2027年高考数学一轮复习重难点07 导数中的零点问题（举一反三专项训练）（全国）（试题版）

重难点07导数中的零点问题（举一反三专项训练）

【全国通用】

【题型1判断或讨论零点的个数】...........................................................................................................................2

【题型2零点问题之唯一零点问题】.......................................................................................................................3

【题型3零点问题之双零点问题】...........................................................................................................................3

【题型4根据零点（个数）情况求参数范围】.......................................................................................................4

【题型5函数零点的证明问题】...............................................................................................................................5

【题型6多零点的和、差、积与大小关系问题】...................................................................................................6

【题型7隐零点问题】...............................................................................................................................................7

【题型8导数中函数零点的新定义问题】...............................................................................................................8

1、导数中的零点问题

导数是高中数学的重要内容，而导数中的函数零点（方程根）问题在高考中占有很重要的地位，是高

考的重点、热点问题。从近三年的高考情况来看，高考对导数中的零点问题的考查比较稳定，常考查函数

零点的个数判断或求参问题，三次函数与复合函数的零点问题，以及函数零点与其他知识的交汇等问题，

突出数学运算、数形结合与逻辑推理等数学素养。

从近三年的高考情况来看，导数中的函数零点问题一般在解答题中考查，在选择、填空题中考查较少；

对于选择题和填空题部分，重点考查函数零点的个数问题、函数零点的求参问题，试题难度中档；对于解

答题部分，主要考查函数零点的求参、函数零点的证明以及多零点的和、差、积与大小关系等问题，一般

作为解答题的压轴题出现，难度较大，需要灵活求解，高考一轮复习时需要加强这方面的训练。

知识点1导数中的函数零点问题的解题策略

1．函数的零点

(1)函数零点的定义：对于函数y=f(x)，把使f(x)=0的实数叫做函数y=f(x)的零点.

(2)三个等价关系

方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点的横坐标⇔函数y=f(x)有零点.

2．函数零点的判定

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)

内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个也就是f(x)=0的根.我们把这一结论称为函数零点存在性定理.

3．函数零点（个数）问题的的求解方法

(1)构造函数法：构造函数g(x)，利用导数研究g(x)的性质，结合g(x)的图象，判断函数零点的个数.

(2)函数零点存在定理：利用零点存在定理，先判断函数在某区间有零点，再结合图象与性质确定函数有多

少个零点.

(3)数形结合法：函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数，数形结合，根据图象的几何直观求解.

4．导数中的含参函数零点（个数）问题

利用导数研究含参函数的零点（个数）问题主要有两种方法：

(1)利用导数研究函数f(x)的最值，转化为f(x)图象与x轴的交点问题，主要是应用分类讨论思想解决.

(2)分离参变量，即由f(x)=0分离参变量，得a=g(x)，研究y=a与y=g(x)图象的交点问题.

5．与函数零点有关的参数范围问题的解题策略

与函数零点（方程的根）有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊

点判断函数的大致图象，进而求出参数的取值范围.也可分离出参数，转化为两函数图象的交点情况.

知识点2隐零点问题

1．隐零点问题

隐零点问题是指函数的零点存在但无法直接求解出来的问题，在函数不等式与导数的综合题目中常会遇到

涉及隐零点的问题，处理隐零点问题的基本策路是判断单调性，合理取点判断符号，再结合函数零点存在

定理处理.

2．隐零点问题的解题策略

在求解函数问题时，很多时候都需要求函数f(x)在区间I上的零点，但所述情形都难以求出其准确值，导致

解题过程无法继续进行时，可这样尝试求解：先证明函数f(x)在区间I上存在唯一的零点(例如，函数f(x)在

区间I上是单调函数且在区间I的两个端点的函数值异号时就可证明存在唯一的零点)，这时可设出其零点

是x0.因为x0不易求出(当然，有时是可以求出但无需求出)，所以把零点x0叫做隐零点；若x0容易求出，就

叫做显零点，而后解答就可继续进行，实际上，此解法类似于解析几何中“设而不求”的方法.

