大学高等数学《无穷级数》教学课件

大学高等数学《无穷级数》教学课件概念·判别·展开·应用授课时间：2026年课程导览01从有限到无限级数概念与收敛的直观认知02数项级数的敛散判别正项级数与任意项级数的判别工具03函数项级数与幂级数一致收敛与幂级数展开04傅里叶级数与综合应用周期函数展开与知识体系整合从有限到无限无限之和，收敛方有意义从有限求和到无限求和，开启级数之旅01从有限求和到无限求和从有限项求和自然过渡到无限项求和用有限逼近无限，用分割逼近真实——从有限求和自然过渡到无穷级数第1步分割近似分割近似将区间分割，用有限个小矩形面积之和近似第2步细化逼近细化逼近分割越细，小矩形面积之和越接近真实面积第3步极限得面积极限得面积分割无限细化时，小矩形面积之和的极限即为所求面积从有限到无限，是逼近思想的自然延伸——这类无限多项求和问题，需要建立新的数学工具

无穷级数级数的定义与部分和数列级数记号给定数列

uₙ，表达式

u₁+u₂+…+uₙ+…

称为数项级数，记作

Σuₙ。一般项uₙ

称为级数的一般项部分和前n项之和

Sₙ=u₁+u₂+…+uₙ部分和数列各阶部分和构成一个新数列核心思路将无限求和问题转化为数列极限问题，是级数理论的核心思路。级数的收敛与发散级数收敛的本质，是部分和数列存在有限极限判断级数敛散的核心在于部分和数列是否存在有限极限收敛部分和数列收敛于有限值若部分和数列收敛于有限值

S，则称级数收敛级数的和S

称为级数的和记作

Σuₙ=S发散部分和数列发散若部分和数列发散，则称级数发散级数没有和此时级数没有和余项收敛时称

S−Sₙ

为级数的余项几何级数与调和级数几何级数一般形式Σaqⁿ，其中a≠0|q|<1时收敛和为

a/(1−q)|q|≥1时发散级数不收敛，无有限和调和级数形式Σ1/n，即1+1/2+1/3+…+1/n+…一般项趋于0但级数

发散，无有限和重要结论一般项趋于0只是收敛的必要条件几何级数部分和逼近极限部分和Sₙ随项数n变化几何级数前六项部分和逼近极限值1的过程几何级数逼近极限公比r=½以二分之一为公比的几何级数部分和逐项递增S₁=0.500→S₆=0.984，不断逼近极限趋近极限值部分和随项数n增加不断逼近

1核心结论：部分和随项数增大

趋近于1级数收敛收敛级数的基本性质核心性质：线性运算、有限项无关、必要条件三大基本性质线性运算若

Σuₙ

与

Σvₙ

均收敛，则对应线性组合的级数也收敛，其和等于两和的线性组合有限项无关级数是否收敛，与改变其有限多项无关必要条件若Σuₙ收敛，则一般项必然趋于

0反之不成立调和级数即为典型反例一般项不趋于0，级数必然发散数项级数的敛散判别判别有法，敛散可定掌握判别工具，判断级数的敛散性02正项级数及其收敛准则“单调有界必收敛，是正项级数判别的基石”正项级数收敛的充要条件是其部分和数列有界正项级数各项均非负的级数部分和性质单调不减判别转化敛散判别转化为部分和是否有界的判定比较判别法1收敛情形若参照级数Σvₙ收敛，则Σuₙ收敛。大的收敛，则小的收敛由uₙ≤vₙ且Σvₙ收敛，可推得Σuₙ有界收敛，故Σuₙ收敛。2发散情形若Σuₙ发散，则Σvₙ发散。小的发散，则大的发散由uₙ≤vₙ且Σuₙ发散，可推得Σvₙ大于等于发散项，故Σvₙ发散。3常用参照级数几何级数Σarⁿ，公比|r|<1时收敛。调和级数Σ1/n，恒发散。p级数Σ1/nᵖ，p>1时收敛。判别要领：找一个敛散性已知的级数，与被判级数逐项比较。比较判别法的极限形式极限值l判别结论0<l<+∞两级数同时收敛或同时发散l=0当参照级数收敛时，被判级数收敛l=+∞当参照级数发散时，被判级数发散极限形式把逐项放缩转化为比值极限的运算，操作更简便设两级数均为正项级数，考察一般项比值在n趋于无穷时的极限

