2026年四川省乐山市中考数学试题附答案

2026年四川省乐山市中考数学试题一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．1．下面几何体中，是球体的是（）A． B．C． D．2．下列各数是不等式的解的是（）A． B． C． D．3．年，我国人工智能核心产业规模突破万亿元．数据用科学记数法表示为（）A． B． C． D．4．如图，两条平行线、被第三条直线所截．若，则（）A． B． C． D．5．一个布袋里放着个红球和个白球，这两种球除了颜色以外没有任何其他区别．从布袋中任取个球，取出红球的概率是（）A． B． C． D．6．若实数、满足，则的值是（）A． B． C． D．7．如图，在中，点、、分别是、、的中点，连接、、．若，则（）A． B． C． D．8．如图，四边形是平行四边形，与相交于点，添加一个条件后，不能判定四边形是菱形的是（）A． B．C． D．9．若、均不为，将下列分式中的和都变为原来的倍，分式值保持不变的是（）A． B．C． D．10．已知二次函数，有下列结论：①二次函数图象与轴的交点坐标是；②二次函数的顶点坐标是；③若二次函数图象经过、两点，且，则；④当时，二次函数的最大值为，最小值为，则的值与无关．其中，正确的结论有（）A．个 B．个 C．个 D．个二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．11．－3的相反数是.12．．13．一组数据3、7、9，12，15的中位数是.14．已知方程的两个根是和，则．15．如图，在中，，，，点为斜边的中点，则．16．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数．他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类．如图，第一行的，，，称为三角形数，第二行的，，，称为四边形数，第三行的，，，称为五边形数．（1）下列三个数中，既是三角形数又是四边形数的有（填序号）：①；②；③．（2）我们将边形数中第个数记为．已知，，则．（用含有的代数式表示）三、解答题：本大题共10个小题，共102分．17．计算：．18．解方程组：19．化简：．20．如图，已知，．求证：．21．某校开展“典籍里的中国”选修课，拟开设四门课程供学生选择：A．《论语》，B．《史记》，C．《天工开物》，D．《九章算术》．刘老师随机调查了部分学生对四门课程的喜好情况（每人限选一种），并将调查结果绘制成统计图表，如图所示．根据以上信息，解答下列问题：（1）本次调查的学生共有________人，表中的值为________；（2）现准备从四门课程中随机选择两门在全校作汇报展示，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选到课程A和课程B的概率．22．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，连接、．（1）求、的值和反比例函数的表达式；（2）求的面积．23．如图，为的直径，点为圆上一点，点在延长线上，连接，且．（1）求证：为的切线；（2）若，的半径为，求的长．24．在一堂平面密铺探究课上，张老师引导学生探索多边形铺满地面的条件和方法．【感知密铺】（1）同学们通过观察发现：使用给定的某种正多边形，当围绕一点拼在一起的几个内角加在一起恰好组成一个周角时，就可以铺满地面．正多边形的边数…正多边形的内角和…正多边形每个内角的大小…上表中________，正六边形________（填“能”或“不能”）铺满地面．【探寻密铺】（2）同学们通过动手操作，探寻到了实现密铺的路径．上图中，②号三角形可看成①号三角形通过________（填“平移”或“旋转”）得到；③号三角形可看成①号三角形通过________（填“平移”或“旋转”）得到．【创作密铺】（3）最后，张老师给同学们布置了一项任务：用与四边形形状大小相同的四边形实现平面密铺，并在下面方格纸中画出点位置的密铺设计图．25．如图，在矩形中，、，点在线段上（点不与点重合），连结，将沿翻折得到△AD'P，点的对应点为．（1）求的长度；（2）求证：当时，四边形为正方形；（3）若点在线段上，且，连接、将沿翻折得到、点的对应点为，设点与点之间的距离为，求的取值范围．26．已知抛物线交轴于A、两点（点在点的左侧），顶点为点．（1）求A、两点的坐标；（2）直线与抛物线交于，两点．①若A、两点到直线距离相等，则直线过定点，请求出这个定点，并说明理由；②若，试问直线是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．

答案1．【答案】C【解析】【解答】解：A、此选项中的几何体是柱体，不是球体，故此选项不符合题意；B、此选项中的几何体是锥体，不是球体，故此选项不符合题意；C、此选项中的几何体是球体，故此选项符合题意；D、此选项中的几何体是锥体，不是球体，故此选项不符合题意．

故答案为：C.【分析】球体全表面为曲面，五平面、底面、无棱、无顶点，据此依次对四个选项的几何体类型进行判断，即可选出正确结果.2．【答案】A【解析】【解答】解：移项可得，∴四个选项中只有A选项中的数是原不等式的解．

故答案为：A.

