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文档简介
专题2.2函数的概念及其表示(举一反三专项训练)
【全国通用】
目录
第一部分题型专练
【题型1求函数值】...................................................................................................................................................1
【题型2具体函数的定义域】...................................................................................................................................3
【题型3抽象函数、复合函数的定义域】...............................................................................................................4
【题型4函数值域的求解】.......................................................................................................................................5
【题型5同一函数的判断】.......................................................................................................................................7
【题型6求函数的解析式】.......................................................................................................................................9
【题型7分段函数及其应用】.................................................................................................................................10
第二部分分层突破
A组基础跟踪练
B组培优提升练
C组真题·实战演练
【题型1求函数值】
1.(2026·河北·模拟预测)已知函数的定义域为,,,都有,
且,则()��0,+∞∀�>0�>0���=��+��
1
�4=−1�64=
A.3B.4C.5D.6
【答案】A
【解题思路】赋值法得到,,,,从而
111
�2=−2�1=0�2=2�4=1�64=2�8=2�2+�4=3
【解答过程】因为,,所以,
111111
又�4,=有�2+�,2�4=−1�2=−2
又由�1=�1+�1,�有1=0,故,
11
�1=�2+�2�2=2�4=2�2=1
.
�故6选4:=A.2�8=2�2+�4=3
2.(25-26高一上·山东滨州·期末)已知函数满足对于任意实数x,y都有,且
,则()�(�)�(�+�)=�(�)�(�)
�(4)A=.116�(3)=B.2C.4D.8
【答案】D
【解题思路】根据给定条件,利用赋值法计算即可.
【解答过程】由对于任意实数,都有,得
���2
又,则��,而�(�+�)=�(�)�(�),解�得(�)=�(2+,2)=[�(2)]≥0
22
所以[�(2)]=�(4)=16�(2)=4.[�(1)]=�(2)=4�(1)=2
3
故选:�(3D).=�(1)�(2)=[�(1)]=8
3.(25-26高一上·云南红河·阶段检测)已知函数满足,,,且
,则()��∀��∈����−���=�−��0+�1=
0A.�26=B.5C.4D.3
【答案】D
【解题思路】利用赋值法并结合题意求出函数解析式,进而求解函数值即可.
【解答过程】对于,且,,
令,可得���−�,�解�得=�−�,∀��∈�
因为�=0��0,=所−�以�0=−,1解得,
令�0,+可�得1=0−1+,�得1到=0�1,=1
则�=1��−�,=故�−D1正确.��=2�−1
故选�2:D=.2×2−1=3
4.(2026·湖北·三模)已知定义在正整数集上的函数满足,且有,
则()����+��=��+��1+�1=2
A.B.
C.�2024>2024D.�2025>2025
【答案】�D2025<2024�2024<2025
【解题思路】根据新定义函数,直接赋值即可求解.
【解答过程】取,得,
�=�=1�1+�1=�1+1
又,故.
取�1+,�得1=2�1=1,即.
对正�=整1数x,��+�1=��+,1��+1=��+1
累加,得��+,1−��=1,
故选:D.��=��2024=2024<2025
【题型2具体函数的定义域】
5.(25-26高一上·宁夏吴忠·期末)函数的定义域为()
2
A.B.�=C�.−2�−3D.(3,4)
【答案】C−1,3−1,3−∞,−1∪3,+∞
【解题思路】根据二次根式有意义的条件得出被开方数大于或等于0,再解一元二次不等式即可.
【解答过程】要使有意义,只需,即,
22
解得或�=,所�以−函2数�−3�的−定2义�域−为3≥0�−3�+1.≥0
2
故选:�≥C.3�≤−1�=�−2�−3−∞,−1∪3,+∞
6.(25-26高一上·山西阳泉·期末)函数的定义域为()
1
��=2�−3+�−3
A.B.
3
2,+∞−∞,3∪3,+∞
C.D.
33
2,3∪3,+∞2,3∪3,+∞
【答案】C
【解题思路】根据根号和分式定义去求解.
【解答过程】由得,,解得,
3
2�−32�−3≥0�≥2
由得,,解得,
1
�−3�−3≠0�≠3
综合两个条件,函数的定义域为.
3
2,3∪(3,+∞)
故选:C.
