专题18 函数及其基本性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性）（九大考点71题）10年（2017-2026）高考数学真题分类汇编（解析版）

高考真题分类解析PAGE试卷第=1页，共=sectionpages33页PAGE1专题18函数及其基本性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性）（九大考点，71题）考点分类十年考情（2017-2026）命题规律考点01函数的定义域2024上海卷、2022北京卷、2019江苏卷、2018江苏卷、2017全国卷1.基础填空、选择题，送分小题，难度极低。

2.核心：根式、分式、对数复合型函数定义域求解。

3.直接根据限制条件列不等式组求解，题型固定。考点02函数的值域2025北京卷、2022上海卷、2019上海卷1.中档选择填空，常结合充分必要条件命题。

2.核心：值域定义辨析、含参函数值域参数范围。

3.侧重逻辑概念理解，不涉及复杂求值域运算。考点03分段函数2024新课标Ⅰ卷、2024上海卷、2023北京卷、2023上海卷、2022浙江卷、2022北京卷、2021浙江卷、2019天津/江苏卷、2018全国Ⅰ/浙江/天津卷、2017全国Ⅲ/山东卷1.本专题核心高频考点，选择填空压轴常客。

2.核心：分段求值、分段不等式、分段函数零点、最值、参数范围。

3.融合周期、奇偶、图像综合，分类讨论是核心解题方法。考点04函数的单调性2026北京卷、2023北京卷、2023新课标Ⅰ卷、2020山东卷、2019北京/全国Ⅲ卷、2017全国Ⅰ/Ⅱ/天津/北京卷1.必考基础题型，单选多选均大量出现。

2.核心：单一/复合函数单调性判断、单调性求参数、利用单调性比较函数值、解不等式。

3.常搭配奇偶性综合设问，易设置区间陷阱。考点05最值2024新课标Ⅱ卷、2025天津卷、2019浙江卷、2017浙江卷1.中档小题，常与恒成立、存在性问题结合。

2.核心：闭区间最值、含参函数最值、利用最值求参数。

3.结合分段、二次、三角函数模型考查。考点06函数的奇偶性2026全国二卷、2026上海卷、2025全国二卷、2024天津/上海卷、2023上海/全国乙/新课标Ⅰ卷、2020全国Ⅱ卷、2019北京/全国Ⅱ卷、2018全国Ⅲ卷、2017全国Ⅱ/上海卷1.高频基础考点，几乎每套试卷都会考查。

