专题05 平面向量与复数 2020-2026年高考数学真题分类汇编（天津专用）（解析版）

高考真题分类解析PAGE试卷第=1页，共=sectionpages33页PAGE1专题05平面向量与复数7年真题1年模拟考点分类天津考情（2020-2026）命题规律考点01平面向量的线性运算及数量积运算2026天津：平面向量数量积的坐标运算、模长综合计算2025天津：平面向量线性运算、基底表示与三点共线判定2024天津：平面向量数量积的几何意义、投影与夹角计算2023天津：平面向量线性运算与数量积的综合应用2022天津：平面向量模长、夹角的数量积公式求解2021天津：平面向量线性运算、三点共线的参数求解2020天津：平面向量数量积的坐标运算、向量垂直的判定该考点为天津高考必考基础题型，常年设置双空题，难度中等，命题结构稳定。核心围绕线性运算、数量积两大主干展开，早年以基础坐标运算、垂直判定为主，近年逐步融合几何意义、投影、三点共线等综合考点，设问更灵活。解题核心依托向量运算法则、数量积公式，侧重考查数学运算与直观想象素养，是必拿基础分值。考点02复数2026天津：复数的四则混合运算、共轭复数的概念与应用2025天津：复数的模长计算、四则运算的综合化简2024天津：复数的几何意义、复平面内对应点的坐标判定2023天津：复数的四则运算、纯虚数的概念与参数求解2022天津：复数的模长、共轭复数的综合运算求解2021天津：复数的四则运算、虚部的概念与数值判定2020天津：复数的几何意义、模长的公式计算与应用该考点为天津高考必考送分题型，固定设置填空第一题位置，难度低，命题高度稳定。核心考查复数的四则运算、基本概念、几何意义三大板块，早年以基础运算、概念判定为主，近年偶尔融合几何意义、参数求解的简单综合设问，无复杂变形。解题核心依托复数运算法则、基本概念，侧重考查基础运算熟练度，是必须稳拿的5分基础题。考点01平面向量的线性运算及数量积运算1．（2026·天津·高考真题）已知，，记．当时，__________，当时，的取值范围为__________．【答案】2【详解】由题意，，，，第一空：当时，，∴，∴.第二空：解法一：将代入得，两边平方，得：，展开：，代入，，记，，令，，，则原式变为：，配方得：，由于，，因此，即，解得，，因此，的取值范围为：.解法二：因为，，不妨设，，，则，，若，设，则.解法三：因为，，不妨设，，，即点B在直线x=1上，且，，因为，若，可知点C在直线上，（或直接由三点共线的结论可得出），若，即，可知点C在以为圆心，半径为1的圆上，则圆在直线x=1和之间，可得，即，所以的取值范围为.2．（2025·天津·高考真题）△ABC中，D为AB边中点，，则______（用，表示），若，，则_______【答案】；【详解】如图，因为，所以，所以．因为D为线段AB的中点，所以；又因为，所以，，所以所以，所以．故答案为：；.3．（2024·天津·高考真题）已知正方形ABCD的边长为1，若，其中为实数，则______；设F是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为______．【答案】43【详解】解法一：因为，即，则，可得，所以；由题意可知：，因为F为线段上的动点，设，则，又因为为中点，则，可得，又因为，可知：当时，取到最小值；解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，则，可得，因为，则，所以；因为点F在线段上，设，且为中点，则，可得，则，且，所以当时，取到最小值为；故答案为：43；.4．（2023·天津·高考真题）在△ABC中，，，记，用表示_________；若，则的最大值为_________．【答案】【详解】空1：因为E为的中点，则，可得，两式相加，可得到，即，则；空2：因为，则，可得，得到，即，即.于是.记，则，在△ABC中，根据余弦定理：，于是，由和基本不等式，，故，当且仅当取得等号，则时，有最大值.故答案为：；.