.(高一上河北沧州期末)函数的定义域为()
725-26··0
(2�−1)
�(�)=2−�
A.B.C.D.
1111
(−∞,2](−∞,2)−∞,2∪2,2−∞,2∪2,2
【答案】D
【解题思路】根据零次幂底数不为0,分母不为0,二次根式被开方数非负列不等式求解即可.
【解答过程】由题意知,,解得且.
1
2�−1≠0
�<2�≠2
所以函数的定义域为2−�>0.
11
��−∞,2∪2,2
故选:D.
8.(25-26高一上·天津·期末)已知函数,则的定义域为()
�−1
�2−�+ln3−��
A.()�B=.�
C.1,3D.1,2∪2,3
【答案】B−∞,1∪3,+∞−3,1∪1,2
【解题思路】根据使式子有意义得到不等式组,求解即可.
【解答过程】要使函数有意义,则,解得且,
�−1≥0
2−�≠01≤�<3�≠2
所以的定义域为,3−�>0
故选:��B.1,2∪2,3
【题型3抽象函数、复合函数的定义域】
9.(25-26高一上·江西南昌·期末)已知函数的定义域为,则函数的定义域为()
��+1
�−10
A.�B.�4,11��=
C.3,10D.10,12
【答案】A5,105,10∪10,12
【解题思路】先由的定义域求出的定义域,再结合分母不为,即可得解.
�(�)�(�+1)0
【解答过程】由,得,所以的定义域为.
4≤�+1≤11
3≤�<10��3,10
故选:A.�−10≠0
10.(25-26高一上·江苏南通·期中)已知,则函数的定义域是()
A.B.��C=.�+1+3−�D.��=��+1
【答案】C0,20,4−2,2−1,3
【解题思路】先求得的定义域,进而求得的定义域.
【解答过程】对于��,��
由解得��=�+,1+3−�
�+1≥0
−1≤�≤3
所以3−�的≥定0义域为.
��−1,3
对于有,
解得��=��+,1所以−1≤的�定+义1域≤是3.
故选:−2C≤.�≤2��−2,2
11.(25-26高一上·安徽六安·期中)已知函数的定义域为,则函数的定义域为()
�2�−1
�−1,5��−1
A.B.�C.D.�=
【答案】C0,3−3,90,1∪1,3−3,1∪1,9
【解题思路】借助抽象函数定义域与具体函数定义域求法计算即可得.
【解答过程】由题意得,解得或,
−1≤2�−1≤5
0≤�<11<�≤3
故函数的定义�域−为1≠0.
�2�−1
�−1
故选:C�.�=0,1∪1,3
12.(25-26高一上·山东德州·期中)若函数的定义域为,则函数的定义域为()
�3�
��0,6��=�−1
A.B.C.D.
【答案】B1,21,21,181,18
【解题思路】根据抽象函数定义域以及分式有意义求解即可.
【解答过程】因为函数的定义域为,
令,解得��,0,6
0≤3�≤6
1<�≤2
所以�函−数1>0的定义域为.
�3�
��=�−11,2
故选:B.
【题型4函数值域的求解】
13.(25-26高一上·江苏苏州·期中)函数的值域为()
A.B.�=C1.−�+1−2�D.
111
−∞,20,+∞2,+∞2,+∞
【答案】C
【解题思路】利用换元法结合二次函数的基本性质可求得原函数的值域.
【解答过程】令,可得,即,
2
21−�
�=1−2�≥0�=1−2��=2
所以,
2
1−�121
�=1−�+1−2�=1−2+�=2�+�+2
因为函数在上为增函数,故,
1211
�=2�+�+20,+∞�≥2
即函数的值域为.
1
�=1−�+1−2�2,+∞
故选:C.
.(高一上浙江阶段检测)函数的值域为()
1425-26··2
3�−3�+4
2
�=�−�+1
A.B.C.D.
13131313
−∞,33,30,33,3
【答案】B
【解题思路】分离参数后,利用二次函数的性质求解最值,即可结合不等式的性质求解.
【解答过程】由可得,
2
3�−3�+41
22
�=�−�+1�=3+�−�+1
由于函数,所以,
123314
22
��=�−�+1=�−2+4≥40<�−�+1≤3
故,
113
2
�=3+�−�+1∈3,3
故选:B.