【分析】将常数项移到不等式的右边即可得出该不等式的解集，进而判断各个选项所给数是否在不等式解集范围内即可.3．【答案】D【解析】【解答】解：∵科学记数法要求，的值等于原数的整数位数减1，原数共有13位整数，将小数点左移12位可得，∴，即.

故答案为：D.

【分析】用科学记数法表示大于10的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此解答即可.4．【答案】B【解析】【解答】解：∵，∠1=40°，

∴．

故答案为：B.

【分析】由二直线平行，内错角相等得∠2=∠1=40°.5．【答案】A【解析】【解答】解：布袋中球的总个数为，红球个数为，从布袋中任取1个球，取出红球的概率是．

故答案为：A.

【分析】用布袋中红色小球的个数比上袋中小球的总个数，即可求出从布袋中任取1个球，取出红球的概率.6．【答案】D【解析】【解答】解：，，且，，，解得：，，．

故答案为：D.

【分析】由算术平方根及偶数次幂的非负性，根据两个非负数的和为零，则每一个数都等于零可求出a、b的值，进而再根据有理数乘法法则求出a与b的积即可.7．【答案】B【解析】【解答】解：点、分别是、的中点，∴，∴，∴，同理可证，，∴，由，∴．

故答案为：B.

【分析】由三角形中位线定理得出DE∥AC，DE=AC，由平行于三角形一边得直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得出△BDE∽△BAC，由相似三角形面积的比等于相似比的平方得出，同理可证，，从而推出，即可得出结论.8．【答案】C【解析】【解答】解：A、，根据邻边相等的平行四边形为菱形，可以得到平行四边形是菱形，不符合题意；B、，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可以得到平行四边形为菱形，不符合题意；C、，根据对角线相等的平行四边形可以得到矩形，但不是菱形，符合题意；D、∵四边形是平行四边形，∴，∴，又∵，∴，∴，∴平行四边形是菱形，不符合题意.故答案为：C．

【分析】根据邻边相等的平行四边形为菱形可判断A选项；根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可判断B选项；根据对角线相等的平行四边形是矩形，可判断C选项；根据平行四边形对边平行得出AB∥CD，由二直线平行，内错角相等及已知可推出∠ACD=∠DAC，由等角对等边得出AD=CD，从而根据邻边相等的平行四边形为菱形可判断D选项.9．【答案】A【解析】【解答】解：将各选项中换为，换为，依次化简判断：A、，替换后和原分式相等，分式值不变，符合题意；B、替换后得，分式值改变，不符合题意；C、替换后得，分式值改变，不符合题意；D、替换后得，分式值改变，不符合题意；

故答案为：A.

【分析】用2a与2b分别替换各个选项所给分式中的a与b，再依次化简后与原分式比较即可判断得出答案.10．【答案】B【解析】【解答】解：对①：令，得，∴二次函数图象与轴交点坐标是，①正确；对②：对函数配方得，∴顶点坐标为，结论中横坐标错误，②错误；对③：代入坐标得，，∵，∴，化简得，结论错误，③错误；对④：二次函数开口向上，对称轴为，对区间分情况讨论：若，即，二次函数随的增大而增大，，不含；若，即，二次函数随的增大而减小，，不含；若，即，最小值为顶点纵坐标，最大值在离对称轴更远的端点，计算得仍消去，不含；因此的值与无关，④正确，综上，正确结论共个．

故答案为：B.

【分析】由于y轴上点的横坐标为零，故将x=0代入二次函数y=x2+bx+c算出对应的y的值，即可求出二次函数与y轴交点坐标，从而可判断①；利用配方法将二次函数解析式配成顶点式得出顶点坐标，即可判断②；将A、B两点坐标分别代入二次函数y=x2+bx+c表示出y1与y2，然后根据y1＞y2列出不等式，求解即可b的取值范围即可判断③；二次函数开口向上，对称轴为，对区间分若，若，若三种情况，分别根据抛物线的增减性求出最大与最小值，进而分别求出m-n的值，即可判断④.11．【答案】3【解析】【解答】解：因为-3与3只有符号不同，所以-3的相反数是3．故答案为：3．【分析】只有符号不同的两个数，叫做互为相反数，根据定义即可得出答案。12．【答案】【解析】【解答】解：我们直接依据特殊角的三角函数值，可以得到：.