2.核心：奇偶判定、利用奇偶求值、奇偶+单调性比大小、由奇偶求参数。

3.是函数综合题的基础工具，常和周期、对称搭配。考点07函数的周期性2025全国一卷、2018全国Ⅱ卷、2017山东卷1.中等难度小题，多选、填空居多。

2.核心：周期推导、周期结合奇偶化简求值、多周期交点问题。

3.多给出抽象递推关系式，推导周期后再运算。考点08函数的对称性2024新课标Ⅱ卷、2018全国Ⅲ卷、2017全国Ⅰ卷1.难点小题，多选压轴常见。

2.核心：轴对称、中心对称判定，对称与函数零点、极值结合。

3.抽象函数对称性推导对逻辑要求较高。考点09函数新定义2026上海卷、2024上海卷、2020上海卷1.上海卷特色创新难题，区分度极高。

2.核心：现场读懂全新函数定义、集合型定义，结合最值、单调性推理。

3.侧重自学理解与逻辑证明，题型灵活无固定套路。考点01函数的定义域（2024·上海·高考真题）函数的定义域为_______.【答案】【分析】由对数函数性质即可得.【详解】由题意可得，即的定义域为.故答案为：.（2022·北京·高考真题）函数的定义域是_________．【答案】【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可；【详解】解：因为，所以，解得且，故函数的定义域为；故答案为：（2019·江苏·高考真题）函数的定义域是_____.【答案】.【分析】由题意得到关于x的不等式，解不等式可得函数的定义域.【详解】由已知得,即解得，故函数的定义域为.【点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．（2018·江苏·高考真题）函数的定义域为________．【答案】[2，+∞）【详解】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.详解：要使函数有意义，则，解得，即函数的定义域为.点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.（2017·全国·高考真题）函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据函数有意义求解即可.【详解】由，得，所以函数的定义域为.故选：C.考点02函数的值域（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由函数值域的概念结合特例，再根据充分条件、必要条件的概念即可求解.【详解】若函数的值域为，则对任意，一定存在，使得，取，则，充分性成立；取，，则对任意，一定存在，使得，取，则，但此时函数的值域为，必要性不成立；所以“的值域为”是“对任意，存在，使得”的充分不必要条件.故选：A.（2022·上海·高考真题）设函数满足，定义域为，值域为A，若集合可取得A中所有值，则参数a的取值范围为___________.【答案】，，【分析】由可得，可判断当时，；当时，；从而可得，，时，参数的最小值为，从而求得．【详解】令得，或（舍去）；当时，，故对任意，都存在，，，故，故，，，而当时，，故当，，时，参数的最小值为，故参数的取值范围为，，故答案为：，．（2019·上海·高考真题）下列函数中，值域为的是A． B． C． D．【答案】B【分析】依次判断各个函数的值域，从而得到结果.【详解】选项：值域为，错误选项：值域为，正确选项：值域为，错误选项：值域为，错误本题正确选项：【点睛】本题考查初等函数的值域问题，属于基础题.考点03分段函数（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增，则需满足，解得，即a的范围是.故选：B.（2019·天津·高考真题）已知函数若关于的方程恰有两个互异的实数解，则的取值范围为A． B． C． D．【答案】D【分析】画出图象及直线，借助图象分析．【详解】如图，当直线位于点及其上方且位于点及其下方，或者直线与曲线相切在第一象限时符合要求．即，即，或者，得，，即，得，所以的取值范围是．故选D．【点睛】根据方程实根个数确定参数范围，常把其转化为曲线交点个数，特别是其中一条为直线时常用此法．（2018·全国I卷·高考真题）设函数，则满足的x的取值范围是A． B． C． D．【答案】D【分析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有成立，一定会有，从而求得结果.详解：将函数的图像画出来，观察图像可知会有，解得，所以满足的x的取值范围是，故选D.点睛：该题考查的是有关通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题，在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图像，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函数，从而确定出自变量的所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，从而求得结果.【详解】（2017·山东·高考真题）设,若,则A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【详解】由时是增函数可知,若,则,所以,由得,解得,则,故选C.【名师点睛】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式，代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．（2024·上海·高考真题）已知，求的的取值范围_______.【答案】【分析】分与两段求解二次不等式可得.【详解】根据题意知.当时，,即，解得，则有；当时，,即，，即时，不等式都成立.综上所述，的的取值范围为.故答案为：.（2024·上海·高考真题）已知则______．【答案】【分析】利用分段函数的形式可求.【详解】因为故，故答案为：.（2023·北京·高考真题）设，函数，给出下列四个结论：①在区间上单调递减；②当时，存在最大值；③设，则；④设．若存在最小值，则a的取值范围是．其中所有正确结论的序号是____________．【答案】②③【分析】先分析的图像，再逐一分析各结论；对于①，取，结合图像即可判断；对于②，分段讨论的取值范围，从而得以判断；对于③，结合图像可知的范围；对于④，取，结合图像可知此时存在最小值，从而得以判断.【详解】依题意，，当时，，易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线；当时，，易知其图像是，圆心为，半径为的圆在轴上方的图像（即半圆）；当时，，易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线；对于①，取，则的图像如下，

显然，当，即时，在上单调递增，故①错误；对于②，当时，当时，；当时，显然取得最大值；当时，，综上：取得最大值，故②正确；对于③，易知当时，在，且接近于处，的距离最小，

