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文档简介

专题2.2函数的概念及其表示(举一反三专项训练)

【全国通用】

目录

第一部分题型专练

【题型1求函数值】...................................................................................................................................................1

【题型2具体函数的定义域】...................................................................................................................................3

【题型3抽象函数、复合函数的定义域】...............................................................................................................4

【题型4函数值域的求解】.......................................................................................................................................5

【题型5同一函数的判断】.......................................................................................................................................7

【题型6求函数的解析式】.......................................................................................................................................9

【题型7分段函数及其应用】.................................................................................................................................10

第二部分分层突破

A组基础跟踪练

B组培优提升练

C组真题·实战演练

【题型1求函数值】

1.(2026·河北·模拟预测)已知函数的定义域为,,,都有,

且,则()��0,+∞∀�>0�>0���=��+��

1

�4=−1�64=

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【解题思路】赋值法得到,,,,从而

111

�2=−2�1=0�2=2�4=1�64=2�8=2�2+�4=3

【解答过程】因为,,所以,

111111

又�4,=有�2+�,2�4=−1�2=−2

又由�1=�1+�1,�有1=0,故,

11

�1=�2+�2�2=2�4=2�2=1

.

�故6选4:=A.2�8=2�2+�4=3

2.(25-26高一上·山东滨州·期末)已知函数满足对于任意实数x,y都有,且

,则()�(�)�(�+�)=�(�)�(�)

�(4)A=.116�(3)=B.2C.4D.8

【答案】D

【解题思路】根据给定条件,利用赋值法计算即可.

【解答过程】由对于任意实数,都有,得

���2

又,则��,而�(�+�)=�(�)�(�),解�得(�)=�(2+,2)=[�(2)]≥0

22

所以[�(2)]=�(4)=16�(2)=4.[�(1)]=�(2)=4�(1)=2

3

故选:�(3D).=�(1)�(2)=[�(1)]=8

3.(25-26高一上·云南红河·阶段检测)已知函数满足,,,且

,则()��∀��∈����−���=�−��0+�1=

0A.�26=B.5C.4D.3

【答案】D

【解题思路】利用赋值法并结合题意求出函数解析式,进而求解函数值即可.

【解答过程】对于,且,,

令,可得���−�,�解�得=�−�,∀��∈�

因为�=0��0,=所−�以�0=−,1解得,

令�0,+可�得1=0−1+,�得1到=0�1,=1

则�=1��−�,=故�−D1正确.��=2�−1

故选�2:D=.2×2−1=3

4.(2026·湖北·三模)已知定义在正整数集上的函数满足,且有,

则()����+��=��+��1+�1=2

A.B.

C.�2024>2024D.�2025>2025

【答案】�D2025<2024�2024<2025

【解题思路】根据新定义函数,直接赋值即可求解.

【解答过程】取,得,

�=�=1�1+�1=�1+1

又,故.

取�1+,�得1=2�1=1,即.

对正�=整1数x,��+�1=��+,1��+1=��+1

累加,得��+,1−��=1,

故选:D.��=��2024=2024<2025

【题型2具体函数的定义域】

5.(25-26高一上·宁夏吴忠·期末)函数的定义域为()

2

A.B.�=C�.−2�−3D.(3,4)

【答案】C−1,3−1,3−∞,−1∪3,+∞

【解题思路】根据二次根式有意义的条件得出被开方数大于或等于0,再解一元二次不等式即可.

【解答过程】要使有意义,只需,即,

22

解得或�=,所�以−函2数�−3�的−定2义�域−为3≥0�−3�+1.≥0

2

故选:�≥C.3�≤−1�=�−2�−3−∞,−1∪3,+∞

6.(25-26高一上·山西阳泉·期末)函数的定义域为()

1

��=2�−3+�−3

A.B.

3

2,+∞−∞,3∪3,+∞

C.D.

33

2,3∪3,+∞2,3∪3,+∞

【答案】C

【解题思路】根据根号和分式定义去求解.

【解答过程】由得,,解得,

3

2�−32�−3≥0�≥2

由得,,解得,

1

�−3�−3≠0�≠3

综合两个条件,函数的定义域为.

3

2,3∪(3,+∞)

故选:C.

