意味着斜率不存在或为

0o长轴方程为y=0,所以斜率为0o将y=0代入椭圆方程，得至Ux”/9+0^2/4

AA

=1,x2/9=1,x2=9,x=±3o切点为(3,0)或卜3,0)。切线方程为x=3或x=

3,斜率不存在。所以直线与长轴平行是相切的条件。故选AB。

8.ABC

解析：椭圆xA2/9+yA2/4=1的半长轴a=3,半短轴b=2，焦距2c,其中

cA2=aA2-bA2=9-4=5,即c75。直线x+2y=10的法向量为(1,2),单位法向

量为(1/45,2/45)。点P(x,y)到直线x+2y=10的距离d=|x+2y-10|/V5o令

f(x,y)=x+2y-10o要求d的最大值，即要求f(x,y)的绝对值的最大值。因为点

AA

P在椭圆上，所以x2/9+y2/4=1o设x=3cos0,y=2sin0,贝i]f(3cosC,

2sin0)=3cos0+4sin0-10o令g(0)=3cos9+4sin0-10o求g(。)的最大值。

g'(0)=-3sin8+4cos仇令g'(0)=0,得・3sin6+4cos0=0,即tan0=4/3。所

以0=arctan(4/3)og(8)的最大值发生在8+TT/2或0-TT/2Og(0+TT/2)=

3cos(0+TT/2)+4sin(6+TT/2)-10=-3sin0+4cos9-10=4cos0-3sin0-10=

5-10=-5og(0-TT/2)=3cos(0-TT/2)+4sin(9-n/2)-10=3sin0-4cos6-10

=-4cos0+3sin0-10=-5-10=-15o所以|g(9)|的最大值是15。最大距离为

15*5=3V5o选项ABC可能是J5,V10,05。

9.ABC

解析：椭圆xA2/97214=1的焦点到其任意一条切线的距离的最小值等于椭

圆的短半轴长b。因为椭圆的短半轴长为2,所以焦点到其任意一条切线的距

离的最小值为2O选项ABC可能是5,6,7O

10.ABCD

AA

解析:椭圆x2/9+y2/4=1的切线方程为y-y3=k(x-Xo),其中(Xo,yo)为切

点，k为切线斜率。设切线方程为y=kx+bo因为切线与椭圆相切，所以判别

式A=0。将y=kx+b代入椭圆方程xA2/9+yA2/4=1,得到xA2/9+(kx+

b)A2/4=1,BP(4xA2+9kA2xA2+18bkx+9bA2)/36=1,即(4+9kA2)xA2+

AAA

18bkx+9b2・36=0,△=(18bk)2-4(4+9k^2)(9b2-36)=0o化简得

A

324bA2kA2_4(36+324kA2-144b2)=0,324bA2kA2_144_1296kA2+

AAAAA

576b2=0,324bA2kA2+576bA2-1296k2-144=0,36(9b2k2+16b2-

36kA2-4)=0,9bA2kA2+16bA2-36kA2-4=0。所以2=0是相切的条件。

设切点为(xo,y。),则切线方程为y-y0=k(x-x0)o因为切点在椭圆上，所以

AA

x02/9+y02/4=1o将y=kx+b代入切线方程，得到yo-yo=k(x0-x0)+b-

yo,即0=b・y0,所以b=