当时，，当且接近于处，，此时，，当时，且接近于处，的距离最小，此时；故③正确；对于④，取，则的图像如下，

因为，结合图像可知，要使取得最小值，则点在上，点在，同时的最小值为点到的距离减去半圆的半径，此时，因为的斜率为，则，故直线的方程为，联立，解得，则，显然在上，满足取得最小值，即也满足存在最小值，故的取值范围不仅仅是，故④错误.故答案为：②③.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是分析得的图像，特别是当时，的图像为半圆，解决命题④时，可取特殊值进行排除即可.（2023·上海·高考真题）已知，则的值域是______；【答案】【分析】分段讨论的范围即可.【详解】当时,根据指数函数的图象与性质知，当时,.综上:的值域为.故答案为：.（2022·浙江·高考真题）已知函数则________；若当时，，则的最大值是_________．【答案】/【分析】结合分段函数的解析式求函数值，由条件求出的最小值,的最大值即可.【详解】由已知，，所以，当时，由可得，所以，当时，由可得，所以，等价于，所以，所以的最大值为.故答案为：，.（2022·北京·高考真题）设函数若存在最小值，则a的一个取值为________；a的最大值为___________．【答案】0（答案不唯一）1【分析】根据分段函数中的函数的单调性进行分类讨论，可知，符合条件，不符合条件，时函数没有最小值，故的最小值只能取的最小值，根据定义域讨论可知或，

解得.【详解】解：若时，，∴；若时，当时，单调递增，当时，，故没有最小值，不符合题目要求；若时，当时，单调递减，，当时，∴或，解得，综上可得；故答案为：0（答案不唯一），1（2021·浙江·高考真题）已知，函数若，则___________.【答案】2【分析】由题意结合函数的解析式得到关于的方程，解方程可得的值.【详解】，故，故答案为：2.（2019·江苏·高考真题）设是定义在上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数.当时，，，其中.若在区间上，关于的方程有8个不同的实数根，则的取值范围是_____.【答案】.【分析】分别考查函数和函数图像的性质，考查临界条件确定k的取值范围即可.【详解】当时，即又为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为，如图，函数与的图象，要使在上有个实根，只需二者图象有个交点即可.