【题型1判断或讨论零点的个数】

【例1】（2026·四川凉山·二模）若，，则函数的零点个数为（）

π

��=�sin�+cos�−1�∈−2,π��

A．0B．1C．2D．3

【变式1-1】（2026·宁夏银川·三模）若函数，则

3

2�−6�+3,�≤02

��=���=2[��]−13��+21

的零点个数为（）3e,�>0

A．2B．3C．4D．5

【变式1-2】（2026·山西运城·模拟预测）设函数．

(1)求函数的单调区间；��=�ln�+1−��≠0

(2)当��时，求零点的个数．

0<�<1��

【变式1-3】（2026·广东深圳·模拟预测）已知函数，直线与曲线相切．

(1)求实数的值；��=�ln�−��=�−e�=��

(2)若�是函数的极大值点．

2

①求实�=数1的取值范�围�；=��−���

②讨论�的零点个数．

��

【题型2零点问题之唯一零点问题】

【例2】（2026·四川成都·三模）函数有且只有一个零点，则的取值是（）

A．B．��=2�C−．�−ln�D．�

【变式2-1】−（ln22026·黑龙江·1二+模ln）2若函数ln2在区间−内ln仅2有一个零点，则的取值范围

32

为（）��=2�−3�−�1,2�

A．B．C．D．

2,30,1−1,4−1,0

【变式2-2】（2026·江西南昌·三模）已知函数与函数在区间上只

��

有一个公共点，则的取值范围为（）��=ln�+1��=�+1�∈�−1,0

A．�B．C．D．

1

−1,0−1,10,1−e,1

【变式2-3】（2026·云南曲靖·二模）已知函数，若该函数有且只有一个

��

零点，则的值为（）��=�+�−2(0<�<1,�>1)

A．1��B．C．D．

11

2

���

【题型3零点问题之双零点问题】

【例3】（2026·河南开封·模拟预测）若函数在上有两个不同的零点，则实

��−1

��=�e−��−ln�0,+∞

数的取值范围为（）

�A．B．C．D．

1111

2222

−∞,−e−e,0−e,e−e,+∞

【变式3-1】（2026·湖南郴州·模拟预测）已知，若有两个零点，则实数m的

��

取值范围为（）��=�e−ln��≥0��

A．B．C．D．

1111

22

0,�0,ee,+∞e,+∞

【变式3-2】（2026·福建福州·模拟预测）下列大小关系中能使函数存在两个不同的零点的是

�

（）��=��−��

A．B．C．D．

��>�>0��>0>��>0>��0>��>�

【变式3-3】（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数，且有

ln�,�>0

��=���=��−��

两个不同的零点，则的取值范围为（）−e,�≤0

A．�B．C．D．

111

−∞,ee,ee,+∞e,+∞

【题型4根据零点（个数）情况求参数范围】

【例4】（2026·山东泰安·模拟预测）已知函数，，若

�

e�−2,�>0

��=��=��−�−��=��

恰有4个零点，则实数的取值范围是（）��+1,�<0

A．B�．C．D．

2,+∞−∞,−20,2−2,0

【变式4-1】（2026·河南许昌·三模）已知函数，若函数有3

�lπn�,�>30

�(�)=�=�(�)−�

个零点，则实数a的取值范围是（）sin2�−3,−4π≤�≤0

A．B．C．D．

3131111

−2,−e−1,−2∪−e,00,2−e,0∪2,1

【变式4-2】（2026·陕西咸阳·三模）已知函数.

�

��=2ln�+�−1

(1)讨论的单调性；

(2)若�有�两个零点，求的取值范围.

���

【变式4-3】（2026·陕西咸阳·一模）已知函数，曲线在点

2

��=��−5+6ln��∈��=��1,�1

处的切线与轴相交于点.

(1)求函数�的单调区间0；,6

(2)若函数��有三个零点，求实数的取值范围.

�=��+��

【题型5函数零点的证明问题】

【例5】（2026·山东·模拟预测）已知函数，为的导数．

′

(1)求在处的切线方程；�(�)=sin�−ln(1+�)�(�)�(�)

(2)证明�(�：)�=在0区间存在唯一极大值点；

′π

�(�)(−1,2)

(3)证明：有且仅有2个零点．

�(�)

【变式5-1】（2026·山西运城·模拟预测）已知函数．

��=9cos�+�ln�+1(�>0)