因此答案为：.

【分析】根据特殊角的三角函数值即可直接得到结果．13．【答案】9【解析】【解答】解：将这组数据按照从小到大的顺序排列为，，，，，这组数据共有个数，个数为奇数，处在最中间的数是，因此这组数据的中位数是．故答案为：9.【分析】根据中位数的定义“将数据从小到大排列后，中间的一个数或两个数的平均数是中位数”解答即可．14．【答案】3【解析】【解答】解：∵方程的两个根是和，∴．

故答案为：3.

【分析】设x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根，则，据此直接求解即可.15．【答案】5【解析】【解答】解：∵在中，，，

∴，∵点为斜边的中点，．

故答案为：5.

【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理算出AC的长，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BD的长.16．【答案】①③；【解析】【解答】（1）解：1和36既是三角形数又是四边形数；根据题意，第一行的三角形数分别为1，3，6，10，15，21，28，36，第二行的四边形数分别为1，4，9，16，25，36，49，第三行的五边形数分别为1，5，12，22，35，51，故1和36既是三角形数又是四边形数；

故答案为：①③；（2）解：，都是n的二次函数，也可能是n的二次函数，不妨设，根据题意，得，解得，故．

故答案为：.【分析】（1）通过观察发现三角形数的规律是第n项为1+2+3+……+n=，据此将n=5与n=6代入可求出第5个数与第6个数；正方形数得规律是第n项为n2，据此将n=5与n=6代入可求出第5个数与第6个数；五边形数的规律是第n项为，据此将n=5与n=6代入可求出第5个数与第6个数；从而即可判断得出答案；（2）设，利用待定系数法求解即可．17．【答案】解：

．【解析】【分析】根据一个负数的绝对值等于其相反数，一个正数的绝对值等于其本身及二次根式的性质“”分别化简，再计算有理数加法运算即可.18．【答案】解：，得．把代入②，得，．【解析】【分析】由于组成方程组的两个方程中未知数y的系数相同，故用①方程减去②方程消去y求出x的值，然后将所求的x的值代入②方程求出y的值，从而即可求出方程组的解.19．【答案】解：原式．【解析】【分析】整式的混合运算，先用平方差公式展开括号，再合并同类项即可．20．【答案】证明：在和中，，，，，．【解析】【分析】由于AB是两个三角形的公共边，从而结合已知条件，利用“SAS”可判断△ABC≌△ABD，由全等三角形的对应边相等得出BC=BD.21．【答案】（1）；（2）解：解法一：由题可画树状图：由图可知，共有12种等可能情况，其中恰好选到课程A和课程B共2种，（恰好选到课程A和课程B）．解法二：由题可列表：第一次第二次由表可知，共有12种等可能情况，其中恰好选到课程A和课程B共2种，（恰好选到课程A和课程B）．【解析】【解答】（1）解：根据题意，得学生一共有（人），故表中的值为．故答案为：60；18；

【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用喜好《天工开物》的人数除以其所占百分比即可求出本次调查学生行人数，进而根据喜好四种典籍的学生总人数等于本次调查的学生总人数可求出喜好《九章算术》的人数，即求出m的值；（2）此题是抽取不放回类型，利用画树状图法或列表法列举出所有等可能的结果数，由图表可知，共有12种等可能情况，其中恰好选到课程A和课程B共2种，从而根据概率公式计算即可.（1）解：根据题意，得学生一共有（人），故表中的值为．（2）解：解法一：由题可画树状图：由图可知，共有12种等可能情况，其中恰好选到课程A和课程B共2种，（恰好选到课程A和课程B）．解法二：由题可列表：第一次第二次

由表可知，共有12种等可能情况，其中恰好选到课程A和课程B共2种，（恰好选到课程A和课程B）．22．【答案】（1）解：∵一次函数的图象经过点、，

，，

解得，，

、，

∵反比例函数的图象经过点，

，

∵反比例函数的表达式为；（2）解：如图，设一次函数与轴相交于点，令，则，即：，，又，，．【解析】【分析】（1）将、分别代入一次函数y=-x+1即可求出、的值，从而求出点P、Q的坐标，再将点P的坐标代入反比例函数求出m的值，从而即可得到反比例函数解析式；（2）设一次函数y=-x+1与x轴相交于点A，根据x轴上点的坐标特点，令y=-x+1中的y=0算出对应的x的值，即可求出A点坐标，再根据，利用三角形面积公式列式计算即可．（1）解：∵一次函数的图象经过点、，，，解得，，、，∵反比例函数的图象经过点，，∵反比例函数的表达式为；（2）解：如图，设一次函数与轴相交于点，令，则，即：，，又，，．23．【答案】（1）证明：如图所示，连接，，，，．为的直径，，．，即，又是的半径，为的切线；（2）解：由（1）得，