当时，函数与的图象有个交点；当时，的图象为恒过点的直线，只需函数与的图象有个交点.当与图象相切时，圆心到直线的距离为，即，得，函数与的图象有个交点；当过点时，函数与的图象有个交点，此时，得.综上可知，满足在上有个实根的的取值范围为.【点睛】本题考点为参数的取值范围，侧重函数方程的多个实根，难度较大.不能正确画出函数图象的交点而致误，根据函数的周期性平移图象，找出两个函数图象相切或相交的临界交点个数，从而确定参数的取值范围.（2018·江苏·高考真题）函数满足，且在区间上，则的值为____．【答案】【详解】分析：先根据函数周期将自变量转化到已知区间，代入对应函数解析式求值，再代入对应函数解析式求结果.详解：由得函数的周期为4，所以因此点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.（2018·浙江·高考真题）已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是___________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．【答案】(1,4)【详解】分析:根据分段函数，转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集.先讨论一次函数零点的取法，再对应确定二次函数零点的取法，即得参数的取值范围.详解：由题意得或，所以或，即，不等式f(x)<0的解集是当时，，此时，即在上有两个零点；当时，，由在上只能有一个零点得.综上，的取值范围为.点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．（2018·天津·高考真题）已知，函数若对任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，则a的取值范围是__________．【答案】【分析】由题意分类讨论和两种情况，结合恒成立的条件整理计算即可求得最终结果.【详解】分类讨论：①当时，即：，整理可得：，由恒成立的条件可知：，结合二次函数的性质可知：当时，，则；②当时，即：，整理可得：，由恒成立的条件可知：，结合二次函数的性质可知：当或时，，则；综合①②可得的取值范围是，故答案为.点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．（2017·全国III卷·高考真题）设函数则满足的x的取值范围是____________.【答案】【详解】由题意得：当时，恒成立，即；当时，恒成立，即；当时，，即.综上，x的取值范围是.【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么，然后代入该段的解析式求值.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处的函数值.考点04函数的单调性（2026·北京·高考真题）下列函数是奇函数且在定义域上单调递增的是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】A，在中，，则，函数为偶函数，故错误；B，在中，，函数为奇函数，但在定义域上不单调递增，故错误；方法一：C，在中，，则，，函数单调递减，故错误；D，在中，，解得，，则为奇函数，，即函数在定义域上单调递增，故正确.法二：C，在中，，则，为奇函数，∵和是减函数，∴函数单调递减，故错误；D，在中，，解得，，为奇函数，∵和是增函数，则为增函数，∴函数单调递增，故正确.（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可.【详解】对于A，因为在上单调递增，所以在上单调递减，故A错误；对于B，因为在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递减，故B错误；对于C，因为在上单调递减，在上单调递减，所以在上单调递增，故C正确；对于D，因为，，显然在上不单调，D错误.故选：C.（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，则有函数在区间上单调递减，因此，解得，所以的取值范围是.故选：D（2020·山东·高考真题）若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，所以在上也是单调递减，且，，所以当时，，当时，，所以由可得：或或解得或，所以满足的的取值范围是，故选：D.【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.（2019·北京·高考真题）下列函数中，在区间（0，+）上单调递增的是A． B．y= C． D．【答案】A【分析】由题意结合函数的解析式考查函数的单调性即可.【详解】函数，在区间上单调递减，函数在区间上单调递增，故选A.【点睛】本题考查简单的指数函数、对数函数、幂函数的单调性，注重对重要知识、基础知识的考查，蕴含数形结合思想，属于容易题.（2019·全国III卷·高考真题）设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则A．B．C．D．【答案】C【解析】由已知函数为偶函数，把，转化为同一个单调区间上，再比较大小．【详解】是R的偶函数，．，又在(0，+∞)单调递减，∴，，故选C．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值．（2017·全国I卷·高考真题）函数在单调递减，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是．A． B． C． D．【答案】D【详解】是奇函数，故；又是减函数，，即则有，解得，故选D.（2017·天津·高考真题）已知奇函数在上是增函数，若，，，则的大小关系为A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意：，且：，据此：，结合函数的单调性有：，即.本题选择C选项.【考点】指数、对数、函数的单调性【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.（2017·天津·高考真题）已知奇函数，且在上是增函数.若，，，则a，b，c的大小关系为A． B． C． D．【答案】C【详解】因为是奇函数，从而是上的偶函数，且在上是增函数，，，又，则，所以即，，所以，故选C．【考点】指数、对数、函数的单调性【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.（2017·北京·高考真题）已知函数，则A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数【答案】A【详解】分析：讨论函数的性质，可得答案.详解：函数的定义域为，且即函数是奇函数，又在都是单调递增函数，故函数在R上是增函数．故选A.点睛：本题考查函数的奇偶性单调性，属基础题.（2017·全国II卷·高考真题）函数的单调递增区间是A． B．C． D．【答案】D【详解】由>0得：x∈(−∞,−2)∪(4,+∞)，令t=，则y=lnt，∵x∈(−∞,−2)时,t=为减函数；x∈(4,+∞)时,t=为增函数；y=lnt为增函数，故函数f(x)=ln()的单调递增区间是(4,+∞)，故选D.点睛：形如的函数为,的复合函数，为内层函数,为外层函数.当内层函数单增，外层函数单增时，函数也单增；当内层函数单增，外层函数单减时，函数也单减；当内层函数单减，外层函数单增时，函数也单减；当内层函数单减，外层函数单减时，函数也单增.简称为“同增异减”.（2017·江苏·高考真题）已知函数，其中e是自然数对数的底数，若，则实数a的取值范围是_________．【答案】【详解】因为，所以函数是奇函数，因为，所以数在上单调递增，又，即，所以，即，解得，故实数的取值范围为．点睛:解函数不等式时，首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在函数的定义域内．考点05最值（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，若，则的最小值为（