l比值判别法ρ<1收敛级数收敛后项与前项比值的极限小于1，正项级数收敛比值判断当ρ<1

时，比值判别法给出明确结论极限形式考察

uₙ₊₁/uₙ

的极限值作为判据ρ>1发散级数发散后项与前项比值的极限大于1，正项级数发散比值判断当ρ>1

时，比值判别法给出明确结论极限形式考察

uₙ₊₁/uₙ

的极限值作为判据ρ=1失效判别法失效后项与前项比值的极限等于1，无法判断敛散需改用其他方法当ρ=1

时，需换用其它判别法适用场景一般项中含阶乘、连乘或幂次的级数根值判别法与积分判别法判别正项级数敛散的两类工具：根值判别法与积分判别法根值判别法3要点考察根限考察一般项

n次方根的极限，记为

ρρ判定准则ρ<1

收敛，ρ>1

发散，ρ=1

失效适用范围适用于一般项为

n次幂形式的级数积分判别法3要点敛散同步对应函数

非负且单调递减，级数与广义积分同时敛散典型应用常用于判定

p级数Σ1/nᵖ

的敛散p值分界p>1

收敛，p≤1

发散交错级数与莱布尼茨判别法各项正负号交替出现的级数称为交错级数莱布尼茨判别法若一般项绝对值单调递减

且

趋于0，则该交错级数收敛收敛时，级数的和不超过首项的绝对值单调递减极限为0绝对收敛与条件收敛两种收敛的强弱之分绝对收敛强于条件收敛，条件收敛的级数不能随意重排绝对收敛定义：一般项绝对值构成的级数收敛，则原级数绝对收敛性质：绝对收敛的级数必然收敛性质：可任意交换项的顺序，和不变条件收敛定义：原级数收敛，但其绝对值级数发散，则原级数条件收敛性质：条件收敛的级数不能随意重排数项级数判别方法一览级数类型一般项特征首选判别法正项级数含阶乘、连乘比值判别法正项级数含n次幂根值判别法正项级数与p级数接近比较判别法极限形式正项级数对应函数可积积分判别法交错级数绝对值单调递减趋0莱布尼茨判别法任意项级数绝对值级数易判先判绝对收敛判别顺序建议：先看一般项是否趋于

0，再判

绝对收敛，最后用专门判别法函数项级数与幂级数函数之和，逐点与一致从数项到函数项，深入幂级数展开03函数项级数的概念1每一项都是定义在区间上的函数函数项级数2区间内取某一具体值化为数项级数3该数项级数收敛该点为收敛点4全体收敛点收敛域，在其上定义和函数收敛域的求解方法以一般项为

x的n次幂

的级数为例，说明收敛域的求法。第1步视x为参量数项级数判别法将

x视为参量，用数项级数判别法判断敛散。第2步几何级数得出收敛区间由几何级数结论知，|x|<1

时收敛。第3步检验端点单独讨论端点

x=1

与

x=−1

处级数发散，需

单独讨论。第4步得到收敛域收敛域与和函数得到收敛域为开区间

(−1,1)，和函数为

1/(1−x)。求收敛域的关键：先得一般区间，再逐一检验端点。一致收敛及其判别逐点收敛与一致收敛的对比逐点收敛对每个固定的取值，部分和数列分别收敛性质局部逐点成立一致收敛部分和与和函数的偏差在整体上一致地趋于0性质整体一致成立关系一致收敛强于逐点收敛一致收敛级数的性质一致收敛条件下，函数项级数获得三条核心性质。性质一·连续性连续性一致收敛前提下成立和函数在收敛区间上

连续。连续和函数一致收敛前提性质二·逐项积分逐项积分一致收敛前提下成立积分与求和可

交换次序。交换次序积分与求和一致收敛前提性质三·逐项求导逐项求导一致收敛前提下成立导数级数一致收敛时，求导与求和可

交换次序。交换次序求导与求和一致收敛前提幂级数及其收敛半径幂级数及其收敛域的确定形如

Σaₙxⁿ

的级数称为

幂级数

，是函数项级数中应用最广的一类幂级数的收敛域结构对称，由收敛半径唯一确定01核心判别依据阿贝尔定理若幂级数在某点收敛，则在到原点距离更近的一切点绝对收敛收敛域结构幂级数的收敛域总是一个以原点为中心的区间收敛半径存在非负数

