2027年高考数学一轮复习专题4.7 三角函数的图象与性质（举一反三复习讲义）（全国）（解析版）

专题4.7三角函数的图象与性质（举一反三复习讲义）

【全国通用】

(1)能画出三角函数的图象

(2)了解三角函数的周期性、奇偶性、最大（小）值

考点要求

(3)借助图象理解正弦函数、余弦函数在上的性质及正切函数在上的性

质

高考真题考点2024年2025年2026年

统计新课标I卷：第7题，

5分全国一卷：第13题，5

新课标Ⅱ卷：第6题，全国一卷：第4题，5分

三角函数的5分分北京卷：第16题，13

图象与性质新课标Ⅱ卷：第9题，全国二卷：第15题，分

6分13分天津卷：第16题，14

全国甲卷（文数）：第分

13题，5分

1、三角函数的图象与性质

三角函数的图象与性质是高考的重点、热点内容，是三角函数模块的核

心内容，是高考高频的热点必考考点，兼具基础性与综合性，突出直观想象、

数学运算与逻辑推理等数学素养。

从近三年的高考情况来看，高考对三角函数的图象与性质的考查较为稳

定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大，在选择题、填空题、解答题

命题规律中都有考查，具体题型/分值分布如下：单选题、多选题第4~9题中考查，

分值5分或6分；填空题第11~13题中考查，分值5分；有时也会在解答题

分析第15~16题中考查，分值13分或15分；试题整体难度中等或偏下。

从近三年的高考考情来看，高考对三角函数的图象与性质的考查方向比

较稳定，主要有四大考查方向：①三角函数的图象的识别与判断；②三角函

数的定义域、值域与最值的求解；③三角函数的周期性、对称性、奇偶性与

单调性的判断及应用；④三角函数的图象与性质的综合应用，常结合三角恒

等变换、零点、不等式等考查。在选择、填空题中①②③④都有可能考查，

在解答题中主要考查④，复习时要加强这方面的训练。

知识点1三角函数的定义域与值域的求解策略

1．三角函数的定义域的求解思路

求三角函数的定义域通常要解三角不等式(组)，解三角不等式(组)常借助三角函数的图象.

2．求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型：

(1)形如y=asinx+bcosx+c的三角函数化为y=Asin(ωx+φ)+c的形式，再求值域(最值)；

(2)形如y=asin2x+bsinx+c的三角函数，可先设sinx=t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；

(3)形如y=asinxcosx+b(sinx±cosx)+c的三角函数，可先设t=sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值).

知识点2三角函数的周期性、对称性、奇偶性的求解策略

1．三角函数周期的一般求法

(1)公式法；

(2)不能用公式求函数的周期时，可考虑用图象法或定义法求周期.

2．三角函数的对称轴、对称中心的求解策略

(1)对于可化为f(x)=Asin(ωx+φ)（或f(x)=Acos(ωx+φ)）形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx+φ=

kπ(k∈Z)（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx+φ=kπ(k∈Z)

（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x即可.

(2)对于可化为f(x)=Atan(ωx+φ)形式的函数，如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx+φ=(k∈Z)），

求x即可.

3．三角函数的奇偶性的判断方法

三角函数型奇偶性的判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，在y=Asin(ωx+φ)中代入x=0，若y=0

则为奇函数，若y为最大或最小值则为偶函数.

若y=Asin(ωx+φ)为奇函数，则φ=kπ(k∈Z)；若y=Asin(ωx+φ)为偶函数，则φ=kπ(k∈Z).

知识点3三角函数的单调性问题的解题策略

1．三角函数的单调区间的求解方法

求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y=Asin(ωx+φ)形式，再求y=Asin(ωx+φ)的单调区间，只需

把ωx+φ看作一个整体代入y=sinx的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数.

2．已知三角函数的单调性求参数的解题思路

对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调

区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题，

利用特值验证排除法求解更为简捷.

【方法技巧与总结】

1．对称性与周期性

(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴

之间的距离是个周期.

(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期.

2．与三角函数的奇偶性相关的结论

(1)若y=Asin(ωx+φ)为偶函数，则φ=(k∈Z)；若为奇函数，则φ=kπ(k∈Z).