）A． B． C． D．1【答案】C【分析】解法一：由题意可知：的定义域为，分类讨论与的大小关系，结合符号分析判断，即可得，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析的符号，进而可得的符号，即可得，代入可得最值.【详解】解法一：由题意可知：的定义域为，令解得；令解得；若，当时，可知，此时，不合题意；若，当时，可知，此时，不合题意；若，当时，可知，此时；当时，可知，此时；可知若，符合题意；若，当时，可知，此时，不合题意；综上所述：，即，则，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为；解法二：由题意可知：的定义域为，令解得；令解得；则当时，，故，所以；时，，故，所以；故，则，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.故选：C.【点睛】关键点点睛：分别求、的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论，结合符号性分析判断.（2017·浙江·高考真题）若函数在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则的值A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关【答案】B【详解】因为最值在中取，所以最值之差一定与无关，选B．【名师点睛】对于二次函数的最值或值域问题，通常先判断函数图象对称轴与所给自变量闭区间的关系，结合图象，当函数图象开口向上时，若对称轴在区间的左边，则函数在所给区间内单调递增；若对称轴在区间的右边，则函数在所给区间内单调递减；若对称轴在区间内，则函数图象顶点的纵坐标为最小值，区间端点距离对称轴较远的一端取得函数的最大值．（2025·天津·高考真题）若，对，均有恒成立，则的最小值为_______【答案】【分析】先设，根据不等式的形式，为了消可以取，得到，验证时，是否可以取到，进而判断该最小值是否可取即可得到答案.【详解】设，原题转化为求的最小值，原不等式可化为对任意的，，不妨代入，得，得，当时，原不等式可化为，即，观察可知，当时，对一定成立，当且仅当取等号，此时，，说明时，均可取到，满足题意，故的最小值为.故答案为：（2019·浙江·高考真题）已知，函数，若存在，使得，则实数的最大值是____.【答案】【分析】从研究入手，令，从而使问题加以转化，通过绘制函数图象，观察得解.【详解】使得，使得令，则原不等式转化为存在，要求实数的最大值，不妨令则，即，，即的最大值是（2017·浙江·高考真题）已知，函数在区间[1,4]上的最大值是5，则a的取值范围是__________【答案】【详解】，分类讨论：①当时，，函数的最大值，舍去；②当时，，此时命题成立；③当时，，则：或，解得：或综上可得，实数的取值范围是．【名师点睛】本题利用基本不等式，由，得，通过对解析式中绝对值符号的处理，进行有效的分类讨论：①；②；③，问题的难点在于对分界点的确认及讨论上，属于难题．解题时，应仔细对各种情况逐一进行讨论．考点06函数的奇偶性（2026·全国二卷·高考真题）已知是定义域为R的偶函数，，且当时，，则（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】根据推出周期性，分析可得，得到，再由可得.【详解】，则，，即的周期为，结合奇偶性，周期性，故，在上满足，说明的对称轴为，则，解得，又根据知，而，则，于是，即，解得（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可.【详解】对A，设，函数定义域为，但，，则，故A错误；对B，设，函数定义域为，且，则为偶函数，故B正确；对C，设，，，则不是偶函数，故C错误；对D，设，函数定义域为，因为，且不恒为0，则不是偶函数，故D错误.故选：B.（2023·上海·高考真题）下列函数是偶函数的是（

）.A． B． C． D．【答案】B【分析】直接运用常见函数的奇偶性判断即可.【详解】根据所学知识，知道为奇函数，为偶函数，为非奇非偶函数.故选：B.（2023·全国乙卷·高考真题）已知是偶函数，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】根据偶函数的定义运算求解.【详解】因为为偶函数，则，又因为不恒为0，可得，即，则，即，解得.故选：D.（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）若为偶函数，则（

