56　第七章　第51课时　与球有关的切、接问题(进阶课)

第七章立体几何与空间向量*第51课时与球有关的切、接问题(进阶课)

[总体概览]一、研究与球有关的切、接问题，既要运用多面体、旋转体的知识，又要运用球的几何性质，要特别注意多面体、旋转体的有关几何元素与球的半径之间的关系，其关键点是利用转化思想，把球的切、接问题转化为平面问题或特殊几何体来解决或转化为特殊几何体的切、接问题来解决．

7．圆锥的外接球R2＝(h－R)2＋r2(R是圆锥外接球的半径，h是圆锥的高，r是圆锥底面圆的半径)．

√

√

√√

√√

第3步

求长方体的外接球半径．(2R)2＝a2＋b2＋c2．所以(2R)2＝2＋2＋4＝8，所以三棱锥的外接球的表面积为4πR2＝8π．故选B．

8π

3

思维建模：长方体外接球模型第1步

将几何体放入长方体中：几何体的顶点作为长方体的顶点．第2步

确定长方体的长、宽、高的长度．第3步

求长方体的外接球半径．【教用·通性通法】求解外接球问题的方法(1)解决多面体外接球问题的关键是确定球心的位置，方法是先选择多面体中的一面，确定此面多边形外接圆的圆心，再过此圆心作此面的垂线，则球心一定在此垂线上，最后根据其他顶点的情况确定球心的准确位置．(2)对于特殊的多面体还可通过补成正方体、长方体或直棱柱的方法找到球心的位置．

√

√

√

(2)作出示意图如图所示．设正四棱锥内切球球心为O，底面正方形的中心为O'，则O在PO'上，设内切球半径为r，取AB中点E，CD中点F，则正四棱锥P-ABCD内切球半径即为△PEF的内切圆半径，

通性通法：1．多面体内切球的球心与半径的确定(1)内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等．(2)正多面体的内切球和外接球的球心重合．(3)正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合．(4)体积分割是求内切球半径的通用做法．

【教用·备选题】1．(2025·郴州模拟)已知球O内切于一个棱长为6的正方体，则球O的表面积为(

)A．9π

B．27πC．36π

D．108πC

[由已知，棱长为6的正方体的内切球半径为3，所以球O的表面积为4π×32＝36π．故选C．]√

√√

微点突破10

简单几何体外接球球心的确定方法简单几何体的外接球与内切球问题是立体几何的重点，也是历年高考考查的一个热点．研究多面体的外接球问题，关键是确定球心．

通性通法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据球心到其他顶点的距离也是球的半径，列关系式求解即可．

√

通性通法：补形法的解题策略(1)侧面为直角三角形或正四面体，或对棱均相等的模型，可以放到正方体或长方体中去求解．(2)直三棱锥补成三棱柱求解．题号135246879一、单项选择题1．(2026·枣庄模拟)已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为(

)A．4π

B．6πC．8π

D．10π√课时作业(五十一)与球有关的切、接问题(进阶课)题号135246879

√题号135246879

题号135246879

题号135246879

√题号135246879

√题号1352468794．(2025·万州区月考)如图，三棱锥P-ABC的底面△ABC的斜二测直观图为△A'B'C'，已知PB⊥底面ABC，PB＝6，A'D'＝D'C'，A'O'＝O'B'＝O'D'＝2，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为(

)A．96π

B．116πC．136π

D．144π题号135246879

√题号135246879

题号135246879

题号135246879二、多项选择题6．某公司设计了一种圆柱形包装盒，每盒可装7个球形巧克力，每盒只装一层，相邻的球形巧克力相切，与包装盒接触的6个球形巧克力与包装盒相切，如图是平行于底面且过圆柱母线中点的截面，设包装盒的底面半径为R，球形巧克力的半径为r，每个球形巧克力的体积为V1，包装盒的体积为V2，则(

)A．R＝3r

B．R＝4rC．V2＝9V1

D．2V2＝27V1√√题号135246879

题号135246879三、填空题7．(2026·广州模拟)已知球O内切于圆台(即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切)，且圆台的上、下底面半径分别为r1，r2，且r2＝4r1＝4，则圆台的体积与球的体积之比为______________．

题号135246879

题号1352468798．(2023·全国乙卷)已知点S，A，B，C均在半径为2的球面上，△ABC是边长为3的等边三角形，SA⊥平面ABC，则SA＝______________．

2

题号135246879

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题号1352468799