02　第一章　第2课时　常用逻辑用语

第2课时常用逻辑用语第一章集合、常用逻辑用语、不等式[考试要求]

1．理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系．2．理解全称量词和存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定．1．(人教A版必修第一册P34复习参考题1T5改编)对任意实数a，b，c，在下列命题中，是真命题的为(

)A．“ac>bc”是“a>b”的必要条件B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件C．“ac>bc”是“a>b”的充分条件D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件以题引理·激活思维√

2．(苏教版必修第一册P47T10改编)若命题“∀x∈R，x2＋1≥m”是真命题，则实数m的取值范围是(

)A．(－∞，1] B．(－∞，1)C．[1，＋∞) D．(1，＋∞)A

[因为命题“∀x∈R，x2＋1≥m”是真命题，所以m≤(x2＋1)min，又因为y＝x2＋1≥1，所以(x2＋1)min＝1，所以m≤1．故选A．]√3．(多选)(人教A版必修第一册P29探究改编)下列说法正确的是(

)A．命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题B．命题“∀x∈R，x2＋1<0”是全称量词命题C．命题“∃x∈R，x2＋2x＋1≤0”的否定是真命题D．命题“有一个偶数是素数”是真命题√√BD

[命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题，不是存在量词命题，所以该命题是假命题；命题“∀x∈R，x2＋1<0”是全称量词命题，所以该命题是真命题；命题“∃x∈R，x2＋2x＋1≤0”，如x＝－1，所以该命题是真命题，故其否定是假命题；命题“有一个偶数是素数”是真命题，如2，所以该命题是真命题．故选BD．]

√5．(人教B版必修第一册P38习题1－2BT5改编)若集合A＝{x|(x＋2)(x－3)<0}，B＝{x|3－m≤x≤5＋m}，且“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则实数m的取值范围为_________________．

[5，＋∞)1．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的______条件，q是p的______条件p是q的__________条件p⇒q且q

pp是q的必要不充分条件____________p是q的充要条件______p是q的________________条件p

q且qp充分必要充分不必要p⇔qpq且q⇒p既不充分也不必要[二级结论]

从集合的角度理解充分必要性设p，q成立的对象构成的集合分别为A，B．(1)p是q的充分不必要条件⇔A⫋B；(2)p是q的必要不充分条件⇔A⫌B；(3)p是q的充要条件⇔A＝B；(4)p是q的既不充分也不必要条件⇔A与B没有包含关系．2．全称量词命题与存在量词命题

全称量词及其命题存在量词及其命题量词所有的、任意一个存在一个、至少有一个符号∀∃命题形式∀x∈M，p(x)∃x∈M，p(x)否定______________________________________∃x∈M，¬p(x)∀x∈M，¬p(x)1．含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．2．充分、必要条件的常用判定方法：定义法、集合法和等价转化法．3．“A的充分不必要条件是B”是指B⇒A，且A

B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A⇒B，且B

A．考点一

充分、必要条件考向1

充分、必要条件的判定与探求[典例1]

(1)(2025·天津卷)设x∈R，则“x＝0”是“sin2x＝0”的(

)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件(2)(多选)ab＋b－a－1＝0的一个充分不必要条件可以是(

)A．a＝－1 B．a＝bC．b＝1 D．ab＝1精研考点·提升素养√√√

考向2

充分、必要条件的应用[典例2]

(2025·吉林延边一模)若“x≥m”的充分不必要条件是“0≤x<1”，则实数m的取值范围是(

)A．m<0 B．m≤0C．m>0 D．m≥0√B

[由“x≥m”的充分不必要条件是“0≤x<1”，得{x|0≤x<1}⊆{x|x≥m}，但{x|0≤x<1}≠{x|x≥m}，所以m≤0．故选B．]考向3

充分、必要条件的证明[典例3]证明：“m<0”是“关于x的方程x2－2x＋m＝0有一正一负根”的充要条件．[证明]

充分性：若m<0，则关于x的方程x2－2x＋m＝0有一正一负根，证明如下：当m<0时，Δ＝(－2)2－4m＝4－4m>0，所以方程x2－2x＋m＝0有两个不相等的实根．设两根分别为x1，x2，则x1x2＝m<0，所以方程x2－2x＋m＝0有一正一负根，故充分性成立．

名师点评：(1)应用集合之间的关系解答充分条件、必要条件求参数问题时需注意区间端点值的检验；(2)充要条件的证明要落实充分性和必要性两个层面的证明，特别注意逻辑推理的方向性．[巩固迁移]1．(2025·上海三模)a，b∈R，请从以下选项中选出“a>b”的充分条件(