）．A． B．0 C． D．1【答案】B【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出值，再检验即可.【详解】因为为偶函数，则，解得，当时，，，解得或，则其定义域为或，关于原点对称.，故此时为偶函数.故选：B.（2020·全国II卷·高考真题）设函数，则f(x)（

）A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减【答案】D【分析】根据奇偶性的定义可判断出为奇函数，排除AC；当时，利用函数单调性的性质可判断出单调递增，排除B；当时，利用复合函数单调性可判断出单调递减，从而得到结果.【详解】由得定义域为，关于坐标原点对称，又，为定义域上的奇函数，可排除AC；当时，，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，排除B；当时，，在上单调递减，在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.故选：D.【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据与的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.（2019·北京·高考真题）设函数f（x）=cosx+bsinx（b为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据定义域为R的函数为偶函数等价于进行判断.【详解】时，,为偶函数；为偶函数时，对任意的恒成立，，得对任意的恒成立，从而.从而“”是“为偶函数”的充分必要条件，故选C.【点睛】本题较易，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.（2019·全国II卷·高考真题）设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=，则当x<0时，f(x)=A． B．C． D．【答案】D【分析】先把x<0，转化为-x>0,代入可得，结合奇偶性可得.【详解】是奇函数，时，．当时，，，得．故选D．【点睛】本题考查分段函数的奇偶性和解析式，渗透了数学抽象和数学运算素养．采取代换法，利用转化与化归的思想解题．（2025·全国二卷·高考真题）（多选）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（

）A． B．当时，C．当且仅当 D．是的极大值点【答案】ABD【分析】对A，根据奇函数特点即可判断；对B，利用代入求解即可；对C，举反例即可；对D，直接求导，根据极大值点判定方法即可判断.【详解】对A，因为定义在上奇函数，则，故A正确；对B，当时，，则，故B正确；对C，，故C错误；对D，当时，，则，令，解得或（舍去），当时，，此时单调递增，当时，，此时单调递减，则是极大值点，故D正确；故选：ABD.（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）（多选）已知函数的定义域为，，则（

）．A． B．C．是偶函数 D．为的极小值点【答案】ABC【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇偶性的判断方法可判断选项ABC，举反例即可排除选项D.方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数进行判断即可.【详解】方法一：因为，对于A，令，，故正确.对于B，令，，则，故B正确.对于C，令，，则，令，又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误.方法二：因为，对于A，令，，故正确.对于B，令，，则，故B正确.对于C，令，，则，令，又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，对于D，当时，对两边同时除以，得到，故可以设，则，当肘，，则，令，得；令，得；故在上单调递减，在上单调递增，因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，