15.(25-26高一上·江西上饶·阶段检测)取整函数(也叫高斯函数)的函数值表示不超过实数x
的最大整数,例如,,,,,则�函�数=[�],其中
的值域为()[−3.5]=−4[2.1]=2[3]=3[−2]=−2��=�−[�]�∈[−5,5]
A.B.
C.0,1D.0,1
【答案】A−1,0−1,1
【解题思路】由题可知,从而得到函数的值域为.
【解答过程】根据取整函�数≤的�定<义�,+对1任意实数,有��0,,1可得;
故函数的值域为.��≤�<�+10≤�−[�]<1
故选:A�.�0,1
16.(25-26高一上·辽宁朝阳·期末)函数的值域为()
A.B.��C=.�−1−2�D.
5715
−∞,−2−∞,−4−∞,−2−∞,−8
【答案】D
【解题思路】换元法,令,得到,从而得到函数值域.
1215
【解答过程】令�−1,=则�≥0,�=−2�−4−8
2
�−1=�≥0�=�+1
则,
2
22115
�=�−2�+1=−2�+�−2=−2�−4−8
故当时,取得最大值,最大值为,
1121515
�=4��=−2�−4−8−8
所以的值域为.
15
��=�−1−2�−∞,−8
故选:D.
【题型5同一函数的判断】
17.(25-26高一上·河北雄安·期末)下列各组函数不是同一个函数的是()
A.与
35
35
B.��=�与��=�
2
C.��=�与��=�
2
00
��=2���=�
D.与
22
【答案】D��=�−2��−1��=�−2��−1
【解题思路】利用相等函数的定义从函数三要素角度分析即可.
【解答过程】对于A,当为奇数时,,
�
�
所以,与��对=应�关系和定义域相同,故是同一个函数;
35
35
对于�B,�=为偶�数=时�,��=,所�以=�,
�
�2
与对应�关系和定义域�相=同�,故是同�一�个=函数�;=�
��
对于C,与都可化为,
2
00
且定义域�均�为=2��,�故=是�同一个函数�;=2
对于D,�∣�≠0与的定义域都是,
22
是关于��的=二�次−函2数�,�−而1�是�关=于�的−函2�数�,−1�
�当�时为�一次函数,当��时为常数�函数,
两函�≠数0对应关系不相同,故�不=是0同一个函数.
故选:D.
18.(25-26高一上·广西河池·期末)下列表示为同一个函数的是()
A.,B.,
0
.�(�)=1�,(�)=�.�(�)=|�+1,|�(�)=|�+1|
CD2
2�−1
�(�)=��(�)=��(�)=�+1�(�)=�−1
【答案】B
【解题思路】利用相同函数的定义逐项判断得解.
【解答过程】对于A,函数的定义域为R,函数的定义域为,A不是;
0
对于B,函数�(与�)=1的定义域都为�(R�,)=且�对应法则相同{,�∈BR是|�;≠0}
对于C,函数�(�)=|�+的1|值域�(为�)=|�+1,|函数的值域为R,C不是;
2
对于,函数�(�)=�的定义域[0,为+∞,)函数�(�)=�的定义域为,不是
DR2D.
�−1
故选:B.�(�)=�+1�(�)=�−1{�∈R|�≠1}
19.(25-26高一上·贵州铜仁·期末)下列函数中,与函数是同一个函数的是()
...�=�.
ABC3D
33�2
22
【答案】A�=��=��=��=�
【解题思路】根据同一函数定义域,值域,解析式相同分别判断各个选项即可.
【解答过程】函数的定义域为,值域为,
�=�RR
对于A,,定义域为,值域为,
33
即与函数�=是�同一=个�函数,故AR正确;R
对于B,�=�,值域为,值域不同,故B错误;
2
对于,�=�,定=义�域为0,+,∞定义域不同,故错误;
C3C
�
2
�=���≠0
对于D,,定义域为,定义域不同,故D错误.
2
故选:A.�=�0,+∞
20.(25-26高一上·广西北海·期末)下列各组中的两个函数是同一个函数的是()
A.,B.,
2
�,�≥0
��=���=���=���=
C.,D.,−�,�<0
022
【答案】�B�=2��=�+1��=���=(�−1)
【解题思路】根据函数的三要素判断即可.