R，使x的绝对值小于R时收敛、大于R时发散，R称为

收敛半径收敛半径与收敛域的求法端点是否纳入，必须逐一验证，不能默认。求收敛半径两步定半径01比值极限法记相邻项系数比值极限为ρ，则收敛半径

R=1/ρ02比值判别法也可直接用比值判别法对幂级数进行判断。确定收敛域三步定收敛域01先取开区间先得开区间

(−R，R)02讨论两端敛散性分别讨论两端点处的敛散性03收敛并入·发散舍去端点收敛则并入收敛域，发散则舍去。幂级数的运算与性质说明幂级数在收敛区间内的分析性质，为函数展开提供运算工具三条运算性质在收敛区间内均成立，且收敛半径保持不变求和与求导、积分的灵活交换，是幂级数应用的钥匙逐项加减乘幂级数在收敛区间内可逐项相加、相减、相乘运算结果仍是幂级数逐项求导在收敛区间内可逐项求导收敛半径不变逐项积分在收敛区间内可逐项积分收敛半径不变函数展开成幂级数系统介绍函数展开为幂级数的直接法与间接法，说明展开的唯一性。函数若可展开为幂级数，则展开式

唯一。1步骤01求各阶导数原点取值计算函数各阶导数在

原点

处的取值2步骤02写麦克劳林级数直接写出展开式写出对应的

麦克劳林级数3步骤03验证余项趋于0验证余项

趋于0间间接展开法变量代换利用

已知展开式四则运算通过运算得到

新展开式逐项积分/逐项求导运算量小，是应用中的

常用方法常用函数的麦克劳林展开函数麦克劳林展开式要点收敛区间ex1+x+x²/2!+…全体实数sinxx−x³/3!+…全体实数cosx1−x²/2!+…全体实数ln(1+x)x−x²/2+x³/3−…−1到11/(1−x)1+x+x²+x³+…−1到1这些展开式是间接展开法的基本素材，应当熟记。傅里叶级数与综合应用周期函数，三角展开拓展级数应用，整合知识体系04三角函数系的正交性正交性使各次谐波的系数可以独立求出三角函数系中，任意两个不同函数的积在一个周期上的积分为

0，与自身乘积的积分不为

0——即谓正交性。正交性定义不同函数任意两个不同函数在一个周期上的积分等于

0自身积分任一函数与自身的积分不为

0求系数依据核心依据正交性是求傅里叶系数的核心依据函数构成三角函数系由常数项与各次正弦、余弦函数共同构成傅里叶系数与傅里叶级数由正交性推导傅里叶系数公式，建立周期函数展开为三角级数的基本形式。周期为

2π

的函数可展开为三角级数，各项

傅里叶系数

由函数与三角函数的乘积积分确定。余弦项系数aₙ=(1/π)∫f(x)cos(nx)dx由函数与余弦函数乘积的积分给出。正弦项系数bₙ=(1/π)∫f(x)sin(nx)dx由函数与正弦函数乘积的积分给出。傅里叶级数把周期函数分解为不同频率正弦波与余弦波的叠加。狄利克雷收敛定理函数在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点，且极值点至多有限个连续点连续点处傅里叶级数的收敛行为傅里叶级数收敛于函数值，即在该点处级数的和等于函数在该点的取值。左极限=右极限=函数值连续点性质间断点处间断点收敛于该点左极限与右极限的平均值，即取左右两侧极限的中间值。区间端点处区间端点同样按左右极限平均处理，收敛于端点两侧极限的平均值。奇偶函数的傅里叶级数利用奇偶性简化傅里叶级数形式利用奇偶性，傅里叶展开式得以大幅简化“利用奇偶性只需计算

一半

的系数，计算量减半。奇函数余弦项系数全部为

0这些项自动消失只保留正弦项展开式称为

正弦级数正弦级数偶函数正弦项系数全部为

0这些项自动消失保留余弦项与常数项展开式称为

余弦级数余弦级数傅里叶级数的复数形式引