42　第六章　第42课时　等比数列

第42课时等比数列第六章数列[考试要求]1．理解等比数列的概念．2．掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．3．了解等比数列与指数函数的关系．以题引理·激活思维

√

2．(人教A版选择性必修第二册P37例9改编)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S4＝15，则S6＝(

)A．31 B．32C．63 D．64C

[根据题意知，等比数列{an}的公比q≠－1．由等比数列的性质，得(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，即122＝3×(S6－15)，解得S6＝63．]√3．(湘教版选择性必修第一册P26例2改编)下列结论中正确的是(

)A．三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝acB．当公比q>1时，等比数列{an}为递增数列C．如果数列{lnan}为等差数列，则数列{an}是等比数列D．若数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列√C

[对于A，当a＝b＝c＝0时，b2＝ac，但三个数a，b，c不成等比数列；对于B，首项a1正负不知；对于D，不能排除公比q＝－1的情况．故ABD错误，故选C．]4．(人教B版选择性必修第三册P37练习BT5改编)在递增等比数列{an}中，a1a3＝36，a2＋a4＝60，则a1＝_________，q＝________．

235．(苏教版选择性必修第一册P161习题4.3(1)T13改编)已知三个数成等比数列，若它们的和等于13，积等于27，则这三个数为_________________．

1，3，9或9，3，1

2同一个常数公比2．等比中项如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么__叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab．提醒：在等比数列中，奇数项同号，偶数项同号．G3．等比数列的通项公式(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝_______，其推导方法是累乘法．通项公式的推广：an＝amqn-m．(2)①当q>1，a1>0或0<q<1，a1<0时，数列{an}是递增数列；②当q>1，a1<0或0<q<1，a1>0时，数列{an}是递减数列；③当q＝1时，{an}是常数列．a1qn-1

提醒：求等比数列的前n项和时，若公比q不明确，需分类讨论．na1

精研考点·提升素养√2

名师点评：等比数列基本量的运算的解题策略(1)等比数列中涉及a1，n，q，an，Sn五个量，一般可以通过列方程(组)达到“知三求二”．(2)解方程组时常常利用“作商”消元法．提醒：运用等比数列的前n项和公式时，一定要注意公比q的讨论(q＝1或q≠1)，否则会造成漏解或增解．

√

2．(多选)我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意为有一人走378里路，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，则下列说法正确的是(里为古代计量长度的单位)(

)A．此人第五天走的路程为12里B．此人第三天走的路程为42里C．此人前三天共走的路程为330里D．此人最后三天共走的路程为42里√√

3．已知等比数列{an}共有2n＋1项，a1＝1，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则公比q＝_____________．2

[依题意，知a1＋a3＋a5＋…＋a2n+1＝85，即a2q＋a4q＋…＋a2nq＝84，而a2＋a4＋…＋a2n＝42，所以q＝2．]2

√

2．(2023·北京卷)我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量(单位：铢)从小到大构成项数为9的数列{an}，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且a1＝1，a5＝12，a9＝192，则a7＝__________，数列{an}所有项的和为_____________．48384

考点二

等比数列的判定与证明[典例2]记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝2，a2＝－1，且an+2＋an+1－6an＝0(n∈N*)．(1)证明：{an+1＋3an}为等比数列；(2)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn．

名师点评：判定一个数列为等比数列的常见方法[巩固迁移]4．已知Sn为等比数列{an}的前n项和，a4＝9a2，S3＝13，且公比q>0．(1)求an及Sn．(2)是否存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

√√

2．已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列{an}是等比数列；②数列{Sn＋a1}是等比数列；③a2＝2a1．

3．已知数列{an}和{bn}满足a1＝3，b1＝2，an+1＝an＋2bn，bn+1＝2an＋bn．(1)证明：{an＋bn}和{an－bn}都是等比数列；(2)求{anbn}的前n项和Sn．[解]

(1)证明：因为an+1＝an＋2bn，bn+1＝2an＋bn，所以an+1＋bn+1＝3(an＋bn)，an+1－bn+1＝－(an－bn)，又由a1＝3，b1＝2得a1－b1＝1，a1＋b1＝5，所以数列{an＋bn}是首项为5，公比为3的等比数列，数列{an－bn}是首项为1，公比为－1的等比数列．

考点三

等比数列性质的应用[典例3]

(1)(2025·江苏南通三模)在等比数列{an}中，a5a6a7＝8，a2＋a6＝20，则a4＝(

)A．36 B．±6 C．－6 D．6(2)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a4＋a5＋a6＝－3，a7＋a8＋a9＝9，则S15＝(

)A．81 B．71 C．61 D．51√√

名师点评：应用等比数列性质的两个关注点

√

√√√

7．(2023·全国乙卷)已知{an}为等比数列，a2a4a5＝a3a6，a9a10＝－8，则a7＝_____________．

－2法二：设数列{an}的公比为q．因为a4a5＝a3a6≠0，而a2a4a5＝a3a6，所以a2＝1．又a9a10＝a2q7·a2q8＝q15＝－8，于是q5＝－2，所以a7＝a2q5＝－2．]

√√BD

[对于A，若a1＝－b1且数列{an}，{bn}公比相等，则a1＋b1＝0，显然{an＋bn}不是等比数列，A错误；对于B，设{an}的公比为q，而S3＝a1(1＋q＋q2)，S6－S3＝a4＋a5＋a6＝a1(q3＋q4＋q5)＝q3S3，S9－S6＝a7＋a8＋a9＝a1(q6＋q7＋q8)＝q3(S6－S3)，所以S3，S6－S3，S9－S6是公比为q3的等比数列，B正确；

一、单项选择题1．已知等比数列{an}中，a3＝3，a7＝27，则a5＝(

)A．15 B．9C．－9 D．±9

题号1352468791011121314课后作业(四十二)等比数列√题号21345687910111213142．(2025·山东滨州二模)设{an}为等比数列，且a2＋a3＝3，a3＋a4＝6，则a7＋a8＝(

)A．12 B．24C．48 D．96√

题号2134568791011121314√

题号2134568791011121314√

题号2134568791011121314

题号2134568791011121314√

题号2134568791011121314

题号2134568791011121314√

题号21345687910111213147．数列{an}中，a1＝2，am+n＝aman，若ak+1＋ak+2＋…＋ak+10＝215－25，则k＝(

)A．2 B．3C．4 D．5题号2134568791011121314√

题号21345687910111213148．(2023·天津卷)已知{an}为等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，an+1＝2Sn＋2，则a4的值为(

)A．3 B．18C．54 D．152题号2134568791011121314√

题号2134568791011121314

题号2134568791011121314√√

题号2134568791011121314

题号2134568791011121314√√√

题号2134568791011121314三、填空题11．(2025·广东揭阳三模)已知正项等比数列{an}满足a1＝1，6a1，a3，4a2成等差数列，则其公比为_____________．题号213456879101112131433

[设{an}的公比为q(q>0)，又因为6a1，a3，4a2成等差数列