.(高一上河北沧州期末)函数的定义域为()

725-26··0

(2�−1)

�(�)=2−�

A.B.C.D.

1111

(−∞,2](−∞,2)−∞,2∪2,2−∞,2∪2,2

【答案】D

【解题思路】根据零次幂底数不为0,分母不为0,二次根式被开方数非负列不等式求解即可.

【解答过程】由题意知,,解得且.

1

2�−1≠0

�<2�≠2

所以函数的定义域为2−�>0.

11

��−∞,2∪2,2

故选:D.

8.(25-26高一上·天津·期末)已知函数,则的定义域为()

�−1

�2−�+ln3−��

A.()�B=.�

C.1,3D.1,2∪2,3

【答案】B−∞,1∪3,+∞−3,1∪1,2

【解题思路】根据使式子有意义得到不等式组,求解即可.

【解答过程】要使函数有意义,则,解得且,

�−1≥0

2−�≠01≤�<3�≠2

所以的定义域为,3−�>0

故选:��B.1,2∪2,3

【题型3抽象函数、复合函数的定义域】

9.(25-26高一上·江西南昌·期末)已知函数的定义域为,则函数的定义域为()

��+1

�−10

A.�B.�4,11��=

C.3,10D.10,12

【答案】A5,105,10∪10,12

【解题思路】先由的定义域求出的定义域,再结合分母不为,即可得解.

�(�)�(�+1)0

【解答过程】由,得,所以的定义域为.

4≤�+1≤11

3≤�<10��3,10

故选:A.�−10≠0

10.(25-26高一上·江苏南通·期中)已知,则函数的定义域是()

A.B.��C=.�+1+3−�D.��=��+1

【答案】C0,20,4−2,2−1,3

【解题思路】先求得的定义域,进而求得的定义域.

【解答过程】对于��,��

由解得��=�+,1+3−�

�+1≥0

−1≤�≤3

所以3−�的≥定0义域为.

��−1,3

对于有,

解得��=��+,1所以−1≤的�定+义1域≤是3.

故选:−2C≤.�≤2��−2,2

11.(25-26高一上·安徽六安·期中)已知函数的定义域为,则函数的定义域为()

�2�−1

�−1,5��−1

A.B.�C.D.�=

【答案】C0,3−3,90,1∪1,3−3,1∪1,9

【解题思路】借助抽象函数定义域与具体函数定义域求法计算即可得.

【解答过程】由题意得,解得或,

−1≤2�−1≤5

0≤�<11<�≤3

故函数的定义�域−为1≠0.

�2�−1

�−1

故选:C�.�=0,1∪1,3

12.(25-26高一上·山东德州·期中)若函数的定义域为,则函数的定义域为()

�3�

��0,6��=�−1

A.B.C.D.

【答案】B1,21,21,181,18

【解题思路】根据抽象函数定义域以及分式有意义求解即可.

【解答过程】因为函数的定义域为,

令,解得��,0,6

0≤3�≤6

1<�≤2

所以�函−数1>0的定义域为.

�3�

��=�−11,2

故选:B.

【题型4函数值域的求解】

13.(25-26高一上·江苏苏州·期中)函数的值域为()

A.B.�=C1.−�+1−2�D.

111

−∞,20,+∞2,+∞2,+∞

【答案】C

【解题思路】利用换元法结合二次函数的基本性质可求得原函数的值域.

【解答过程】令,可得,即,

2

21−�

�=1−2�≥0�=1−2��=2

所以,

2

1−�121

�=1−�+1−2�=1−2+�=2�+�+2

因为函数在上为增函数,故,

1211

�=2�+�+20,+∞�≥2

即函数的值域为.

1

�=1−�+1−2�2,+∞

故选:C.

.(高一上浙江阶段检测)函数的值域为()

1425-26··2

3�−3�+4

2

�=�−�+1

A.B.C.D.

13131313

−∞,33,30,33,3

【答案】B

【解题思路】分离参数后,利用二次函数的性质求解最值,即可结合不等式的性质求解.

【解答过程】由可得,

2

3�−3�+41

22

�=�−�+1�=3+�−�+1

由于函数,所以,

123314

22

��=�−�+1=�−2+4≥40<�−�+1≤3

故,

113

2

�=3+�−�+1∈3,3

故选:B.

