立体几何(几何法)-线面角

立体几何(几何法)一线面角

例1(2012广一模).(本小题总分值14分)

如图5所示，在三棱锥P—A8C中，AB=BC=6*面。AC_L平面48C,PO_LAC于点

D,AD=\,CD=3,PD=6

(1)证明△尸BC为直角三角形；/\X.

(2)求直线4P与平面P8C所成角的正弦值./i\X.

(1)证明1：因为平面PAC_L平面八8C,平面P4C〕平面〃%C=/c,PDu中限Q4C,

w，AQ#———c

所以PQ_L平面A8C......................................................1

分8

记AC边上的中点为E,在△A8C中，AB=BC,所以8EJ.A图.5

因为A8=BC=指，AC=4,所以BE=NBC2-CE2=/厨—2?=卮............3

分

因为尸DJ.AC,所以△尸CO为直角三角形.p

因为PO=G，CD=3,/VX.

所以PC=dPD?+CD2=Z可+32=20.......4分/：\X.

连接8D,在中，因为BE=Ji,DE=\,A&^「[--一7^二二^

所以BD=y/BE?+DE2=«间+P=6.......5分B

因为P/)J_平面4BC,BDu平面ABC,所以PDJ.BD.

在中，因为尸o=G,BD=6

所以PB=y/PD?+BD2=](可+(6了=6........................................6

分

在"BC中,因为3C=#，PB=46,PC=2x/3,

所以3。2+。82=尸。2

所以APBC为直角三角形................................................................7

分

证明2：因为平面Q4C_L平面ABC,平面R4CI平面A8C=AC,0Du平面尸AC,

PD±AC,

所以产力J"平面ABC.................................................................1

分

记AC边上的中点为E,在AABC中，因为AB=BC,所以BE_LAC.

因为A8=8C=指，AC=4,所以BE=1BC2-CE2=、(府-2?=0...........3

分

连接B。，在RtZXBDE中，因为/BED=90",BE=0,DE=\,

所以BD=JBE2+DE2=《回+『=瓜.....................................4

分

在△8CO中，因为CQ=3,BCf,BD=6,

所以3c2+8。2=°2,所以8CJ.3Q..........................................5

分

因为尸£>J_平面ABC,BCu平面ABC,

所以8C_LPD...............................................................6

分

因为BD「PD=D,所以3。_L平面。40.

因为PBu平面PHD,所以NC_LPB.

所以APBC为直角三角形................................................................7

分

(2)解法1：过点A作平面PBC的垂线，垂足为”，逐PH,

那么ZAP//为直线AP与平面产6c所成的角............................................

8分

由(1)知，△480的面积5.“二5乂4。乂8£二2五..................................9

分

因为PD=6,所以/T£C=1XSM8cxpO=2x2&x百二”.....................10

分

由(1)知AP8C为直角三角形，BC=瓜,PB=y[6,

所以△PBC的面积SAPBC=gxBCxP8=gx"x&=3..........................11

分

因为三棱锥A-心C与三棱锥P-A3c的体积相等，即匕T8C=%_A8C，

即』x3xA〃=弛，所以AH=处..........................................12

333

分

在RtZXPAO中，因为PD=6,AD=l,

所以AP=JP£)2+AQ2=«国+12=2.......................................13

分

2x/6

因为sinZ.APH==—2—=.

AP23

所以直线AP与平面P3C所成角的正弦值为逅

..........14

3

分

解法2：过点。作DWZ64P,设。尸。=",

那么DM与平面P3C所成的角等于AP与平面03C所成的角.............................8

分

由(1)知8C_LPD,BCA.PB,且PD、PB=P,

所以BC_L平面PHD.

因为8Cu平面P8C,

所以平面P8C_L平面PBD.

过点D作DNLPB干点N,连接MN,

那么£W_L平面P3C.

所以NDMN为直线0M与平面PBC所成的角.……10分

在RtZ\B4力中，因为PD=J5,AD=\,

所以AP=+=J(6)2+『=2...................