，的半径为，

，即，

∴，

，

．【解析】【分析】（1）连接OC，由等边对等角得，结合已知，由等量代换得，由直径所对的圆周角是直角得到，利用等量代换得，即，从而根据垂直半径外端点的直线就是圆的切线可得结论；（2）在Rt△OCD中，由∠D的正切函数可求出，再由勾股定理可得，最后由线段的和差关系可得答案．（1）略（2）解：由（1）得，，的半径为，，即，∴，，．24．【答案】（1）；能

（2）平移；旋转

（3）解：点A位置的密铺设计图如图：【解析】【解答】（1）解：正六边形的内角和，则正六边形每个内角的大小，∵，即三个正六边形内角恰好组成一个周角，∴正六边形能铺满地面．

故答案为：120°，能；（2）解：②号三角形与①号三角形比较发现：大小不变，位置移动，方向不变，对应点组成的直线平行，则②号三角形可看成①号三角形通过平移得到；③号三角形与①号三角形比较发现：大小不变，位置改变，方向改变，对应点组成的直线不平行，则③号三角形可看成①号三角形通过旋转得到；

故答案为：平移，旋转；

【分析】（1）根据正六边形的每一个内角都相等，从而用其内角和除以内角的个数即可求正六边形每个内角的大小；再根据三个正六边形内角恰好组成一个周角，得到正六边形能铺满地面；（2）根据平移只会改变图形的位置，不会改变图形的形状、大小及方向，平移前后对应点连线平行或在同一直线；旋转不会改变图形的形状、大小，会改变图形的位置及方向，即可逐一判断得出答案；（3）由图可知：四边形ABCD中，∠ABC=135°，∠C=90°，根据四边形的内角和定理，∠BAD+∠ADC=135°，由于135°+135赌+90°=360°，故利用方格纸的特点，先画以AB为公共边，以点A为顶点的角为135°，以AD为公共边，以点A为顶点的角为等于∠ADC的四边形，再画最后一个四边形即可．25．【答案】（1）解：沿翻折得到，

∴，

又∵，

∴；（2）证明：法一：沿翻折得到，∴，∴∴四边形是菱形，又∵四边形是矩形，∴，∴四边形是正方形；法二：∵四边形是矩形，∴．又∵△沿翻折得到，∴，

∴四边形AD'PD是矩形，∵，∴四边形是正方形；（3）解：①当与重合时，

此时．

②当点与点重合（点与点重合）时，

∵四边形是矩形，、，

∴，，，

∴，

由折叠可得

，，，，，，

∴，，

∴四边形是平行四边形，

∵，

∴平行四边形是矩形，

∴，

∴．

∴．【解析】【分析】（1）根据翻折性质得到AD'=AD=1；（2）方法一：根据翻折性质得到AD'=AD=1，DP=D'P=1，则AD=DP=D'P=AD'=1，由四边相等的四边形是菱形得出四边形AD'PD是菱形，由矩形性质得∠D=90°，从而根据有一个内角为直角的菱形是正方形可得结论；方法二：由矩形性质得∠D=∠DAB=90°，由折叠性质得∠AD'P=∠D=90°，从而根据有三个内角为直角的四边形是矩形得出四边形AD'PD是矩形，进而根据一组邻边相等得距离是正方形可得结论；（3）分类讨论：①当B'与D'重合时，此时d=0最小；②当点P与点C重合（点Q与点A重合）时，首先根据勾股定理算出AC=2，由折叠性质得AD'=AD=1，AB=AB'=，CD'=CD=，CB=CB'=1，∠AD'C=∠D=∠B=∠AB'C=90°，从而根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得出四边形AB'CD'是平行四边形，进而根据有一个内角为直角的平行四边形是矩形得出四边形AB'CD'是矩形，由矩形对角线相等得出d=B'D'=AC=2，此时最大，即可得到点B'与点D'之间的距离为d的取值范围．（1）解：沿翻折得到，∴，又∵，∴；（2）略（3）解：①当与重合时，此时．②当点与点重合（点与点重合）时，∵四边形是矩形，、，∴，，，∴，由折叠可得，，，，，，∴