【解答过程】对于A,函数的定义域为,函数的定义域为,所以两个函数不是同个一函数,
所以A错误;��R��[0,+∞)
对于B,根据绝对值的含义,,所以与是同一个函数,所以B正确;
�,�≥0
��=�=��
对于C,函数,其定义域为−�,�<0,函数的定义域为,所以两个函数不是同
0
��=�+1=2�|�≠0��=2R
一个函数,所以C错误;
对于D,函数与的对应关系不同,所以不是同一个函数,所以D错误.
故选:B.����
【题型6求函数的解析式】
21.(25-26高一上·全国·单元测试)已知一次函数满足,则()
A.B.�(�)�(2�−1)+�(�+1)=2(�−3)
23
�(�)=3�−3�(�)=2�−3
C.D.
23
�(�)=3�+3�(�)=2�+3
【答案】A
【解题思路】设出函数解析式,利用待定系数法求解.
【解答过程】由为一次函数,设,
依题意,�(�)�(�)=��+,�(整�理≠得0),
因此�(2�−,1解)得+�+�(�+1)+,�所=以2�−6.3��+2�=2�−6
22
3�=2
�=3,�=−3�(�)=3�−3
故选:2�A.=−6
22.(25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测)已知,则函数的解析式为()
2
A.B.�(�−1)=�+�−2�(�+1)
22
C.�(�+1)=�+5�+1D.�(�+1)=�+3�
22
【答案】�C(�+1)=�+5�+4�(�+1)=�+3�+6
【解题思路】利用换元法求出,进而求出.
【解答过程】令,则�(�),�(�+1),
22
所以�−1=��=�+1�(�)=(�+.1)+(�+1)−2=�+3�
22
故选:�(�C.+1)=(�+1)+3(�+1)=�+5�+4
23.(25-26高一上·全国·课后作业)若是一次函数,,,则
()�(�)2�(2)−3�(1)=52�(0)−�(−1)=1�(�)=
A.B.C.D.
【答案】B3�+23�−22�+32�−3
【解题思路】设出函数的解析式,再根据给定条件列出方程组,求解作答.
【解答过程】设�(�),由题设有,
2(2�+�)−3(�+�)=5
�(�)=��+�(�≠0)
2(0⋅�+�)−(−�+�)=1
解得,所以.
�=3
�(�)=3�−2
故选:�B=.−2
24.(25-26高一上·浙江·期中)已知,则函数的解析式为()
A.��+1B.=�−1(��)
22
C.��=�−2�()D.��=�−1(�≥1)
22
【答案】�D�=�−2�+2�≥1��=�−2��≥1
【解题思路】通过配凑,得,进而求得函数的解析式,要注
意的影响.��+1=�−1=�+1�+1−2��
【解�答=过�程+】1因≥为1,
设,�则�+1=�−1=�+1�−1=�+1�+1−2
所以�=�+1≥1��=.��−2,�≥1
所以函��数=�的�解−2析,式�为≥1().
2
故选:D.����=�−2��≥1
【题型7分段函数及其应用】
25.(25-26高一上·江西吉安·期末)已知函数,则()
2�−3,�≥1
��=2��0=
A.B.1C.2�+2,�<1D.3
【答案】B−1
【解题思路】根据分段函数的解析式,先根据0满足的条件选择正确的解析式求出,根据其值,代入符
合要求的解析式计算,求出结果即可.�(0)
【解答过程】可知,则.
2
故选:B.�0=0+2=2��0=�2=2×2−3=1
26.(25-26高一上·江西宜春·阶段检测)已知函数,若,则()
0,�<1
�(�)=�+21,1≤�<2�(�(�))=1�=
A.4B.3C.2−�+5,D�.≥12
【答案】D
【解题思路】设,则,根据分段函数分类讨论计算推得,再由,同法讨论计算
即得的值.�(�)=��(�)=1�=2�(�)=2
【解答�过程】设,则,
�(�)=��(�(�))=�(�)=1
当时,,不合题意;
当�<1�时(�,)=由0≠1,解得,不合题意;
当1≤�时<,2由�(�)=�+1=,1解得�=0,因,则,
2
即�≥2,若�(�)=,−则�+5=1,�不=合±题2意;�≥2�=2
若�(�)=2,则�<1�(�)=0,≠解2得,符合题意;
若1≤�,<则2�(�)=�+1=,2解得�=1,不合题意.