11

分因为OM〃AP,所以型二0，即也=3,所以。M=3.

APCA242

12分

由(1)知BO=G，PB=a,且PD=6

所以DN=迎2=心泻国.

PBR2

分

如

因为sinNOMN=型二4-二"，

DEI3

2

所以直线AP与平面尸BC所成角的正弦值为逅........................................14

3

分

解法3：延长C3至点G,使得BG=8C,连接AG、PG,...........................8

分

在△PCG中，PB=BG=BC=6

所以NCPG=90",即CP_LPG.

G

在△B4C中，因为PC=2ji,24=2,AC=4,

所以以2+尸。2=4。2,

所以CP_LPA.

因为PAIPG=P,

所以CPJL平面PAG..........................................................................................................................9

分

过点A作AK_LPG于点K,

因为AKu平面PAG,

所以CPJL4K.

因为PGICP=P,

所以AK_L平面PCG.

所以NAPK为直线AP与平面P8C所成的角...........................................11

分

由（1）知，BCtPB,

所以PG=PC=26.

在△CAG中，点£、台分别为边6、CG的中点，

所以AG=23E=2忘...............................................................12

分

在△PAG中，PA=2,AG=2y[2,PG=26

所以P*+AG2=PG2,即姑_LAG..........................................................................................13

分

0_AG_2拉—遥

因为sin/APK==—产=—・

PG2x/33

所以直线AP与平面P8C所成角的正弦值为YG..........................................................................14

3

分

解法4：以点七为坐标原点，以EB,EC所在的直线分别为x轴，）轴建立如图的空间直角坐标

系E-xyz,..............................................................................8

分

那么4（0,-2,0）,8（技0,0）,0（020）,尸（0,-1,向.

于是40二（0,1,百），PB=\&1「吟,PC=（0,3,->/3）

设平面PBC的法向量为〃=（x,y,z）,

A

n-PB=0,

那么,

nPC=0.

+y-Gz=0,

即,

3y-43z=0.

取y=1,那么z=>/3,x=5/2.

所以平面PBC的一个法向量为〃=（、历,1,6）........................................12

分

设直线AP与平面尸3c所成的角为0,

\AP-n\4V6

那么sin0=cos<APn>=v——：--=---尸=——.

f网.同2・瓜3

所以直线AP与平面P8C圻成角的正弦值为它.........................................14

3

分

假设第（1）、（2）问都用向量法求解，给分如下：

（1）以点£为坐标原点，以EB,EC所在的直线分别为x轴，），轴建立如图的空间直角坐标系

E-xyz,........................................................................1

分分、1

那么8（血,0,0）,C（0,2,0）,P（0,-1,V3）./

于是8P=h&,—1,6），BC=（-72,2,0）./\\：X.

因为BP・BC=（-V2,-l,x/3）.（-V2,2,0）=0,A

所以8PJ_8C.xB

所以8P_LNC.

所以为直角三角形................................................................7

分

（2）由⑴可得，4（0,-2,0）.

于是AP=（0,l,G）,PB=（6』,Y）,PC=（0,3,-V3）.

设平面PBC的法向量为〃=（x,y,z）,

nPB=0,Jx/2x+y-\/3z=0,

那么“即

n-PC=0.[3y-73z=0.

取），=1,那么Z=G,X=V2.

所以平面PBC的一个法向量为〃=.......................................12

分

设直线AP与平面PBC所成的角为e,

一APn4x/6

那么sin6=cos<APfn>=-------=产=——.

网.问2V63

所以直线AP与平面PBC所成角的正弦值为巨.....................................14

3

分

例2(本小题总分值12分)1注意：在试题卷上作答无效)

如图，四棱锥尸一ABC。中，底面A3CO为菱形，Q4_L底面

ABCD,AC=2顶，PA=2,£是PC上的一点，PE=2EC.