(2)若y=Acos(ωx+φ)为偶函数，则φ=kπ(k∈Z)；若为奇函数，则φ=(k∈Z).

(3)若y=Atan(ωx+φ)为奇函数，则φ=kπ(k∈Z).

【题型1三角函数图象的识别与判断】

【例1】（2026·陕西咸阳·三模）函数在区间上的图象大致为（）

−��ππ

��=e−ecos�−2,2

A．B．

C．D．

【答案】C

【解题思路】利用函数的奇偶性和函数值的正负逐一分析判断选项.

【解答过程】已知，

−��

��=e−ecos�，

�−��−�−��

�因−此�=是e奇−函e数，co图s象−�关于=原e点−对e称，c排os�除=关−于e轴对−e称的co选s�项=−A、�B�；

当��时：，故；�

π�−�−��

同时�∈0,2，因e此>e负e数−正e数<0，

cos�>0��=×<0

即时，图象在轴下方，选项C符合该特征，选项D不符合.

π

�∈0,2���

故选：C.

【变式1-1】（2026·广东广州·模拟预测）当时，曲线与的交点个数为（）

π

�∈0,2π�=sin��=3sin2�−4

A．3B．4C．5D．6

【答案】B

【解题思路】当时，画出曲线与的图象即可得解.

π

�∈0,2π�=sin��=3sin2�−4

【解答过程】当时，曲线与的图象如图所示，

π

�∈0,2π�=sin��=3sin2�−4

由图可知，当时，曲线与的交点个数为4.

π

�∈0,2π�=sin��=3sin2�−4

故选：B.

【变式1-2】（2026·广东·模拟预测）已知函数的部分图象大致如图所示，则（）

��=sin��+��π=

A．0B．C．D．

113

【答案】D2−2−2

【解题思路】要解决这个问题，我们需要根据函数的图象求出和，进而求出的值。

【解答过程】因为的图象过点，所以��=s，in��+����π

33

��0,2sin�=2

由图可知，点在减区间内，所以．

32π

0,2�=3+2�π,�∈�

因为的图象过点，所以，

ππ2ππ2π

��3,0sin3�+3+2�π=sin3�+3=0

由图可知，点在减区间内，所以，即．

ππ2π

3,03�+3=π+2�π,�∈��=1+6�,�∈�

因为，所以，所以，

�ππ3

4=2�>3�<2�=1

所以，所以.

2π2π2π2π3

故选：��D.=sin�+3+2�π=sin�+3�π=sinπ+3=−sin3=−2

【变式1-3】（2026·天津·一模）如图是函数的部分图象，则的解析式可能为（）

����

A．B．

sin5�sin5�

�−�−��

��=2−2��=2−2

C．D．

cos5�cos5�

−���−�

��=2−2��=2+2

【答案】B

【解题思路】根据时，函数值的正负可排除A；根据函数的奇偶性可排除C；根据函数的定义域可排

+

除D.�→0

【解答过程】由图可知：的定义域为，图象关于轴对称，则为偶函数．

对于A，当时，�(�)(−∞,0)∪(0,+，∞)���

+�−��−�

�→0sin5�>0,2>2,2−2>0

此时，与图不符，故A错误；

sin5�

�−�

��=2−2>0

对于C，的定义域为，

cos5�

−��

��=2−2(−∞,0)∪(0,+∞)

，

cos−5�cos5�

�−��−�

�−�=2−2=2−2≠��

则不是偶函数，故C错误；

cos5�

−��

��=2−2

对于D，在有意义，故D错误，

cos5�

�−�

��=2+2�=0

故选：B．

【题型2三角函数的定义域、值域与最值】

【例2】（2026·江西宜春·模拟预测）函数的值域为（）

1

��=2sin�−2sin�

A．B．C．D．

55333553

−2,2−2,2−2,2−2,2

【答案】D

【解题思路】根据题意，分和两种情况讨论求解即可.

【解答过程】当时sin，�∈0,1sin�∈−1；,0

33

sin�∈0,1��=2sin�∈0,2

当时，，

55

sin�∈−1,0��=2sin�∈−2,0

所以的值域为．

53

��−2,2

故选：D.