显然，此时是的极大值点，故D错误.故选：.（2026·上海·高考真题）已知函数是偶函数，当时，，若，则__________．【答案】【分析】根据偶函数的性质求解.【详解】因为函数是偶函数，当时，，所以，解得.（2024·上海·高考真题）若函数是奇函数，则实数______.【答案】0【分析】根据奇函数的定义求解．【详解】是奇函数，则恒成立，所以，解得故答案为：0．（2023·全国甲卷·高考真题）若为偶函数，则________．【答案】2【分析】利用偶函数的性质得到，从而求得，再检验即可得解.【详解】因为为偶函数，定义域为，所以，即，则，故，此时，所以，又定义域为，故为偶函数，所以.故答案为：2.（2019·北京·高考真题）设函数f（x）=ex+ae−x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．【答案】-1;.【分析】首先由奇函数的定义得到关于的恒等式，据此可得的值，然后利用导函数的解析式可得a的取值范围.【详解】若函数为奇函数,则，对任意的恒成立.若函数是上的增函数,则恒成立,.即实数的取值范围是【点睛】本题考查函数的奇偶性､单调性､利用单调性确定参数的范围.解答过程中,需利用转化与化归思想,转化成恒成立问题.注重重点知识､基础知识､基本运算能力的考查.（2019·全国II卷·高考真题）已知是奇函数，且当时，.若，则__________.【答案】【分析】当时，代入条件即可得解.【详解】因为是奇函数，且当时，．又因为，，所以，两边取以为底的对数得，所以，即．【点睛】本题主要考查函数奇偶性，对数的计算．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．（2018·全国III卷·高考真题）已知函数，，则________．【答案】【分析】发现，计算可得结果.【详解】因为，，且，则.故答案为-2【点睛】本题主要考查函数的性质，由函数解析式，计算发现是关键，属于中档题.（2017·上海·高考真题）定义在上的函数的反函数为，若为奇函数，则的解为________.【答案】【分析】由反函数与原函数的互逆关系知，的解就是求原函数的值，根据分段函数的解析式，结合奇偶性求出，从而可得结果.【详解】由反函数与原函数的互逆关系知，的解就是求原函数的值，又,且为奇函数，,,即为的解,故答案为.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、反函数的性质与应用以及分段函数的解析式，考查了转化思想的应用，意在考查对基础知识的掌握与灵活应用，属于中档题.（2017·全国II卷·高考真题）已知函数是定义在上的奇函数，当时，,则__________.【答案】12【分析】由函数的奇偶性可知，代入函数解析式即可求出结果.【详解】函数是定义在上的奇函数，，则，.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，属于基础题型.考点07函数的周期性（2025·全国一卷·高考真题）已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为的范围中求解.【详解】由题知对一切成立，于是.故选：A（2018·全国II卷·高考真题）已知是定义域为的奇函数,满足.若，则A． B． C． D．【答案】C【详解】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.详解：因为是定义域为的奇函数，且，所以,因此，因为，所以，，从而，选C.点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．（2017·山东·高考真题）已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.【答案】6【分析】先求函数周期，再根据周期以及偶函数性质化简，再代入求值.【详解】由f(x+4)=f(x-2)可知,是周期函数,且,所以.【点睛】本题考查函数周期及其应用，考查基本求解能力.（2019·全国II卷·高考真题）设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的取值范围是A． B．C． D．【答案】B【分析】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决．【详解】时，，，，即右移1个单位，图像变为原来的2倍．如图所示：当时，，令，整理得：，（舍），时，成立，即，，故选B．

【点睛】易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力．考点08函数的对称性（2018·全国III卷·高考真题）下列函数中，其图像与函数的图像关于直线对称的是A． B． C． D．【答案】B【详解】分析：确定函数过定点（1，0）关于x=1对称点，代入选项验证即可．详解：函数过定点（1，0），（1，0）关于x=1对称的点还是（1，0），只有过此点．故选项B正确点睛：本题主要考查函数的对称性和函数的图像，属于中档题．（2017·全国I卷·高考真题）已知函数，则A．在（0，2）单调递增 B．在（0，2）单调递减C．的图像关于直线x=1对称 D．的图像关于点（1，0）对称【答案】C【详解】由题意知，，所以的图象关于直线对称，故C正确，D错误；又（），由复合函数的单调性可知在上单调递增，在上单调递减，所以A，B错误，故选C．【名师点睛】如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称轴；如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称中心．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，则（

）A．当时，有三个零点B．当时，是的极大值点C．存在a，b，使得为曲线的对称轴D．存在a，使得点为曲线的对称中心【答案】AD【分析】A选项，先分析出函数的极值点为，根据零点存在定理和极值的符号判断出在上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，则为恒等式，据此计算判断；D选项，若存在这样的，使得为的对称中心，则，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解.【详解】A选项，，由于，故时，故在上单调递增，时，，单调递减，则在处取到极大值，在处取到极小值，由，，则，根据零点存在定理在上有一个零点，又，，则，则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确；B选项，，时，，单调递减，时，单调递增，此时在处取到极小值，B选项错误；C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，即存在这样的使得，即，根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为，于是等式左右两边的系数