51　第七章　第51课时　空间向量的运算及其应用

第51课时空间向量的运算及其应用第七章立体几何与空间向量[考试要求]1．理解空间向量的概念，掌握空间向量的基本定理及其意义、空间向量的正交分解及其坐标表示．2．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直．3．理解直线的方向向量及平面的法向量，能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理．以题引理·激活思维

√D

[由题意知a·(a－λb)＝0，即a2－λa·b＝0，又a2＝14，a·b＝7，∴14－7λ＝0，∴λ＝2．故选D．]2．(人教A版选择性必修第一册P33练习T1改编)若平面α外的直线l的方向向量为a＝(1，0，－2)，平面α的法向量为m＝(8，－1，4)，则(

)A．l⊥α B．l∥αC．a∥m D．l与α斜交√B

[根据题意，直线l的方向向量为a＝(1，0，－2)，平面α的法向量为m＝(8，－1，4)，易得a·m＝1×8－2×4＝0，又直线l在平面α外，则有l∥α．]

√

4．(人教B版选择性必修第一册P61习题1－2AT2改编)已知A(1，0，1)，B(0，1，1)，C(1，1，0)，则平面ABC的一个法向量为__________________________．

(1，1，1)(答案不唯一)

10

1．空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得________．(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在______的有序实数对(x，y)，使p＝__________．(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在______的有序实数组(x，y，z)，使得p＝________________，其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底．a＝λb唯一xa＋yb唯一xa＋yb＋zc2．空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．向量和a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)向量差a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)数乘向量λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R数量积a·b＝____________________________a1b1＋a2b2＋a3b3共线a∥b⇔a＝λb⇔a1＝______，a2＝______，a3＝______(λ∈R，b≠0)垂直a⊥b⇔a·b＝0⇔______________________＝0(a≠0，b≠0)模夹角公式λb1λb2λb3a1b1＋a2b2＋a3b3

3．直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量：在直线l上取非零向量a，把与向量a______的非零向量称为直线l的方向向量．(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．平行4．空间位置关系的向量表示

位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λn2，λ∈Rl1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2＝0直线l的方向向量为n，平面α的法向量为ml∥αn⊥m⇔n·m＝0l⊥αn∥m⇔n＝λm，λ∈R平面α，β的法向量分别为n，mα∥βn∥m⇔n＝λm，λ∈Rα⊥βn⊥m⇔n·m＝0

精研考点·提升素养√

√

名师点评：空间向量线性运算中的三个关键点[巩固迁移]1．设x，y是实数，已知三点A(1，5，－2)，B(2，4，1)，C(x，3，y＋2)在同一条直线上，那么x＋y＝(

)A．2 B．3C．4 D．5√

4

考点二

空间向量数量积的应用[典例2]如图所示，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．(1)求AC1的长；(2)求证：AC1⊥BD；(3)求BD1与AC夹角的余弦值．

名师点评：空间向量数量积的应用

√

3

√√

考点三

利用向量证明平行与垂直[典例3]如图，在直三棱柱ADE⁃BCF中，四边形ABFE和四边形ABCD都是正方形且所在平面互相垂直，M为AB的中点，O为DF的中点．(1)求证：OM∥平面BCF；(2)求证：平面MDF⊥平面EFCD．

名师点评：利用向量法证明平行、垂直关系的关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及直线、平面的要素)，但向量证明仍然离不开立体几何的有关定理．[巩固迁移]5．如图所示，在长方体ABCD

-A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点．(1)求证：B1E⊥AD1；(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，请说明理由．

【教用·备选题】如图，已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4．(1)在线段AB上是否存在点D，使得AC1⊥CD？(2)在线段AB上是否存在点E，使得AC1∥平面CEB1？说明理由．

一、单项选择题1．在空间直角坐标系Oxyz中，与点(－1，2，1)关于平面Oxz对称的点的坐标为(

)A．(－1，－2，1) B．(－1，2，1)C．(－1，－2，－1) D．(1，－2，－1)A

[因为点(－1，2，1)，则其关于平面Oxz对称的点的坐标为(－1，－2，1)．故选A．]题号13524687910111213课后作业(五十一)空间向量的运算及其应用√题号21345687910111213

√

题号21345687910111213√

题号21345687910111213

题号21345687910111213√

题号21345687910111213√

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题号21345687910111213√√√

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题号21345687910111213三、填空题9．已知空间向量a＝(1，1，λ)，b＝(－2，2－λ2，λ－6)，若a，b的夹角为钝角，则实数λ的取值范围为_________________________．题号21345687910111213(0，2)∪(2，＋∞)

题号21345687910111213

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题号2134568791011121313．如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1AC均为60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD．(1)求证：BD⊥AA1；(2)在直线CC1上