【变式2-1】（25-26高一上·湖北·阶段检测）在内，函数的定义域

2

是（）0,2π��=1−2cos�+lnsin�−2

A．B．

ππ3π5π

4,34,3

C．D．

π3πππ

3,44,3

【答案】C

【解题思路】由题直接求函数定义域即可.

【解答过程】由题意得，解得π5π，所以，

1−2cos�≥0

23≤�≤3π3π

sin�−2>0π3π3≤�<4

4<�<4

即在内，函数的0定≤义�≤域2为π．

π3π

0,2π��3,4

故选：C.

【变式2-2】（2026·安徽宿州·一模）已知函数，当时，的最

13ππ

小值为（）�(�)=2sin�cos�−4cos2�+1�∈−4,4�(�)

A．B．C．D．

3115

42−2−4

【答案】B

【解题思路】利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为，然后再利用正弦函数的

1π

�(�)=2sin2�−3+1

基本性质可求出函数的最小值.

【解答过程】由�(�)，

13

�(�)=2sin�cos�+1−4cos2�

根据二倍角公式得，

131π

�(�)=4sin2�−4cos2�+1=2sin2�−3+1

当时，所以，结合正弦函数图像可知，

ππ5πππ

�∈−4,4−6≤2�−3≤6

时，的最小值为,

π5ππππ

2�−3∈−6,6sin2�−3sin−2=−1

最大值为，故，

π1π1

sin6=2−1≤sin2�−3≤2

因此，所以的最小值为.

151

�(�)∈2,4�(�)2

故选：B.

【变式2-3】（2026·北京门头沟·一模）设函数，若点为函数图象

π

��=sin��−3cos��(�>0)3,0��

的一个对称中心，且在上的最大值为2，则的最小值为（）

π

��0,6�

A．4B．5C．7D．10

【答案】C

【解题思路】先化简函数，根据点为函数图象的一个对称中心求出

�π

�(�)=2sin��−33,0���=3�+

，再根据在上的最大值为2结合三角函数最值求出，两者结合即可推出的

π

1(�∈�,�>0)��0,6�≥5�

最小值.

【解答过程】，

13�

�(�)=sin��−3cos��=22sin��−2cos��=2sin��−3

点是的对称中心，因此，代入得，

����

3,0�(�)�3=02sin�⋅3−3=0

即，整理得；

(�−1)�

3=��(�∈�)�=3�+1(�∈�,�>0)

当时，，而根据解析式可知最大值为，

������

�∈0,6��−3∈−3,6−3�(�)2

说明区间必须包含，因此，解得；

�����

结合且2，6−3≥2�≥5

�时=，3�+1�，≥不5满足；

�=1时，�=4<5，满足条件.

�因=此2的最�小=值7为≥.5

故选：�C.7

【题型3三角函数的单调性与单调区间】

【例3】（2026·江西九江·一模）下列函数中，在上单调递增的是（）

π

0,3

A．B．

ππ

��=cos�+3��=sin�−6

C．D．

ππ

��=sin�+3��=tan6−�

【答案】B

【解题思路】整体法逐一判断各选项中的函数在上的单调性即可.

π

0,3

【解答过程】当时，.

πππ2π

�∈0,3�+3∈3,3

由余弦曲线知在上单调递减，又是增函数，由复合函数单调性的“同增异减”原则知

π2ππ

�=cos�3,3�=�+3

在上单调递减，故A不符合题意；

ππ

��=cos�+30,3

由正弦曲线知在上先单调递增再单调递减，又是增函数，由复合函数单调性的“同增

π2ππ

�=sin�3,3�=�+3

异减”原则知在上先单调递增再单调递减，故C不符合题意；

ππ

��=sin�+30,3

当时，，由正弦曲线知在上单调递增，又是增函数，由复

πππππππ

�∈0,3�−6∈−6,6�=sin�−6,6�=�−6

合函数单调性的“同增异减”原则知在上单调递增，故B符合题意；

ππ

��=sin�−60,3

当时，，由正切曲线知在上单调递增，又是减函数，由复

πππππππ

�∈0,36−�∈−6,6�=tan�−6,6�=6−�

合函数单调性的“同增异减”原则知在上单调递减，故D不符合题意.