(1)若在区间内存在极值点，求的取值范围；

π

��−1,2�0�

(2)证明：当时，在区间内有且仅有个零点．

3π

参考数据：0<�<6�．�−1,23

lnπ+1≈1.42

【变式5-2】（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数．

2��

(1)讨论的单调性；��=�e+�−2e−�

(2)若�有�两个零点，求a的取值范围；

��

(3)已知，为的两个零点，当时，证明：．

1

�1�2���=2�1+�2<2ln2

【变式5-3】（2026·河北雄安·三模）已知函数，函数，

22�−1

为实数．��=4�+2ln�−�+4�−5��=ln�−�+�

(�1)证明：．

(2)若��≤0．

（ⅰ）证−明1<：�<有0两个零点，，且若，则；

（ⅱ）证明：���．1�2�1<�2�1<1<�2

�1+�2>3+�

【题型6多零点的和、差、积与大小关系问题】

【例6】（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数，函数有三个零点

2

−�−2�,�≤0

�(�)=��=��−�

，则的取值范围是（）ln�,�>0

123123

�,�A,．��⋅�⋅�B．C．D．

11

0,1e,1e,e0,e

【变式6-1】（2026·甘肃甘南·模拟预测）已知函数有两个零点，且，则（）

�

A．B．��=�e−��1,�2�1<�2

C．�1+2e�2>−3D．�1+2e�2与=−3无法比较大小

1212

【变式6-�2】+（22e0�26<·陕−西3榆林·三模）已知函数�+2e�−3.

�2

��=�ln�−2�+�−1�+1

(1)若是函数的极大值点，求实数的取值范围；

(2)若函�=数1有且�仅�有两个零点，.�

（ⅰ）求实数��的取值范围；�1�2

（ⅱ）证明：�.

�1+�2>2

【变式6-3】（2026·四川攀枝花·一模）已知函数．

(1)求函数的极值；�(�)=��−ln�(�∈R)

(2)函数�(�)有两个零点，．

�

（i）求实�数(�)a=的�取e值−范�围；�1�2

（ⅱ）若函数有两个零点为，，证明：．

3

�(�)�2�31<�1�2�3<e

【题型7隐零点问题】

【例7】（2026·新疆喀什·模拟预测）已知函数．

(1)当时，求在点处的切线方�程�；=�+�sin�−�cos�

�=1��π,�π

(2)若在区间上有零点，求实数的取值范围．

π

��0,2�

【变式7-1】（2026·湖南长沙·二模）已知函数.

2�2

(1)当时，讨论的单调性；�(�)=e+��−2�

(2)若�=2与�(�)恰有两个交点，求的取值范围.

2

(3)当�(�)时�(，�)=��+2(�−，1求)�+a的2�取值范围.�

3

�≥0�(�)≥4�+1

【变式7-2】（2026·重庆·三模）已知函数，函数在点，处的切线

�

方程为.��=�−1e−��+��=��0�0

(1)求，�+的�值+；2=0

(2)讨论��的零点个数.

��

【变式7-3】（2026·广东广州·模拟预测）已知函数（）.

��

(1)求在区间上的最大值与最小值；��=�e�>0

(2)当��时，求−证1,：1.

�≥1��≥ln�+�+1

【题型8导数中函数零点的新定义问题】

【例8】（2026·湖北武汉·一模）已知函数的导函数为，若在区间上单调递增，则称为区

′′

间上的凹函数；若在区间上单调递�减�，则称为�区间�上的�凸�函数.已知�函数��.

�

′�

���������=e+�ln�+1

(1)若在上为凹函数，求实数的取值范围；

(2)已知��2,3，且在�上存在零点，求实数的取值范围.

��=��−1��1,+∞�

【变式8-1】（25-26高二下·天津·期中）设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程

′″′″

有实数解，则称点为曲线��的�“拐�点”.经过探究�发�现：任何�一�个三次函数的图象都�有�“拐=

0�0,��0�

点0”，且“拐�点”就是三次函数图象的对称�中=心�.已知函数的图象的对称中心为

321

��=��+��−6�+32,−

.

1

4

(1)求实数的值；

(2)求的�,零�点个数.

��

【变式8-2】（2026·河南许昌·模拟预测）对于函数，和，，设，

1212

若对任意的，，都有�=�(�)�∈�成�立=，�则(�称)函�数∈��与∩�=�“具

�

有性质”�.1�2∈��(�1)−�(�2)≤�(�1)−�(�2)(�>0)�=�(�)�=�(�)

(1)判断�函(�数)，与是否“具有性质”，并说明理由；

�

�(�)=sin��∈(0,2)�(�)=��(1)

(2)若函数与“具有性质”，且函数在区间上存在两个零点

1

2

，，求�(证�)：=�+2ln�−；2�=�(�)�(1)�=�(�)(0,+∞)

22

1212

(�3)已�知函数�+�，>2，，求证：函数与“具有性质”.