(I)证明：PC上平面BED；

(II)设二面角A—PB—C为90,求夕。与平面PBC所成角的

大小。

【答案】解：方法一：(1)证明：因为底面ABCO为菱形，所

以BO_LAC,又附_L底面A8CO,所以尸C_L5D

设凡连结EE因为AC=2啦，

%=2,PE=2EC,故

PC=2"EC=卒,FC=也

u^-PC_r-AC_r-

1人而Fc-76,EC-*V6.

PC.「

因为n=反，ZFCE=ZPCA,所以

△FCEsAPCA,ZFEC=ZPAC=90°,

由此知PC-LEF.

PC与平面BE。内两条相交直线BO,石尸都垂直，所以尸C_L平面BED

(2)在平面以3内过点4作4GJ_P8,G为垂足.

因为二面角A-PB-C为90。，所以平面必平面P8C.

又平面%BA平面PBC=PB,

故46，平面「3。，AGLBC.

BC与平面附B内两条相交直线办，AG都垂直，故平面以8,于是BC_LA&

所以底面人BCD为正方形，八。一2,PD-yl^+AD2~2^/2.

设D到平面PBC的距离为d.

因为4Q〃8C,且AQQ平面PBC,BCU平面PBC,故A。〃平面08C,AO两点到平

面P8C的距离相等，即1=46=/.

设PD与平面P8C所成的角为见那么sina=/=g.

所以PD与平面PBC所成的角为30。.

方法二：(1)以4为坐标原点，射线AC为x轴的正半轴，建立如下图的空间直角坐标

系A—xyz.

设C(2®0,0),。(也，40),其中。>0,那么P(0,0,2),《华，0,~b,0).

停

2停2

能

2X-儿--力-

于是尸C=(2吸，0,/I93-3从而无・BE=O,

PC・DE=3故PCLBE,PCIDE.

又BECDE=E,所以PCJL平面BDE.

(2)办=(0。2),丽=(5-b,0).

设=(X，y,z)为平面*B的法向量，那么・无»=(),,福=0,

即2z=0且g—by=o,

令人=〃，那么=(心小,0).

设=(p,q,r)为平面PBC的法向量，那么

.的=0,•曲=0,

即2啦p—2r=0且"bq+/=0,

令〃=1,那么尸小,夕=一坐，=(1,一乎，木/

2

因为面％8_1_面尸5。，故•=(),即力一石=0,故/?=也，于是=(1,—1,6)，DP=(—

①一隹2),

cos<,DP)="DP=3,

\n\\DP\

〈，DP)=60。.

因为尸。与平面尸3c所成的角和(,DP)互余,

故如与平面PBC所成的角为30°.

例2(2012高考天津文科17)(本小题总分值13分)

如图1一4,在四棱锥P-ABCO中，底面45CD是矩形，ADA.PD,BC=1,PC=25

PD=CD=2.

(1)求异面直线PA与BC所成角的正切值；

(2)证明平面POC_L平面ABCD：

(3)求直线PB与平面A8C。所成角的正弦值.

图1一4

【答案】解：(1)如下图，在四棱锥P—ABCQ中，因为底面ABCO是矩形，所以AO=

8c且AQ〃8C,又因为ADIPO,故/必。为异面直设以与8C所成的角.

PD

在RtZ\PD4中，tanN用力=启=2.

所以，异面直线也与8c所成角的正切值为2.

(2)证明：由于底面ABCQ是矩形，故AD_LC。，又由于4。_1_尸。，CDQPD=D,因此

AO_L平面PDC,而AOU平面ABCD,所以平面POC1平面ABCD.

(3)在平面POC内，过点P作PE_LCO交直线C。于点E,连接EA

由于平面PQCJ_平面A8CD,而直线C。是平面POC与平面A8CD的交线，故PE上

平面ABCQ.由此得NP8E为直线PB与平面ABCD所成的角.

在△P。。中，由于PD=CD=2,PC=2®可得NPCQ=30。.

在RtZ\PEC中，PE=PCsM00=y[3.

由4O〃8C,AD_L平面POC,得3C_L平面POC,因此8C_LPC.

在RtZ\PCB中，PB=^PC2+B