)A．3a>4b B．a2>b2C．a>|b| D．2a>3b√C

[对于A，若a＝－4，b＝－3.5，满足3a>4b，不满足a>b，故A不是充分条件；对于B，当a＝－2，b＝1满足a2>b2，不满足a>b，所以B不是充分条件；对于C，若a>|b|，又因为|b|≥b，所以a>b，所以C是充分条件；对于D，a＝－3，b＝－2，满足2a>3b，不满足a>b，故D不是充分条件．故选C．]2．(多选)已知关于x的方程x2＋ax＋a＋3＝0，则(

)A．当a＝2时，方程有两个不相等的实数根B．方程无实数根的一个充分条件是－2<a<4C．方程有两个不相等的负根的充要条件是a>6D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是a<－4√√BC

[对于A，当a＝2时，x2＋2x＋5＝0，此时Δ＝22－4×1×5＝－16<0，方程没有实数根，故A错误；对于B，方程无实数根的充要条件是Δ＝a2－4×1×(a＋3)<0，即－2<a<6，所以方程无实数根的一个充分条件是{a|－2<a<6}的子集，显然－2<a<4符合，故B正确；

【教用·备选题】1．(2024·天津卷)设a，b∈R，则“a3＝b3”是“3a＝3b”的(

)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件√C

[根据立方的性质和指数函数的性质，a3＝b3和3a＝3b都当且仅当a＝b时成立，所以二者互为充要条件．故选C．]

√D

[ln(x＋1)<0等价于0<x＋1<1，即－1<x<0．因为－1<x<0可以推出x<0，而x<0不能推出－1<x<0，所以“x<0”是“－1<x<0”的必要不充分条件，所以“ln(x＋1)<0”的一个必要不充分条件是“x<0”．故选D．]3．(2025·浙江绍兴二模)已知集合A，B，C均为非空集合．若a∈B是a∈A的充分不必要条件，a∈A是a∈C的充分不必要条件，则a∈B是a∈C的(

)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件√A

[由a∈B是a∈A的充分不必要条件，即B是A的真子集，由a∈A是a∈C的充分不必要条件，即A是C的真子集，所以B是C的真子集，即a∈B是a∈C的充分不必要条件．故选A．]

√

5．(2026·浙江台州模拟)若集合A＝{x|x>2}，B＝{x|bx>1}，其中b为实数．(1)若x∈A是x∈B的充要条件，则b＝________；(2)若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则b的取值范围是_____________．

6．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是ac<0．

考点二

全称量词与存在量词考向1

含量词命题的否定及真假判断[典例4]

(1)(2026·湖南长沙模拟)命题“∀x∈R，ex≤x＋1”的否定是(

)A．∃x∉R，ex>x＋1 B．∃x∈R，ex>x＋1C．∀x∉R，ex≤x＋1 D．∃x∈R，ex≥x＋1√(2)已知p：∀x∈[－1，2]，x2－2x＋a<0；q：∃x∈R，x2－4x＋a＝0．若p为假命题，q为真命题，则a的取值范围为(

)A．[－3，4] B．(－3，4]C．(－∞，－3) D．[4，＋∞)√(1)B

(2)A

[(1)命题“∀x∈R，ex≤x＋1”的否定是“∃x∈R，ex>x＋1”．故选B．(2)由题意知，p：∀x∈[－1，2]，x2－2x＋a<0为假命题，则¬p：∃x∈[－1，2]，x2－2x＋a≥0为真命题，当x∈[－1，2]时，y＝x2－2x＋a的图象的对称轴方程为x＝1，开口方向向上，此时其最大值为(－1)2＋2＋a＝3＋a，则3＋a≥0，解得a≥－3．又q：∃x∈R，x2－4x＋a＝0为真命题，即Δ＝16－4a≥0，解得a≤4．综上，a的取值范围为[－3，4]．]考向2

含双量词成立问题[典例5]已知f(x)＝x2－2x－1，g(x)＝logax(a>0且a≠1)，若对任意的x1∈[－1，2]，都存在x2∈[2，4]，使得f(x1)<g(x2)成立，则实数a的取值范围是________．(1，2)(1，2)