ππ

��=tan6−�0,3

故选：B.

【变式3-1】（2026·陕西汉中·二模）函数的单调递增区间为（）

π

�(�)=−5sin(2�+3)

A．B．

π7πππ

[12+�π,12+�π](�∈�)[−3+�π,6+�π](�∈�)

C．D．

π2π5ππ

[6+�π,3+�π](�∈�)[−12+�π,12+�π](�∈�)

【答案】A

【解题思路】利用正弦函数的单调性列出不等式求解即可.

【解答过程】依题意，函数的递增区间，即为函数的递减区间，

π

�(�)�=sin(2�+3)

由，解得，

ππ3ππ7π

2+2�π≤2�+3≤2+2�π,�∈�12+�π≤�≤12+�π,�∈�

所以的单调递增区间为.

π7π

�(�)[12+�π,12+�π](�∈�)

故选：A.

【变式3-2】（2026·天津南开·二模）函数的部分图象如图所示，则

π

的单调递增区间为（）��=2sin��+��>0,0<�<2

��

A．B．

5ππ5ππ

�π−12,�π+12,�∈Z2�π−12,2�π+12,�∈Z

C．D．

ππππ

�π−2,�π+4,�∈Z2�π−2,2�π+4,�∈Z

【答案】A

【解题思路】利用函数图象确定周期，从而可求出，再利用最低点代入可求出，再由正弦函数的单调增区

间即可求解.��

【解答过程】

由图可得：周期，所以，

7ππ2π

�=412−3=π=��=2

代入最低点得：，

7π7π

12,−22sin2×12+�=−2

可得：，解得，

7π3ππ

6+�=2+2�π,�∈Z�=3+2�π,�∈Z

ππ

∵0<�<,∴�=

所以有23，

π

��=2sin2�+3

再由，解得，

πππ5ππ

−2+2�π≤2�+3≤2+2�π,�∈Z−12+�π≤�≤12+�π,�∈Z

故函数的增区间为，

π5ππ

��=2sin2�+3�π−12,�π+12,�∈Z

故选：A.

【变式3-3】（2026·天津·一模）已知函数在处取得最小值，则在

ππ

�(�)=sin��+6(0<�<6)�=−3�(�)

区间上的单调递减区间为（）

π

0,2

A．B．C．D．

ππππππ

0,60,36,212,2

【答案】C

【解题思路】根据题意结合三角函数的最值点可得，再结合正弦函数单调性运算求解.

【解答过程】因为，则�=，2

ππ11ππ

0<�<6−3�+6∈−6,6

若函数在处取得最小值，

ππ

�(�)=sin��+6(0<�<6)�=−3

则，解得，可得，

ππππ

−3�+6=−2�=2�(�)=sin2�+6

又因为，则，

πππ7π

�∈0,22�+6∈6,6

令，解得，

ππ7πππ

2≤2�+6≤66≤�≤2

所以在区间上的单调递减区间为.

πππ

�(�)0,26,2

故选：C.

【题型4根据三角函数的单调性求参数】

【例4】（2026·福建龙岩·一模）已知函数的图象关于直线对称，且在区间

ππ

��=2sin��+6�>0�=3

上单调递减，则的值为（）

π

2,π�

A．B．1C．D．4

17

26

【答案】B

【解题思路】由函数的图象关于直线对称，可得；由函数

ππ

��=2sin��+6�>0�=3�=3�+1,�∈Z

在区间上单调递减，可得，从而得，即可得答案.

π2π

2,π�=�≥π�≤2

【解答过程】因为函数的图象关于直线对称，

ππ

��=2sin��+6�>0�=3

所以，

π�ππ

解得3+6=�π+2,�，∈Z

又因为�函=数3�在+区1,间�∈Z上单调递减，

π

2,π

所以函数在处取得最大值，

π

�=3

所以,

πππ�

2,π⊂[3,3+2]

所以,

π�

3+2≥π

解得，

2π4π

�=�≥3

解得.

3

�≤2

又因为.