15.(25-26高一上·江西上饶·阶段检测)取整函数(也叫高斯函数)的函数值表示不超过实数x

的最大整数,例如,,,,,则�函�数=[�],其中

的值域为()[−3.5]=−4[2.1]=2[3]=3[−2]=−2��=�−[�]�∈[−5,5]

A.B.

C.0,1D.0,1

【答案】A−1,0−1,1

【解题思路】由题可知,从而得到函数的值域为.

【解答过程】根据取整函�数≤的�定<义�,+对1任意实数,有��0,,1可得;

故函数的值域为.��≤�<�+10≤�−[�]<1

故选:A�.�0,1

16.(25-26高一上·辽宁朝阳·期末)函数的值域为()

A.B.��C=.�−1−2�D.

5715

−∞,−2−∞,−4−∞,−2−∞,−8

【答案】D

【解题思路】换元法,令,得到,从而得到函数值域.

1215

【解答过程】令�−1,=则�≥0,�=−2�−4−8

2

�−1=�≥0�=�+1

则,

2

22115

�=�−2�+1=−2�+�−2=−2�−4−8

故当时,取得最大值,最大值为,

1121515

�=4��=−2�−4−8−8

所以的值域为.

15

��=�−1−2�−∞,−8

故选:D.

【题型5同一函数的判断】

17.(25-26高一上·河北雄安·期末)下列各组函数不是同一个函数的是()

A.与

35

35

B.��=�与��=�

2

C.��=�与��=�

2

00

��=2���=�

D.与

22

【答案】D��=�−2��−1��=�−2��−1

【解题思路】利用相等函数的定义从函数三要素角度分析即可.

【解答过程】对于A,当为奇数时,,

�

�

所以,与��对=应�关系和定义域相同,故是同一个函数;

35

35

对于�B,�=为偶�数=时�,��=,所�以=�,

�

�2

与对应�关系和定义域�相=同�,故是同�一�个=函数�;=�

��

对于C,与都可化为,

2

00

且定义域�均�为=2��,�故=是�同一个函数�;=2

对于D,�∣�≠0与的定义域都是,

22

是关于��的=二�次−函2数�,�−而1�是�关=于�的−函2�数�,−1�

�当�时为�一次函数,当��时为常数�函数,

两函�≠数0对应关系不相同,故�不=是0同一个函数.

故选:D.

18.(25-26高一上·广西河池·期末)下列表示为同一个函数的是()

A.,B.,

0

.�(�)=1�,(�)=�.�(�)=|�+1,|�(�)=|�+1|

CD2

2�−1

�(�)=��(�)=��(�)=�+1�(�)=�−1

【答案】B

【解题思路】利用相同函数的定义逐项判断得解.

【解答过程】对于A,函数的定义域为R,函数的定义域为,A不是;

0

对于B,函数�(与�)=1的定义域都为�(R�,)=且�对应法则相同{,�∈BR是|�;≠0}

对于C,函数�(�)=|�+的1|值域�(为�)=|�+1,|函数的值域为R,C不是;

2

对于,函数�(�)=�的定义域[0,为+∞,)函数�(�)=�的定义域为,不是

DR2D.

�−1

故选:B.�(�)=�+1�(�)=�−1{�∈R|�≠1}

19.(25-26高一上·贵州铜仁·期末)下列函数中,与函数是同一个函数的是()

...�=�.

ABC3D

33�2

22

【答案】A�=��=��=��=�

【解题思路】根据同一函数定义域,值域,解析式相同分别判断各个选项即可.

【解答过程】函数的定义域为,值域为,

�=�RR

对于A,,定义域为,值域为,

33

即与函数�=是�同一=个�函数,故AR正确;R

对于B,�=�,值域为,值域不同,故B错误;

2

对于,�=�,定=义�域为0,+,∞定义域不同,故错误;

C3C

�

2

�=���≠0

对于D,,定义域为,定义域不同,故D错误.

2

故选:A.�=�0,+∞

20.(25-26高一上·广西北海·期末)下列各组中的两个函数是同一个函数的是()

A.,B.,

2

�,�≥0

��=���=���=���=

C.,D.,−�,�<0

022

【答案】�B�=2��=�+1��=���=(�−1)

【解题思路】根据函数的三要素判断即可.