[当x∈[－1，2]时，f(x)＝(x－1)2－2，则f(x)max＝f(－1)＝2，因为对任意的x1∈[－1，2]，都存在x2∈[2，4]，使得f(x1)<g(x2)成立，因此函数f(x)在[－1，2]上的最大值小于函数g(x)在[2，4]上的最大值，而当0<a<1时，x∈[2，4]，logax<0，不符合题意，于是a>1，函数g(x)＝logax在[2，4]上单调递增，则loga4>2，即1<a2<4，解得1<a<2，所以实数a的取值范围是(1，2)．]名师点评：含量词命题的解题策略(1)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求参数的范围．(2)一般地，已知函数y＝f(x)，x∈[a，b]，y＝g(x)，x∈[c，d]．①若∀x1∈[a，b]，∀x2∈[c，d]，总有f(x1)<g(x2)成立，故f(x)max<g(x)min；②若∀x1∈[a，b]，∃x2∈[c，d]，有f(x1)<g(x2)成立，故f(x)max<g(x)max；③若∃x1∈[a，b]，∃x2∈[c，d]，有f(x1)<g(x2)成立，故f(x)min<g(x)max．[巩固迁移]4．(2026·陕西西安模拟)若p：∀x>0，lnx＋x2＋2>0，则(

)A．p是真命题，且¬p：∃x>0，lnx＋x2＋2≤0B．p是真命题，且¬p：∃x≤0，lnx＋x2＋2≤0C．p是假命题，且¬p：∃x>0，lnx＋x2＋2≤0D．p是假命题，且¬p：∃x≤0，lnx＋x2＋2≤0√

√

一、单项选择题1．(人教A版必修第一册P31练习T1改编)已知命题p：∀n∈N*，n2>n－1，则命题p的否定为(

)A．∀n∈N*，n2≤n－1 B．∀n∈N*，n2<n－1C．∃n∈N*，n2≤n－1 D．∃n∈N*，n2<n－1C

[由全称量词命题的否定为存在量词命题，可得命题p：∀n∈N*，n2>n－1的否定¬p为“∃n∈N*，n2≤n－1”．故选C．]题号135246879101112131415课后作业(二)常用逻辑用语√16题号2134568791011121314152．(2026·天津模拟)设a，b∈R，则“a2＋a＝b2＋b”是“a＝b”的(

)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件√16B

[由a2＋a＝b2＋b，得a2－b2＋a－b＝(a－b)·(a＋b＋1)＝0，得a＝b或a＋b＋1＝0，所以“a2＋a＝b2＋b”不是“a＝b”的充分条件，反过来，a＝b能推出a2＋a＝b2＋b，“a2＋a＝b2＋b”是“a＝b”的必要条件．所以“a2＋a＝b2＋b”是“a＝b”的必要不充分条件．故选B．]题号213456879101112131415163．已知A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则a的取值范围是(

)A．a≤1 B．a≥1C．a≤2 D．a≥2题号213456879101112131415√D

[因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，所以A⫋B，所以a≥2．故选D．]164．(2025·辽宁沈阳一模)若命题“∃x∈R，sinx<a”是假命题，则实数a的取值范围为(

)A．(－∞，1] B．(－∞，1)C．(－∞，－1] D．(－∞，－1)题号213456879101112131415√C

[因为“∃x∈R，sin

x<a”是假命题，所以“∀x∈R，sin

x≥a”是真命题；即a要小于等于sin

x的最小值，又当x∈R时，sin

x∈[－1，1]，故a≤－1．故选C．]165．(2026·湖南长沙模拟)设a为常数，命题p：∃x∈[0，1]，a－2x≤0，则p为真命题的充要条件是(

)A．a≥1 B．a≤1C．a≥2 D．a≤2题号213456879101112131415√D

[由p为真命题，则当x∈[0，1]时，a－2x≤0能成立，即a≤2x能成立，所以a≤(2x)max＝2．故选D．]16

题号213456879101112131415√

16

题号213456879101112131415√16

题号213456879101112131415168．已知命题p：∀x∈R，x2－x＋1>0，命题q：∃x<0，x2＝x3，则(

)A．p和q都是真命题 B．p和¬q都是真命题C．¬p和q都是真命题 D．¬p和¬q都是真命题题号213456879101112131415√

16二、多项选择题9．命题“存在x>0，使得mx2＋2x－1>0”为真命题的一个充分不必要条件是(

)A．m>－2 B．m>－1C．m>0 D．m>1题号213456879101112131415√16√

题号2134568791011121314151610．(2025·河北保定三模)已知集合A＝{x|ax＋6>0}，B＝{x|－1<x<3}，则下列结论正确的是(

)A．∃a∈R，A∩B＝AB．∃a∈R，A∩B＝BC．∀a∈R，A∩B≠⌀D．∃a∈R，A∪(∁RB)＝R题号213456879101112131415√16√√

题号2134568791011121314151611．(2026·湖北武汉模拟)使关于a，b的不等式ab＋1>a＋b成立的充分不必要条件是(

)A．a>1且b>1B．a<1且b<1C．|a|<1且|b|<1D．|a|>1且|b|>1题号213456879101112131415√16√√

题号21345687910111213141516

题号21345687910111213141516三、填空题12．(2025