大学高等数学《定积分及其应用》案例教学课件

高等数学·教学课件定积分及其应用案例教学分割·逼近·求和·应用2026年课程导览01从面积到积分曲边梯形与变速运动引出概念02定理与性质微积分基本定理与运算基础03几何应用案例面积、体积、弧长的微元法04物理应用案例做功、水压力、质心的建模05工程与生活拓展从桥墩到火箭的跨领域应用06方法升华微元法思想与学习路径从面积到积分无限细分，逼近真相从切披萨到算面积，走进定积分的世界01曲边梯形面积如何求解整体无现成公式，就分割成无数窄条曲边梯形由曲线y=f(x)、直线x=a、x=b及x轴围成与梯形对比三条直边相同，上方为

曲边，无法直接套用面积公式以

f(x)=x²在[0,1]

为例，分割越细，矩形面积和越逼近精确面积。求解四步法1分割在[a,b]插入分点，分成n个小区间2近似每段用矩形f(ξᵢ)Δxᵢ

近似小曲边梯形3求和Sₙ=Σf(ξᵢ)Δxᵢ4取极限λ=maxΔxᵢ

趋于001分割在[a,b]插入分点，分成n个小区间02近似每段用矩形f(ξᵢ)Δxᵢ

近似小曲边梯形03求和Sₙ=Σf(ξᵢ)Δxᵢ04取极限λ=maxΔxᵢ

趋于0变速运动路程的启示速度在变，路程靠累积变速运动的路程，同样归结为和式极限两个引例（曲边梯形面积、变速运动路程）来自不同领域，最终都归结为同一结构的和式极限，由此抽象出定积分。1已知条件已知速度v(t)是[T₁,T₂]上的连续函数2均匀化匀速与变速匀速：路程=速度×时间，变速不能直接相乘3近似分割时间短时间近似匀速，区间分成n个小区间4求和近似求和每段≈v(tᵢ)Δtᵢ，总≈Σv(tᵢ)Δtᵢ5极限取极限小区间无限小，和式极限即精确路程定积分的定义特殊和式的极限符号说明符号含义f(x)被积函数f(x)dx被积表达式x积分变量[a,b]积分区间a下限b上限核心思想与可积条件定积分的灵魂是思想方法定积分属于构造式定义，抽象复杂，入门时应始终建立直观图像，用直观性化解理解难点。三大数学思想以直代曲核心思想·一用直线近似曲线无限逼近核心思想·二分割无限细，误差趋于零近似代替核心思想·三用近似值逼近精确值两个可积定理连续函数可积可积定理·一闭区间上连续的函数必可积有限间断可积可积定理·二有界且只有有限个间断点的函数也可积定理与性质微分与积分的桥梁牛顿-莱布尼茨公式让计算化繁为简02定积分的性质运算规律是计算的基础性质表达式上下限相等∫ₐᵃf(x)dx=0交换上下限∫ₐᵇf(x)dx=−∫ᵦᵃf(x)dx常数因子∫ₐᵇkf(x)dx=k∫ₐᵇf(x)dx加减运算∫ₐᵇ[f(x)±g(x)]dx=∫ₐᵇf(x)dx±∫ₐᵇg(x)dx区间可加∫ₐᵇ=∫ₐᶜ+∫ᶜᵇ这些性质为后续计算和推导提供

基础

，熟练掌握可显著

简化

积分运算变上限积分与原函数积分上限定，函数随之变变上限积分架起一座桥：让积分与微分在此互逆相连。“这一结论揭示积分与微分的互逆关系，是微积分基本定理的关键一步。”定义变上限积分Φ(x)=∫ₐˣf(t)dt定积分上限以变量x取代常数，函数随之变化定理与推论若f(x)在[a,b]上连续，则Φ(x)在[a,b]上可导且

Φ′(x)=f(x)，变上限积分的导数还原被积函数推论：连续函数必有原函数，Φ(x)就是f(x)的一个原函数牛顿-莱布尼茨公式微分与积分的桥梁若

F(x)

是连续函数

f(x)

在

[a,b]

上的一个原函数，则

∫ₐᵇf(x)dx=F(b)−F(a)意义定积分等于任一原函数在区间端点处的增量将定积分计算转化为求原函数，大大简化计算历史背景1666年牛顿在《流数简论》中提出基本思想1677年莱布尼茨以符号形式正式表述公式应用与积分中值定理用公式算一道就懂1求原函数F(x)=1/3x³2代入端点F(2)−F(0)=8/33结论∫₀²x²dx=8/3积分中值定理若f(x)在[a,b]上连续，则存在ξ∈(a,b)，使

∫ₐᵇf(x)dx=f(ξ)(b−a)联系把定积分与函数某一点的值联系起来工具是理解变上限积分与证明牛顿-莱布尼茨公式的重要工具几何应用案例以直代曲，化曲为直微元法贯穿几何应用始终03微元法：从局部到整体取微元，再积分微元法三步骤核核心思想局部近似+无限累加异差异说明不同问题的差别，只在于微元表达式的建立1步骤01选取变量确定积分变量与积分区间2步骤02取微元写出局部近似

dQ=f(x)dx3步骤03再积分从a到b积分得总量

Q=∫ₐᵇf(x)dx平面图形面积案例上减下，右减左面积公式

dA=[f₂(x)−f₁(x)]dx，其中f₂(x)≥f₁(x)例：抛物线y²=x与y=x²所围图形面积求交点：联立得

(0,0)与(1,1)取x为积分变量：dA=(√x−x²)dxA=∫₀¹(√x−x²)dx=三分之一思考：积分变量只能选x吗？选x：dA=(√x−x²)dx，结果