【解答过程】对于A,函数的定义域为,函数的定义域为,所以两个函数不是同个一函数,

所以A错误;��R��[0,+∞)

对于B,根据绝对值的含义,,所以与是同一个函数,所以B正确;

�,�≥0

��=�=��

对于C,函数,其定义域为−�,�<0,函数的定义域为,所以两个函数不是同

0

��=�+1=2�|�≠0��=2R

一个函数,所以C错误;

对于D,函数与的对应关系不同,所以不是同一个函数,所以D错误.

故选:B.����

【题型6求函数的解析式】

21.(25-26高一上·全国·单元测试)已知一次函数满足,则()

A.B.�(�)�(2�−1)+�(�+1)=2(�−3)

23

�(�)=3�−3�(�)=2�−3

C.D.

23

�(�)=3�+3�(�)=2�+3

【答案】A

【解题思路】设出函数解析式,利用待定系数法求解.

【解答过程】由为一次函数,设,

依题意,�(�)�(�)=��+,�(整�理≠得0),

因此�(2�−,1解)得+�+�(�+1)+,�所=以2�−6.3��+2�=2�−6

22

3�=2

�=3,�=−3�(�)=3�−3

故选:2�A.=−6

22.(25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测)已知,则函数的解析式为()

2

A.B.�(�−1)=�+�−2�(�+1)

22

C.�(�+1)=�+5�+1D.�(�+1)=�+3�

22

【答案】�C(�+1)=�+5�+4�(�+1)=�+3�+6

【解题思路】利用换元法求出,进而求出.

【解答过程】令,则�(�),�(�+1),

22

所以�−1=��=�+1�(�)=(�+.1)+(�+1)−2=�+3�

22

故选:�(�C.+1)=(�+1)+3(�+1)=�+5�+4

23.(25-26高一上·全国·课后作业)若是一次函数,,,则

()�(�)2�(2)−3�(1)=52�(0)−�(−1)=1�(�)=

A.B.C.D.

【答案】B3�+23�−22�+32�−3

【解题思路】设出函数的解析式,再根据给定条件列出方程组,求解作答.

【解答过程】设�(�),由题设有,

2(2�+�)−3(�+�)=5

�(�)=��+�(�≠0)

2(0⋅�+�)−(−�+�)=1

解得,所以.

�=3

�(�)=3�−2

故选:�B=.−2

24.(25-26高一上·浙江·期中)已知,则函数的解析式为()

A.��+1B.=�−1(��)

22

C.��=�−2�()D.��=�−1(�≥1)

22

【答案】�D�=�−2�+2�≥1��=�−2��≥1

【解题思路】通过配凑,得,进而求得函数的解析式,要注

意的影响.��+1=�−1=�+1�+1−2��

【解�答=过�程+】1因≥为1,

设,�则�+1=�−1=�+1�−1=�+1�+1−2

所以�=�+1≥1��=.��−2,�≥1

所以函��数=�的�解−2析,式�为≥1().

2

故选:D.����=�−2��≥1

【题型7分段函数及其应用】

25.(25-26高一上·江西吉安·期末)已知函数,则()

2�−3,�≥1

��=2��0=

A.B.1C.2�+2,�<1D.3

【答案】B−1

【解题思路】根据分段函数的解析式,先根据0满足的条件选择正确的解析式求出,根据其值,代入符

合要求的解析式计算,求出结果即可.�(0)

【解答过程】可知,则.

2

故选:B.�0=0+2=2��0=�2=2×2−3=1

26.(25-26高一上·江西宜春·阶段检测)已知函数,若,则()

0,�<1

�(�)=�+21,1≤�<2�(�(�))=1�=

A.4B.3C.2−�+5,D�.≥12

【答案】D

【解题思路】设,则,根据分段函数分类讨论计算推得,再由,同法讨论计算

即得的值.�(�)=��(�)=1�=2�(�)=2

【解答�过程】设,则,

�(�)=��(�(�))=�(�)=1

当时,,不合题意;

当�<1�时(�,)=由0≠1,解得,不合题意;

当1≤�时<,2由�(�)=�+1=,1解得�=0,因,则,

2

即�≥2,若�(�)=,−则�+5=1,�不=合±题2意;�≥2�=2

若�(�)=2,则�<1�(�)=0,≠解2得,符合题意;

若1≤�,<则2�(�)=�+1=,2解得�=1,不合题意.

