湖南省长沙市望岳中学2023-2024学年高三数学理调研测试含解析

湖南省长沙市望岳中学2023年高三数学理调研测试含

解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

1.在等差数列{〃“}中，S”为前〃项和，则41=

A.33B.llC.50D.60

参考答案：

A

产=33智故选，

2.(5分)已知全集U=R,集合M={x|x?-x>0},则?()

A.{x0<x<1}B.{x|0WxWl}C.{x|xVO或x>l}D.{x|xWO或x云1}

参考答案：

B

【考点】：补集及其运算.

【专题】：集合.

【分析】：求出M中不等式的解集确定出M,根据全集U=R求出M的补集即可.

解：由M中不等式变形得：x(x-1)>0,

解得：xVO或x>l,即M={x|xVO或x>l},

•・•全集U=R,・・.?uM={x|OWxWl},

故选:B.

【点评】：此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键.

3.函数y=(e'-e')?sinx的图象大致是()

参考答案：

A

【考点】函数的图象.

【专期】函数的性质及应用.

【分析】通过函数的奇偶性，排除部分选项，然后利用OVxVn时的函数值，判断即

可.

【解答】解：困数f(-x)=(e'M-cx)(-sinx)=(e*-c'x)sinx=f(x),

・•・函数f(x)=Osin:《是偶函数，排除B、C；

当OVxVn时，f(x)>0,排除D.

・・・A满足题意.

故选：A.

【点评】本题考查函数的图象的判断，一般通过函数的定义域、值域.单调性，奇偶性，

变化趋势等知识解答.

4.已知R,K是椭圆,五十9°的两焦点，过点£.的直线交椭圆于48两点.在AARB

中，若有两边之和是10,则第三边的氏度为()

A.6B.5C.4

D.3

参考答案：

A

略

5.己知,•为虚数单位，复数z满足a*》.，则团=（）

A.彳B.2C.~2D.A/I

参考答案：

C

"占二国二£）"©，=孝

由题得$2222\222.故选c.

6.—空间几何体的三视图如图所示，则此空间几何体的直观图为

参考答案:

A

略

7.设数列□/是等差数列，且%+与+4=",则这个数列的前5项和（）

A.10B.15

C.20D.25

参考答案：

D

8.已知（［-2x）.展开式中，奇数项的二项式系数之和为64,则0-2万）・（1+”展开式中含

”2项的系数为

A.71B.70C.21D.49

参考答案:

B

略

9.(本小题满分12分)

若图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PDJ•平面ABCD,EC//PD,且

PD=2ECo

(1)求证:EC〃平面PAD；

(2)若N为线段PB的中点，求证：平面PEB1"平面PBD；

殁=々

(3)若彼一，求平面PBE与平面ABCD所成的二面角的大小。

参考答案：

证明：EC//PDEC<1fflPADXPDC®PAD；，EC〃面PAD；ABE#®PAD

(1)证明：取BD的中点0,连NO、CO,易知，C01BD：XVC01PD;AC01

面PBD。PD=2EC

EC//PD,又DO=OB,PY=NB・・・NO〃PD且PD=2N0;.二NO〃EC且NO=EC;.=四边形NOBE

是平行四边形；・・・EN〃CO;・・・ENL面PBD。又ENU面PBD；J平面PEB_L平面PBD

(2)建立如图的空间直角坐标系，令EC=1,则PD=—

D(0,0,0)；P(0,0,2)；B(后,0,0)；D(0,/，1)；

面ABCD的法向量〃”RD=(0,0,2)

“，•PB=q

r4­>।r

令面PBE的法向量也;(x,y,z),则M•尸2=°；则小=(1,1,尤)

・・.cos8=2；♦,.e=4

略

10.定义集合运算：'"={z|z=»,xwAyw@设，={1,2}产{0,2},则集合

A*B的所有元素之和为

A.0B.2C.

3D.6

参考答案：

【解析】：。.因"3:(024},

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

,()[ar工40

II.已知函数I，r21工>。的图象恰好经过三个象限，则实数。的取值范

围是.

参考答案：

a(。或a>2

【分析】

分类讨论函数的单调性，计算/(X)在上的最小值，根据函数经过的象限得出最小

值与零的关系，从而求出实数"的取值范围.