1

�(�)=�ln��∈(0,1)�(�)=��=�(�)�=�(�)�(2)

【变式8-3】（25-26高二下·湖南衡阳·期末）已知函数的导数为，的导数为的二阶导数，

′′

记作．若函数在包含的某个开区间上�具�有二阶导数�，那�么��，��

″

00

����，�我们把称为�函,�数在处的二阶∀拟�合∈函�数,�．��=��+

′″

��0��02

000

(11)!写出�函−数�+2!在�−�处的二阶拟合�函�数，并�证�明�=�对恒成立；

��

(2)若�=e�=对0恒成立�，�求a的取值e范≥围�；��∈0,+∞

�

(3)设函e数+cos�≥��+2�∈0,+∞的两个零点为，，在处的二阶拟合函数为

�2

，证明�：�=有�−两2个e零+点�，�−1，且�>0．�1�2���=1

ℎ�ℎ��3�4�1+�2<�3+�4

一、单选题

1．（2026·山西忻州·模拟预测）设，若函数在上恰有一个零点，则（）

�

A．B．�>0C．��=e−��RD．�=

−12

e1ee

2．（2026·江苏苏州·三模）已知，若有两个零点，则实数的取值范

11

22

围为（）��=�+�−�−�−��≠0���

A．B．C．D．

3．（20206,4·江西宜春·模拟预0测,4）已知函数4,+∞在−区∞间,0∪4,上+恰∞有一个零点，则

��

�+1

的取值范围为（）��=ln�+1+�∈R−1,0�

A．B．

−1,0−1,1

C．D．

1

0,1−e,1

4．（2026·贵州遵义·模拟预测）若函数在定义域上恰有三个零点，则实数的取

�+ln�,�>0

��=2�

值范围是（）�+2�−�,�≤0

A．B．C．D．

−1,0−1,0−1,0−1,0

5．（2026·河南濮阳·模拟预测）已知函数，与的零

13�

点分别为，，，则（）��=3�−�+e��=ln�+�−eℎ�=e+�−e

A．�1�2�3B．C．D．

123132231321

6．（202�6·<湖北�襄<阳�·模拟预�测）<已�知<函�数�<�<有�大于0的极大�值<，�其<中�，都是实数，则（）

2

A．�(�)=B．�l函n�数+��有两个极值点��

C．��>在0内有2个零点D．在�(�)内有1个零点

�(�)(0,e)�(�)(0,e)

7．（2026·吉林长春·模拟预测）已知函数2，若函数有个不

�+6�+3�≤0

��=eln���=��−3�4

�

同的零点，则实数的取值范围是（）�>0

A．�B．C．D．

21221

0,30,3−3,3−2,3

8．（2026·甘肃金昌·三模）已知函数（），则下列命题错误的是（）

2

��=�ln�−��∈�

A．若，则有1个零点B．若，则没有零点

C．若�<0有2个�零�点，则D．若0<�，<则e有��2个零点

二、多选题���>e�>e��

9．（2026·陕西渭南·一模）设函数，则（）

3

A．点是图像的对称�中�心=�−��+1�∈�

B．当0,1时�，=函�数�有三个零点

C．当�=3时，直线�=�不�是曲线的切线

D．若�=0有三个不同�的=零1点�，=则��

���1,�2,�3�1+�2+�3=0

10．（2026·四川遂宁·二模）已知函数−�，下列选项正确的是（）

�−12e,�<1

(�−1)

��=�−1

e,�≥1

A．函数在区间单调递增

B．函数��在上有0两,2个零点

���

C．若关于的方程有6个不相等的实数根，则实数的取值范围为

1�4

22

�|��|−�+e��+e=0�0,e

D．关于的不等式在上恰有两个整数解，则实数的取值范围为

32

32

���>��−�1,+∞�e,e

11．（2026·陕西·二模）已知函数，使得有三个零点，且

32

，则下列说法正确的是（）��=�+3�+��+�,∃�∈����1,�2,�3�1<�2<

�3A．的取值范围为

B．�−∞,3

C．若�2�3−2<0，则

D．函�数2−�在+三�个