2

综上�≥,2可得�(�).=−�+5=2�=±3∉[2,+∞)

故选:D.�=1

.(高一上新疆克拉玛依期末)已知,则()

2725-26··2

�−3�,�≥0.5

��=1�(�(1))=

A.B.C.12�−1,�<0.5D.10

1

−5−2

【答案】A

【解题思路】先求,再代入求出即可.

【解答过程】由题意�1可得,��1,则.

11

�1=1−3=−2��1=�−2=−4−1=−5

故选:A.

28.(2026·天津和平·二模)已知函数,则不等式的解集是()

−�,�<−1

��+1=�+���≤1

A.B.�,�≥−1

C.��≤1D.�−1≤�≤1

【答案】A��≤2−1�−1≤�≤2−1

【解题思路】先求出函数的解析式,再分、两种情况解不等式即可.

【解答过程】解:由���,<则0�≥0,

−�,�<−1−�+1,�<0

��+1=��=

�,,解�得≥−1,�−1,�≥0

�<0

∴�<0

�+���=�+�−�+1≤,1解得,

�≥0

0≤�≤1

综�上+,��不�等=式�+��−1≤的1解集是.

故选:A.�+���≤1��≤1

A组基础跟踪练

一、单选题

1.(25-26高二上·贵州遵义·阶段检测)函数的定义域是()

3

��=�−1+4−�

A.B.

C.1,4D.−∞,1∪1,4

【答案】B1,41,4∪4,+∞

【解题思路】根据函数解析式存在的意义列不等式组求解即可.

【解答过程】由,解得或,

故的定义域�是−1≠0,4−�≥0.�<11<�≤4

故选��:B.−∞,1∪1,4

2.(25-26高一上·陕西西安·期末)设集合,则下列图象能表示从集合

到集合的函数关系的有()�={�∣0≤�≤4},�={�∣0≤�≤4}

��

A.B.

C.D.

【答案】B

【解题思路】根据函数关系的定义逐个判断即可.

【解答过程】A选项,集合P中的这部分在集合Q中没有元素对应,故A选项错误;

B选项,,均存在唯一{�|2与<其�对≤应4,}故B选项正确;

C选项,存∀在�∈集�合P中一个元素�对∈应�集合Q中的两个元素,故C选项错误;

D选项,集合P中的元素2对应了集合Q中的两个元素,故D选项错误;

故选:B.

3.(25-26高一上·江西九江·期末)已知函数若,则()

�+21,�≤0,

��=�(�(�))=2�=

�+�,�>0,

A.或1B.或0C.或0D.或

【答案】D−2−1−2−2−1

【解题思路】令,可得或,结合的取值范围分析求解.

【解答过程】令�(�)=�,则�=0,�若=1,则��,解得,

若,则�(�)=,�解得�(�)=,2�≤0�+2=2�=0

1

故�>0或�+�=2,�=1

当��=时0,��=1,与或矛盾,

1

故�>0,所以��=�+�≥,2��=0��=1

所以�≤0�或�=�+2,解得或.

故选:�+D.2=0�+2=1�=−2−1

4.(2026·北京东城·一模)下列函数中,定义域为的函数是()

A.B.C.(0,+∞)D.

�

【答案】B�(�)=��(�)=ln��(�)=2�(�)=tan�

【解题思路】利用各个选项中函数的定义及要使得函数有意义即可求得定义域,由此得出答案.

【解答过程】对于A,要使得根号下有意义,则,即定义域为,故A错误;

对于B,要使得对数有意义,则真数,即定�≥义域0为,[故0,+B正∞)确;

对于C,由指数函数的定义可知其定义�>域0为,故C错误0;,+∞

�

对于D,要使得正切函数有意义,则,即定义域为,故D错误;

ππ

�≠�π+2,�∈��|�≠�π+2,�∈�

故选:B.

5.(2026·山西·模拟预测)已知函数,则()

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A.

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