【详解】(1)当a<。时，/㈤在(~®・°】上单调递减，又/◎=",所以函数a)的图

象经过第二、三象限，

=2-(<1-加-2.K.2

当x>0时,/-(a+Dx+Z0<x<2

所以

①若，T时，人力＞°恒成立，乂当XTO•时，/（*）T2,所以函数/（X）图象在

工＞0时，经过第一象限，符合题意;

②若/8＞°在22）上恒成立，当0＜“＜2时，令/㈤=0.解

N33,所以/㈤在IV',上单调递减，在I"',上单调递增，

＜用=誓借"借*T用用＞。

所以函数/（X）图象在”＞0时一，经过第一象限，符合题意；

（2）当。=0时，/㈤的图象在上，只经过第三象限，八力＞°在（。收）上恒

成立，所以/（X）的图象在（°・…）匕只经过第一象限，故不符合题意：

（3）当。＞0时，/（*）在（T60）上单调递增，故/（*）的图象在（T町°）上只经过第二象

限，所以/（X）在（@也®）上的最小值.W＜°,

”=户

当0＜工＜2时，令=解得\3,

若＜时，即。＜11时，/㈤在（0・3上的最小值为

/罔卜+手用

X用心竽用＜j"2"＜"

若时，则/□）在0＜“＜却寸，单调递减,

心-】

当XN2时，令/Xd=。，解得3,

若,/㈤在(Z3上单调递增，故/㈤在33上的最小值

为，⑵二8一%，令8—2<1<0=><1>4,所以11£。<13；

“2=23,/团在卜咛）

上单调递减，在上单调递增,

故/W在(。水》)上的最小值为U3J3V3,

一丝写一2<。

显然3J3,故。？13：

结上所述：。<。或[>2.

【点睛】本题考查了函数单调性的判断和最值计算，考查了数学运算能力.

12.设卜】表示不超过x的最大整数，如[M=3,[Y3]=-5,给出下列命题:

⑴对任意的实数X,都有7<卜卜，。°：

(2)若天，叼，则[x』"[xj：

(3)[lgl]+[lg2]+[lg3]+[lg4]+...+[lg2015]=4938o

其中所有真命题的序号是

参考答案：

(1)(2)(3)

13.若a£(0,2)且cos2a+cos(2+2a)=10,则tana=.

参考答案：

1

~3

【考点】三角函数中的恒等变换应用：同角三角函数基本关系的运用.

【分析】首先根据诱导公式和同角三角函数的关系式进行恒等变换，整理成正切函数的关

系式，进一步求出正切的函数值.

兀3

【解答】解：cos2a+cos(T+2a)=lo,

cos2a一sin2a=L

则：10,

cos2a-2sinClcosa_3

则：sin2Cl+cos2Ct1。，

整理得：3tan2a+20tana-7=0,

所以：(3tana-1)(tana+7)=0

,a)

解得：tan3或tana=-7,

7T

由于：aG(0,2),

所以：tana4

故答案为：~3

14.已知集合A={0」,2,8},B={那么AC"=▲.

参考答案：

{1，8}

分析：根据交集定义A，'B{xxJXBxWB}求结果.

详解：由题设和交集的定义可知：ADB={1.8}.

15.若数列S・）满足，=1,

设2=a+4%+42%+…yZ/,类比课本中推导等比数列前左项和公式的方法,

可求得5SJ4”4=.

参考答案：

n

16.已知双曲线。'2(a>0)的离心率为2,则“的值为

参考答案:

返

3

【分析】求得双曲线的b?=2,由c/a2+b」和解关于z的方程，即可得到所求

值.

22

工工7

2o

【解答】解：由双曲线a"(a>0)得到b?=2,

2

则c=Va+2,

所以

返

解得a=3.

返

故答案是：3.

【点评】本题考直双曲线的方程和性质，注意运用离心率公式和基本量a,b,c的关系,

考查方程思想和运算能力，属于基础题.

3

XV=1

17.已知双曲线a?b2的渐近线方程是了=拉，那么此双曲线的离心率

为

参考答案:

略

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.(14分)如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，侧楂PA1底面

ABCD,且PA=2,E是彳则棱PA上的动点.