故选：B�.=3�+1,�∈Z

【变式4-1】（2026·新疆喀什·三模）已知函数在区间上单调，则的取值

ππ3π

范围为（）�(�)=cos��+6(�>0)2,2�

A．B．C．D．

5555

9,19,10,90,9

【答案】D

【解题思路】结合题设和函数的周期公式可得，再根据余弦函数的性质可得，进而求

3�ππ

0<�≤12+6≤π

解即可.

【解答过程】由题可知的最小正周期为，因为在区间上单调，

2ππ3π

�(�)�=��(�)2,2

所以，则，解得，

13πππ

2�≥2−2=π�≥π0<�≤1

当时，，

π3ππ�ππ3�ππ

�∈2,2��+6∈2+6,2+6

且，，

�πππ2π3�πππ5π

2+6∈6,32+6∈6,3

所以，解得，结合，得的取值范围为．

3�ππ55

2+6≤π�≤90<�≤1�0,9

故选：D．

【变式4-2】（2026·内蒙古包头·二模）已知在上单调递增，则的取值范

πππ

围是（）��=sin��+6�>0−6,4�

A．B．C．D．

24244

0,30,33,33,2

【答案】B

【解题思路】先根据题意求出，再根据求出

12ππ

0<�≤5−6≤�≤4

，再根据的范围约束出和范围，最后结合正弦函数图象即可求

πππππππππ

−6�+6≤��+6≤4�+6�−6�+64�+6

出的范围.

【解�答过程】由题意可知，则，

πππ12

4−−6≤�0<�≤5

因，则，

πππππππ

−6≤�≤4−6�+6≤��+6≤4�+6

则，，

7πππππππ23π

−30≤−6�+6<66<4�+6≤30

因在上单调递增，

ππ

��−6,4

结合正弦函数图象性质可得，解得，

ππππ4

6<4�+6≤20<�≤3

故的取值范围是.

4

�0,3

故选：B.

【变式4-3】（2026·陕西商洛·一模）已知函数，的最小正周期为，若

π

��=sin��+��>00<�<2�

对任意的恒成立，且在区间，上单调递增，则的取值范围为（）

�ππ

��≤�12�∈���64�

A．B．

2826

6,37,3

C．D．

328226

0,4∪6,30,3∪7,3

【答案】D

【解题思路】结合题意得，求得，再结合三角函数的单调性得，，

�π2

�12=1�=312�−5≤�≤8�+3�∈Z

最后结合求解即可.

【解答过程�】>因0为，所以，

2π�πππ

�=��12=�6�=sin�⋅6�+�=sin6+�=1

又，所以，即，

ππππ

0<�<26+�=2�=3

又在区间，上单调递增，所以，

πππππππ

��646�+3≤��+3≤4�+3

故πππ，，解得，．

6�+3≥2�π−22

πππ�∈Z12�−5≤�≤8�+3�∈Z

4�+3≤2�π+2

令得，又，所以；

22

�=0−5≤�≤3�>00<�≤3

令得；

26

�=17≤�≤3

当时，，不合题意．

217

�≥212�−5−8�+3=4�−3>0

综上，的取值范围为．

226

�0,3∪7,3

故选：D.

【题型5三角函数的奇偶性、周期性与对称性】

【例5】（2026·浙江·三模）下列函数中，最小正周期为且为偶函数的是（）

A．B．C．πD．

�=sin��=sin��=sin��=cos�

【答案】B

【解题思路】利用三角函数的周期性与奇偶性的定义，逐项求解判断即可.

【解答过程】所有选项的定义域都是，

对于A，因为，所以�是奇函数，A错误；

对于B：因为sin−�=−sin�，所以是偶函数，

sin−�=−sin�=sin�

的周期为，加绝对值后，图象把轴下方的部分翻折到上方，周期变为（如图），

B�=正s确in；�2π�π

对于C：，图象为

sin�,�≥0

�=sin�=

−sin�,�<0

很显然不具备周期性，C错误；

对于D，是周期为的偶函数，D错误．

故选：B.�=cos�2π

【变式5-1】（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数，．若的图象关于直线

π

6

对称，则（）��=sin2�+�0≤�<π���=

A．0�=B．C．D．

ππ2π

633

【答案】B

【解题思路】利用正弦曲线对称轴的公式，可得当时满足，结合题目给定的

πππ