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*第62课时圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题第八章解析几何

名师点评：圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：如设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m，0)．(2)特殊到一般法：定点问题，先猜后证，可先考虑运动图形是否有对称性及特殊(或极端)位置猜想，如直线的水平或竖直位置，即k＝0或k不存在．

当m＝2k＋3时，y＝kx＋m＝kx＋2k＋3＝k(x＋2)＋3，则直线l过定点(－2，3)；当m＝－4k＋3时，y＝kx＋m＝kx－4k＋3＝k(x－4)＋3，则直线l过定点P(4，3)，不合题意．综上可得，直线l过定点(－2，3)．

即[(3m2－1)t＋3m2－5](t－1)＝0对任意m∈R恒成立，∴t＝1，即以PQ为直径的圆经过定点(1，0)．当直线PQ斜率为0时，圆的方程为x2＋y2＝1，过定点(1，0)．综上，以PQ为直径的圆经过定点(1，0)．技法二

直接法解决定值问题[典例2]已知动点M到直线x＋2＝0的距离比到点F(1，0)的距离大1．(1)求动点M所在的曲线C的方程；(2)已知点P(1，2)，A，B是曲线C上的两个动点，如果直线PA的斜率与直线PB的斜率互为相反数，证明直线AB的斜率为定值，并求出这个定值．[解]

(1)动点M到直线x＋2＝0的距离比到点F(1，0)的距离大1，等价于动点M到直线x＝－1的距离和到点F(1，0)的距离相等，由抛物线的定义可得，动点M的轨迹是以F(1，0)为焦点，以直线x＝－1为准线的抛物线，可得p＝2，抛物线开口向右，∴曲线C的方程为y2＝4x．

名师点评：求解定值问题的两大途径(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．

名师点评：定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题．这类问题的核心在于确定动点的轨迹，主要方法如下：(1)设点法：设点的轨迹，通过已知点轨迹，消去参数，从而得到轨迹方程．(2)待定系数法：设出含参数的直线方程，待定系数法求解出系数．(3)验证法：通过特殊点位置求出直线方程，对一般位置再进行验证．

课后作业(六十二)圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题

3．(2026·贵州黔南模拟)如图，圆E：(x＋1)2＋y2＝16，F(1，0)是圆E内一个定点，M是圆E上任意一点．线段MF的垂直平分线l和半径EM相交于点N，当点M在圆上运动时，记动点N的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程．(2)设曲线C与x轴从左到右的交点为A，B，P为曲线C上异于A，B的动点，设PA交直线x＝－4于点T，连接BT交曲线C于点Q，直线BP，BQ的斜率分别为kBP，kBQ．

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