三分之一选y：dA=(y−y²)dy，结果相同选方便的方向可简化计算旋转体体积案例薄圆柱的无限堆叠旋转体体积：将曲线与坐标轴围成的图形绕轴旋转，用微元法取薄圆柱体后无限累加求体积。绕x轴旋转x轴·薄圆柱堆叠V=∫ₐᵇπ[f(x)]²dx微元取

dx为高、π[f(x)]²为底面积的薄圆柱体适用曲线y=f(x)

与x轴围成图形绕x轴旋转绕y轴旋转y轴·反解定积分V=∫ₐᵇπ[g(y)]²dy前提需将

y=f(x)反解为x=g(y)解法再用定积分求解例y=sinx（0≤x≤π）绕x轴旋转，取小圆柱体无限累加平面曲线的弧长用切线长近似弧长弧长计算的核心思想：以直代曲，无限细分，用切线段近似弧长再累加求精确值∫两类弧长公式直角坐标s=∫ₐᵇ

√(1+[f′(x)]²)dx参数方程s=∫√(x′(t)²+y′(t)²)dt曲线形式弧长公式推导思路/例题与应用推导思路：取小弧段，用对应的切线段近似代替，无限细分累加，得精确弧长。例题：摆线x=t-sint、y=1-cost一拱的弧长，可用参数方程公式求解。应用：工程测量、建筑设计、交通规划广泛使用，需注意连续性与光滑性。物理应用案例让数学走进物理世界变力做功与水压力的积分建模04变力沿直线做功力随位置变化，功靠积分累积核心模型功微元dW=F(x)dx总功W=∫ₐᵇF(x)dx求解步骤3步建立坐标系确定力的方向与位移路径求功微元计算

dW=F(x)dx积分求总功对微元在区间

[a,b]

上累加W万有引力情形将质量m的物体从地面举高H米万有引力：F(r)=GMm/r²积分区间：[R,R+H]结果：W=GMm(1/R−1/(R+H))力随位置变化功靠积分累积抽水做功案例分层提升，逐层累积抽水做功：以水面为原点、向下为正，分层微元、逐层累积，定积分求和求解。01主案例圆柱形蓄水池抽水水池深5米、底面半径10米积分区间[0,5]薄层质量dm=ρπR²dx功微元

dW=ρgπR²x·dxW=1250ρgπ总功W=∫₀⁵ρgπR²xdx求解完成02补充案例大桥围囹抽水围囹直径20米、水深27米、高出水面3米积分区间[3,30]积分求抽尽水所做的功静水压力计算越深压强越大，压力需积分压强原理与微元思路4项水压强随深度增加p=ρgh平板铅直放置不同深度压强不同，不能直接用

p

乘面积微元dP=ρgh

乘以受力面积方法把闸门分割成水平条带，再逐条

积分案例：等腰三角形平板浸入水中底边朝上时受压力为

F₁底边朝下时受压力为

F₂用形心法快速得

F₂=2F₁把闸门分割成水平条带，再逐条积分质心与形心找形心，简算压力与做功找形心与质心，可将做功与压力的复杂积分化为简洁计算形心法核心概念与技巧均匀物体形心即质心是质量分布的重心位置实用技巧提升物体做功找质心·抽水做功找形心02典型案例半径为

R

的球沉入水中取出功定积分解法：W=4/3πρgR⁴巧解：球的质心从水面上升

R，直接由

体积×密度×重力×上升高度

得到两种方法结果一致，体现形心法的简洁高效4/3πρgR⁴取出功两种方法结果一致简洁高效工程与生活拓展从桥墩到火箭定积分是工程计算的通用语言05土木工程中的定积分不规则构造物的工程量靠积分面对不规则的构造物，用定积分把变化截面逐段累加，算出实实在在的工程量。01案例一湖南潭邵高速盖板通道八字墙材料：M7.5浆砌片石，按立方米计量截面：墙身分为A、B两部分方法：过x的截面为梯形，分段用定积分计算工程量02案例二青岛高铁圆端型桥墩截面：矩形两端各接半圆，自下而上带坡度范围：高度变化0到

12

米方法：用定积分计算该范围的工程量机械与航天应用从气缸到火箭，积分无处不在积分的威力，贯穿机械与航天的每一个关键环节气缸气体膨胀做功波义耳定律

PV=k导出功微元

dW=k/x·dx典型应用用于内燃机效率分析、压缩机设计火箭燃料箱承压计算核心本质本质是求解压力分布函数的定积分火箭发射克服引力做功积分区间延伸到无穷关键反求可反求脱离地球引力所需的最小初速度生活中的积分应用从泳池到电费，积分帮你算生活中的积分应用：切片累加，复杂问题也能算不规则泳池容积切片成薄片把泳池切片成无数薄片，每片近似为规则柱体累加求总累加所有薄片体积即得总容积电学中的能量计算功率随时间变化功率P(t)随时间变化定积分求能量总能量消耗即对功率函数求定积分农用灌溉系统分层计算能耗抽水能耗按水柱分层计算，每层质量

dm=ρπr²dx实际损耗校正实际应用中还需考虑管道摩擦损耗与水泵效率方法升华掌握微元法，一通百通从会算到会用的思维跃迁06微元法思想总结掌握微元法，一通百通核心方法定积分应用的核心是微元法：取微元，再积分。理解应了解每个公式的推导过程，而非只背结果通用性不同问题的差别只在于微元如何建立微元表达式一览4类应用平面面积dA=f(x)dx旋转体体积dV=π[f(x)]²dx变力做功dW=F(x)dx静水压力dP=ρgh乘以dA核心思想不同