07　第一章　第6课时　一元二次方程、不等式

第一章集合、常用逻辑用语、不等式第6课时一元二次方程、不等式[考试要求]

1．会从实际情境中抽象出一元二次不等式，了解一元二次不等式的实际意义．2．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．3．了解一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．理法先行·题练固本知识点1二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系项目Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象项目Δ>0Δ＝0Δ<0方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集__________________Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集__________________________{x|x<x1或x>x2}{x|x1<x<x2}∅∅

f(x)g(x)＞0(＜0)f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0(－∞，－a)∪(a，＋∞)(－a，a)

1．(人教A版必修第一册P53练习T1(5))不等式－2x2＋x≤－3的解集为____________________________．

2．(人教A版必修第一册P55习题2.3T5)已知集合A＝{x|x2－16＜0}，B＝{x|x2－4x＋3＞0}，则A∪B＝________．R

[已知A＝{x|x2－16＜0}＝{x|－4＜x＜4}，B＝{x|x2－4x＋3＞0}＝{x|x＜1，或x＞3}，则A∪B＝R．]R

－12

－1

(－3，0)

考点深研·题型突破

√√√

通性通法：(1)可通过求解相应一元二次方程的根，再画出相应二次函数图象，求出不等式的解集．(2)分式不等式转化为整式不等式时，要注意等价转化，必要时要对分母进行限制，转化为不等式组．考点二含参数的一元二次不等式的解法[典例2]

(北师大版必修第一册P38例4改编)解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a<0)．

[母题探究](变条件)在本例中，把“a<0”改成“a∈R”，解不等式．[解]

第1步看二次项系数：二次项系数含参，则需要分系数为0、正、负三种情况讨论．当a＝0时，原不等式可化为x＋1≤0，解得x≤－1．第2步因式分解：看含参二次不等式能否因式分解．当a≠0时，不等式ax2－2≥2x－ax可化为(ax－2)(x＋1)≥0．

思维建模：含参数的一元二次不等式的解法第1步看二次项系数：二次项系数含参，则需要分系数为0、正、负三种情况讨论．第2步因式分解：看含参二次不等式能否因式分解．第3步能因式分解则比较根的大小，不能则利用Δ：若能通过因式分解求出根，就比较两根大小，若不能使用因式分解求根，就应用判别式判断根的情况，并求根．第4步写解集：在参数的不同取值范围下，分别写出不等式对应的解集．【教用·备选题】解关于x的不等式x2－ax＋1<0，a∈R．

【教用·通性通法】对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有：(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类．(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数．(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．考点三三个二次的关系[典例3]已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}，求关于x的不等式cx2＋bx＋a<0的解集．

通性通法：(1)一元二次方程的根就是相应二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值．(2)给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数．微点突破3

一元二次不等式恒成立问题解决不等式恒成立问题，常用判别式法、分离参数法、转化法等，方法灵活多变，需根据具体条件求解．

√√

√

√√

3．(链接考点二)解关于x的不等式ax2＋3x＋2>－ax－1(a>0)．

题号135246879

√课时作业(六)一元二次方程、不等式题号135246879

√题号135246879

题号135246879

√题号135246879

题号135246879

√题号1352468794．(2025·漳州期末)已知关于x的一元二次不等式x2＋bx＋c＞0的解集为{x|x≠－1}，则bc＝(

)A．－2 B．－1C．1 D．2题号135246879

√题号135246879

√题号135246879

题号135246879

题号135246879

√√√题号135246879

题号135246879三、填空题7．(人教A版必修第一册P58复习参考题2T6改编)若不等式(a－2)x2＋4(a－2)x＋3>0的解集为R，则实数a的取值范围是________．

题号135246879

题号1352468798．若关于x的不等式x2－2ax－8a2＜0(a＞0)的解集为{x|x1＜x＜x2}，且x2－x1＝15，则实数a的值为________．

题号135246879

题号135246879四、解答题9．已知函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)只能同时满足下列三个条件中的两个：①y＜0的解集为(－1，3)；②a＝－1；③y的最小值为－4．(1)请写出这两个条件的序号，并求函数y的解析式；(2)求关于x的不等式y≥(m－2)x＋2m2－3(m∈R)的解集．题号135246879[解]

(1)若选①②，由a＝－1知函数图象开口向下，此时y＜0的解集不可能为(－1，3)，故不符合题意；若选①③，因为y＜0的解集为(－1，3)，所以－1，3是方程ax2＋bx＋c＝0的根，所以函数图象的对称轴为直线x＝1，由y＝a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－3a，则b＝－2a，c＝－3a，又因为y的最小值为－4，所以当x＝1时，y＝－4a＝－4，解得a＝1，所以b＝－2，c＝－3，则y＝(x＋1)(x－3)＝x2－2x－3；题号135246879若选②③，由a＝－1知函数图象开口向下，则y无最小值，不符合题意．综上，应选①③，且y＝x2－2x－3．(2)由y≥(m－2)x＋2m2－3(m∈R)，化简得x2－mx－2m2≥0，即(x＋m)(x－2m)≥0，若m＜0，则不等式的解集为{x|x≤2m，或x≥－m}；若m＝0，则不等式的解集为R；题号135246879若m＞0，则不等式的解集为{x|x≤－m，或x≥2m}．综上，当m＜0时，不等式的解集为{x|x≤2m，或x≥－m}；当m＝0时，不等式的解集为R；当m＞0时，不等式的解集为{x|x≤－m，或x≥2m}．题号135246879101112√一、单项选择题

1．(2025·保定期末)命题“∃x∈R，2026ex＋x3＞0”的否定是(

)A．∃x∈R，2026ex＋x3≤0B．∀x∈R，2026ex＋x3≤0C．∀x∉R，2026ex＋x3≤0D．∃x∉R，2026ex＋x3＜0阶段检测(一)第1～6课时题号135246879101112B

[因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以命题“∃x∈R，2026ex＋x3＞0”的否定为“∀x∈R，2026ex＋x3≤0”．故选B．]√2．(2025·武汉期末)已知集合A＝{x|0＜x＜3}，集合B＝{1，2，3，4}，则集合A∩B＝(

)A．{1，2} B．{2，3}C．{1，2，3} D．{2，3，4}题号135246879101112A

[因为集合A＝{x|0＜x＜3}，集合B＝{1，2，3，4}，根据交集的概念，可得A∩B＝{1，2}．故选A．]√3．(2025·上海浦东新区期末)若a＞b，c∈R，则下列不等式一定成立的是(

)A．a2－b2＞0 B．ac＞bcC．ac2＞bc2 D．2a＞2b题号135246879101112D

[令a＝1，b＝－1，满足a＞b，但a2－b2＝0，故A错误；令c＝0，ac＝bc，ac2＝bc2，故BC错误；a＞b，则2a＞2b，故D正确．故选D．]题号135246879101112√4．(2025·武汉月考)若命题“∃x∈[0，2]，x2≥m”是真命题，则(

)A．m≤0 B．m≤4C．m＞0 D．m＞4题号135246879101112B

[命题“∃x∈[0，2]，x2≥m”是真命题，故当x∈[0，2]时，m≤(x2)max＝4．故选B．]√

题号135246879101112

题号135246879101112√

题号135246879101112

题号135246879101112√二、多项选择题7．(2026·南昌模拟)已知集合A＝{x|ax≤6}，B＝{2，3}，下列结论正确的是(

)A．若a＝0，则A＝RB．若a＝0，则A＝∅C．若B⊆A，则a≤2D．若B⊆A，则a可以取3题号135246879101112√

题号135246879101112√

题号135246879101112√√

题号1352