(I)求四棱锥P-ABCD的体积；

（2）如果E是PA的中点，求证：PQI平面BDE；

（3）是否不论点E在侧棱PA的任何位置，都有BD_LCE?证明你的结论.

【考点】白线与平面平行的判定：棱锥的结构特征.

【分析】（1）利用四棱锥的体积计算公式即可：

（2）利用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理即可证明：

（3）利用线面垂直的判定和性质即可证明.

【解答】解:（I）底面ABCD,.'PA为此四极锥底面上的高.

.V.玄s正方形ABCDxpWxl2x2q

・・V网校你P-ABCD-J-JJ・

（2）连接AC交BD于O,连接OE.

•••四边形ABCD是正方形，.*.AC）=OC,

XvAE=EP,.-.OEUPC.

又'PC?平面BDE,0E?平面BDE.

•••PCI平面BDE.

（3）不论点E在侧棱PA的仁何位置，都有BDKE.

证明：•.•四边形ABCD是正方形，.•.BD1AC.

••PA工底面ABCD,.-.PA1BD.

又•••PAnAC=A,

••.BDL平面PAC.

•••CE?平面PAC.

/.BDICE.

p

【点评】熟练掌握线面平行、垂直的判定和性质定理及四棱锥的体积计算公式是解题的关

键.

19.选修4-4：坐标系与参数方程

在苴角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程

rx卜"

0=20COS(84—)_1A,

为4,直线/的参数方程为卜=一】《‘，(I为参数)，直线/和圆C交

于A,8两点，〃是圆C上异于A,8的任意一点.

(I)求圆。的参数方程.

(II)求APAB面积的最大值.

参考答案：

解：

(I胭C的普通方程为'♦/f?1y=0,即=

圆C的参数方程

卜="*"仲参数)

[jr=-l+v2sm^

」=叫里立“立

(H)易知直线,为“一＞-1=°,圆心到直线的距离、42

\AB\==y[6血♦*

V2，由几何图形可知P到直线AB的最大距离为22

二AZM月面积的最大值为2“*3r

x=4i

2

y=ll—/

20.平面直角坐标系xO）,中，直线/的参数方程为I2（.为参数），以坐标原点

为极点，、轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为'二2媪＞“

（I）求直线/的极坐标方程及曲线。的直角坐标方程；

（2）若是直线/上一点，I3J是曲线。上一点，求冏的最大值.

参考答案：

(1)辰—-=0,74-2尸=0-2)2

【分析】

（1）消去参数可得普通方程，极空标与直角坐标互化公式可得答案;

（2）根据极坐标的几何意义以及三角函数的最值可得答案.

【详解」（【）由题，直线।的参数方程为（其中上为参数）.

消去参数上得直线I的直角坐标方程为辰一/-2=0,

由r2=上0媪，=几得直线।的极坐标方程°（超皿外向°）=2,

pcosf1=1

即I6)

曲线C的极坐标方程为夕=200,所以"・2夕mJ,

由。’0而©=几得曲线。的直角坐标方程为？+/一2y二。

⑵因为曲㈤在直线I上，））在曲线Ch,

Acos（a.：）=[0=2siB（a_；）=_2cos（a_：.：）=_2cos（a.：）

所以1以1同「I61，

WI

卬I的最大值为2.

【点睛】本题考查了参数方程化普通方程,考查了极坐标与直角坐标互化公式，考查了极坐

标的几何意义，考查了三角函数的最值,属于中档题.

21.设数列的前n项和为用,如果号”为常数，则称数列SJ为“科比数

列”。

（I）等差数列（娼的首项为1,公差不为零，若（4｝为“科比数列”，求电）的

通项公式；

（2）数列kJ的各项都是正数.前n项和为若…+U=S；对任

意〃WM都成立，试推断数列匕）是否为“科比数列”？并说明理由。

参考答案：

解：（1）设等差数列SJ的公差为，因为4=1,

则";帅即2+M7d=4计2*所1足

整理得，（4E-1加+（2左-l）（2-d）;。4分

J=2

2（4左-1）=01

<Jt--

因为对任意正整数界上式恒成立，则IQ七-D（2-d）=0,解得I-4.......6分

故数列的通项公式是义=2T........7分

⑵由己知，当”1时,因为q＞。，所以

q=i.............