11　第二章　第11课时　幂函数与二次函数

第11课时幂函数与二次函数第二章函数的概念与性质[考试要求]

1．通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律．2．掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)，能用二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系解决简单问题．以题引理·激活思维

√

√

3．(北师大版必修第一册P65习题2－3A组T2改编)函数f(x)＝－2x2＋4x，x∈[－1，2]的值域为(

)A．[－6，2]

B．[－6，1]C．[0，2] D．[0，1]√A

[函数f(x)＝－2x2＋4x图象的对称轴为直线x＝1，则f(x)在[－1，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，∴f(x)max＝f(1)＝2，f(x)min＝f(－1)＝－2－4＝－6，即f(x)的值域为[－6，2]．]4．(人教B版必修第一册P139复习题A组T8改编)已知y＝f(x)为二次函数，若y＝f(x)在x＝2处取得最小值－4，且y＝f(x)的图象经过原点，则函数解析式为_________________．f(x)＝x2－4x

[由题意，可设f(x)＝a(x－2)2－4(a>0)，又图象过原点，所以f(0)＝4a－4＝0，a＝1，所以f(x)＝(x－2)2－4＝x2－4x．]f(x)＝x2－4x5．(人教A版必修第一册P91练习T2改编)已知a＝0.40.3，b＝0.30.3，c＝0.30.4，则a，b，c的大小关系是________．(用“<”连接)c<b<a

[由指数函数、幂函数的单调性可知0.30.4<0.30.3，0.40.3>0.30.3，即c<b<a．]c<b<a1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，函数________叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．y＝xα(2)常见的五种幂函数的图象2．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)＝__________________________．顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为__________．零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的____．ax2＋bx＋c(a≠0)(m，n)零点(2)二次函数的图象和性质函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0)图象(抛物线)定义域R值域

对称轴方程顶点坐标奇偶性当______时是偶函数，当______时既不是奇函数也不是偶函数单调性

b＝0b≠0减增增减

精研考点·提升素养√

√

名师点评：幂函数的性质及应用若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α>0；若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递减，则α<0．提醒：在比较幂值的大小时，结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．

√√√

√

2．幂函数f(x)＝(m2－3m－3)xm在区间(0，＋∞)上单调递减，则下列说法正确的是(

)A．m＝4 B．f(x)是减函数C．f(x)是奇函数 D．f(x)是偶函数√

考点二

二次函数的图象与解析式[典例2]已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，则f(x)＝______________．

－4x2＋4x＋7

名师点评：研究二次函数图象及解析式应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取零点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向．[巩固迁移]3．函数f(x)＝ax2＋2x＋1与g(x)＝xa在同一平面直角坐标系中的图象不可能为(

)A

BC

D√B

[对于A，二次函数的图象开口向下，所以a<0，此时g(x)＝xa在(0，＋∞)上单调递减，与图中符合；对于B，二次函数的图象开口向上，所以a>0，此时g(x)＝xa在(0，＋∞)上单调递增，与图中不符合；对于C，二次函数的图象开口向上，所以a>0，此时g(x)＝xa在(0，＋∞)上单调递增，与图中符合；对于D，二次函数的图象开口向上，所以a>0，此时g(x)＝xa在(0，＋∞)上单调递增，与图中符合．]

f(x)＝x2－4x＋5(答案不唯一)

【教用·备选题】(多选)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图所示，图象过点A(－3，0)，对称轴为直线x＝－1，则(

)A．b2>4ac

B．2a－b＝1C．a－b＋c＝0 D．5a<b√√

考点三

二次函数的单调性与最值[典例3]已知函数f(x)＝x2－tx－1．(1)若f(x)在区间(－1，2)上不单调，求实数t的取值范围；(2)若x∈[－1，2]，求f(x)的最小值g(t)．

【拓展变式】本例条件不变，求当x∈[－1，2]时，f(x)的最大值G(t)．

名师点评：二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．无论哪种类型，解题的关键都是图象的对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．[巩固迁移]5．设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值．[解]

f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，函数图象的对称轴为直线x＝1．当t＋1≤1，即t≤0时，函数图象如图1所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上单调递减，所以最小值为f(t＋1)＝t2＋1．

√

2．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，恒有f(x＋1)－f(x)＝2x＋2，f(0)＝－2．(1)求函数f(x)的解析式；(2)设g(x)＝f(x)－mx，若函数g(x)在区间[1，2]上的最大值为3，求实数m的值；(3)若h(x)＝[f(x)－x2＋2]·|x－a|，a∈R，若函数h(x)在[－2，2]上是单调函数，求实数a的取值范围．[解]

(1)由f(x＋1)－f(x)＝2x＋2，得a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c－ax2－bx－c＝2x＋2，则2ax＋a＋b＝2x＋2，所以2a＝2且a＋b＝2，解得a＝1，b＝1，又f(0)＝－2，则c＝－2，故f(x)＝x2＋x－2．

一、单项选择题1．已知幂函数f(x)＝(m2＋2m－2)xm+2在(0，＋∞)上单调递增，则m的值为(

)A．1 B．－3C．－4 D．1或－3题号1352468791011121314课后作业(十一)幂函数与二次函数√

题号1352468791011121314题号2134568791011121314

A

B

C

D√

题号2134568791011121314√

4．(2025·云南昭通期中)已知幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm是R上的偶函数，且函数g(x)＝f(x)－2ax在区间[1，3]上单调递减，则实数a的取值范围是(

)A．[3，＋∞) B．(－∞，1]C．(－∞，1) D．(－∞，1]∪[3，＋∞)题号2134568791011121314√A

[因为幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm是R上的偶函数，则m2－3m＋3＝1，解得m＝1或m＝2，当m＝1时，f(x)＝x，该函数是奇函数，不符合题意；当m＝2时，f(x)＝x2，该函数是定义域为R的偶函数，符合题意，所以f(x)＝x2，则g(x)＝x2－2ax，函数图象的对称轴方程为x＝a，因为g(x)在区间[1，3]上单调递减，所以a≥3．故选A．]题号2134568791011121314

题号2134568791011121314√

题号2134568791011121314

题号2134568791011121314√

题号2134568791011121314

题号2134568791011121314√√√

题号2134568791011121314

题号21345687910111213148．已知函数f(x)＝x2－2x＋a(a>0)，实数m满足f(m)<0，则下列关系一定成立的是(

)A．f(m＋1)>0 B．f(m＋2)>0C．f(m－1)<0 D．f(m－2)>0题号2134568791011121314√√

题号2134568791011121314三、填空题9．幂函数f(x)＝xα(α∈R)满足：任意x∈R都有f(－x)＝f(x)，且f(－1)<f(2)<2．请写出符合上述条件的一个函数f(x)＝_________________．题号2134568791011121314

题号2134568791011121314

－2

题号2134568791011121314

题号2134568791011