2
综上�≥,2可得�(�).=−�+5=2�=±3∉[2,+∞)
故选:D.�=1
.(高一上新疆克拉玛依期末)已知,则()
2725-26··2
�−3�,�≥0.5
��=1�(�(1))=
A.B.C.12�−1,�<0.5D.10
1
−5−2
【答案】A
【解题思路】先求,再代入求出即可.
【解答过程】由题意�1可得,��1,则.
11
�1=1−3=−2��1=�−2=−4−1=−5
故选:A.
28.(2026·天津和平·二模)已知函数,则不等式的解集是()
−�,�<−1
��+1=�+���≤1
A.B.�,�≥−1
C.��≤1D.�−1≤�≤1
【答案】A��≤2−1�−1≤�≤2−1
【解题思路】先求出函数的解析式,再分、两种情况解不等式即可.
【解答过程】解:由���,<则0�≥0,
−�,�<−1−�+1,�<0
��+1=��=
�,,解�得≥−1,�−1,�≥0
�<0
∴�<0
�+���=�+�−�+1≤,1解得,
�≥0
0≤�≤1
综�上+,��不�等=式�+��−1≤的1解集是.
故选:A.�+���≤1��≤1
A组基础跟踪练
一、单选题
1.(25-26高二上·贵州遵义·阶段检测)函数的定义域是()
3
��=�−1+4−�
A.B.
C.1,4D.−∞,1∪1,4
【答案】B1,41,4∪4,+∞
【解题思路】根据函数解析式存在的意义列不等式组求解即可.
【解答过程】由,解得或,
故的定义域�是−1≠0,4−�≥0.�<11<�≤4
故选��:B.−∞,1∪1,4
2.(25-26高一上·陕西西安·期末)设集合,则下列图象能表示从集合
到集合的函数关系的有()�={�∣0≤�≤4},�={�∣0≤�≤4}
��
A.B.
C.D.
【答案】B
【解题思路】根据函数关系的定义逐个判断即可.
【解答过程】A选项,集合P中的这部分在集合Q中没有元素对应,故A选项错误;
B选项,,均存在唯一{�|2与<其�对≤应4,}故B选项正确;
C选项,存∀在�∈集�合P中一个元素�对∈应�集合Q中的两个元素,故C选项错误;
D选项,集合P中的元素2对应了集合Q中的两个元素,故D选项错误;
故选:B.
3.(25-26高一上·江西九江·期末)已知函数若,则()
�+21,�≤0,
��=�(�(�))=2�=
�+�,�>0,
A.或1B.或0C.或0D.或
【答案】D−2−1−2−2−1
【解题思路】令,可得或,结合的取值范围分析求解.
【解答过程】令�(�)=�,则�=0,�若=1,则��,解得,
若,则�(�)=,�解得�(�)=,2�≤0�+2=2�=0
1
故�>0或�+�=2,�=1
当��=时0,��=1,与或矛盾,
1
故�>0,所以��=�+�≥,2��=0��=1
所以�≤0�或�=�+2,解得或.
故选:�+D.2=0�+2=1�=−2−1
4.(2026·北京东城·一模)下列函数中,定义域为的函数是()
A.B.C.(0,+∞)D.
�
【答案】B�(�)=��(�)=ln��(�)=2�(�)=tan�
【解题思路】利用各个选项中函数的定义及要使得函数有意义即可求得定义域,由此得出答案.
【解答过程】对于A,要使得根号下有意义,则,即定义域为,故A错误;
对于B,要使得对数有意义,则真数,即定�≥义域0为,[故0,+B正∞)确;
对于C,由指数函数的定义可知其定义�>域0为,故C错误0;,+∞
�
对于D,要使得正切函数有意义,则,即定义域为,故D错误;
ππ
�≠�π+2,�∈��|�≠�π+2,�∈�
故选:B.
5.(2026·山西·模拟预测)已知函数,则()
1111
222
��=1−��2�3⋅⋅⋅�9=
A.
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