5．（2022·天津·高考真题）在△ABC中，点D为AC的中点，点E满足.记，用表示___________，若，则∠ACB的最大值为____________【答案】【详解】方法一：，，，当且仅当时取等号，而，所以．故答案为：；．方法二：如图所示，建立坐标系：，，，所以点A的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，当且仅当与相切时，最大，此时．故答案为：；．6．（2021·天津·高考真题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E．且交AC于点F,则的值为____________；的最小值为____________．【答案】1【详解】设，，为边长为1的等边三角形，，，∵，为边长为的等边三角形，，，，，所以当时，的最小值为.故答案为：1；.7．（2020·天津·高考真题）如图，在四边形ABCD中，，，且，则实数λ的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________．【答案】【详解】，，，，解得，以点B为坐标原点，所在直线为x轴建立如下图所示的平面直角坐标系，,∵，∴A的坐标为,又∵,则，设，则（其中），，，，所以，当时，取得最小值.故答案为：；.【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于中等题.考点02复数运算1．（2026·天津·高考真题）化简__________．【答案】【详解】.2．（2025·天津·高考真题）已知i是虚数单位，则________．【答案】【详解】先由题得，所以.故答案为：3．（2024·天津·高考真题）是虚数单位，复数______．【答案】【详解】.故答案为：.4．（2023·天津·高考真题）已知是虚数单位，化简的结果为_________．【答案】/【详解】由题意可得.故答案为：.5．（2022·天津·高考真题）已知是虚数单位，化简的结果为_______．【答案】/【详解】．故答案为：．6．（2021·天津·高考真题）是虚数单位，复数_____________．【答案】【详解】.故答案为：.7．（2020·天津·高考真题）是虚数单位，复数_________．【答案】【详解】.故答案为：.【点睛】本题考查复数的四则运算，属于基础题.1．（2026·天津和平·三模）i为虚数单位，复数z满足，则__________．【答案】【详解】由，等式两边同乘以，可得，则.2．（2026·天津北辰·二模）已知为虚数单位，若，则z的虚部为_____.【答案】【详解】因为，故z的虚部为.3．（2026·天津滨海新区·三模）已知复数z满足（其中为虚数单位），则复数z的共轭复数______．【答案】【详解】由，得.故4．（2026·天津西青·三模）i是虚数单位，若复数z满足，则______．【答案】【详解】,得，所以.5．（2026·天津·三模）复数（其中为虚数单位），则z的模为________．【答案】/【详解】，所以．6．（2026·天津东丽·二模）已知是虚数单位，则______．【答案】1【详解】由，则.7．（2026·天津武清·模拟预测）已知复数为实数，则_________．【答案】【详解】由题意，复数为实数，则，解得，所以.8．（2026·天津滨海新区·三模）已知复数（是虚数单位），则复数z的共轭复数的虚部为_____________．【答案】【详解】；又，因此；则因此；故的虚部为.9．（2026·天津河西·三模）已知是虚数单位，则_________．【答案】10【详解】.10．（2026·天津宝坻·三模）已知是虚数单位，复数______．【答案】【详解】11．（2026·天津·二模）在平行四边形ABCD中，，，点M在线段EF上．若，则___________；的最小值为___________．【答案】5/【详解】设，其中，则，由于，所以，则为正数，且.，当且仅当时等号成立，所以的最小值为.12．（2026·天津和平·三模）已知△ABC中，点D为边AB上一点，且AD=2DB，则__________（用与表示）；若点G为△ABC内的一点，，满足，则__________．【答案】4【详解】;取AB的中点M，则，因为，所以，.13．（2026·天津东丽·二模）在△ABC中，，，，，P为线段CD上一点，若，则___；则的最小值为______．【答案】23【详解】由，则，故，由P为线段CD上一点，则C、P、D三点共线，故，即有；，由，当且仅当，即，时，等号成立，故，则，即的最小值为3.14．（2026·天津河西·三模）已知直角梯形ABCD中，，，，E为BC上一点，且，若，其中，为实数，则_______；设点P为线段上的动点，点Q为线段PE中点，则________．【答案】/-23【详解】以A为原点，AB为x轴，为y轴建立平面直角坐标系，如图所示.由题意，故得，，，。由，可得,即,即，由，则,因此因，设，则，即，又Q是的中点，，则,,故.15．（2026·天津滨海新区·三模）已知边长为2的菱形ABCD，，设BC中点为E，，点G为线段EF上一点，且满足，则__________；此时__________．【答案】13【详解】设.，，..又，所以，解得.此时..所以.16．（2026·天津红桥·二模）已知O是△ABC内的一点，，，，,则______；若，则______．【答案】12/0.5【详解】由题意可知；所以因为，所以，得，解得，则.17．（2026·天津南开·二模）在平行四边形ABCD中，和F分别是CD和BC的中点，则_____；若是的三等分点，点M在线段PQ上，，则的取值范围是_____．【答案】6【详解】由题意可得，所以,则.设，，则

所以当时，；当或1时，，综上：18．（2026·天津滨海新区·三模）已知平行四边形ABCD的两条对角线相交于O，，，，点M在线段上且满足，则_____________；若点N是线段AB上的动点，的范围为_____________．【答案】/【详解】在中，由，得，设，则，得到，，整理得，而，解得，又，则，所以；则，如图，作出符合题意的图形，设，，且得到，，当且仅当时取等号，所以的取值范围为.19．（2026·天津宝坻·三模）在矩形ABCD中，，点E是线段BC上一点，直线，交CD于点F，直线，交AD于点G，则______，的最小值为______．【答案】1/【详解】以A为原点，AB所在直线为x轴、AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则，设，的斜率，由得EF方程为，CD所在直线为，代入得，即，AC的斜率，由得方程为，AD所在直线为x=0，代入得，即，所以，所以，，则，所以当时，最小值为．20．（2026·天津武清·模拟预测）在平面四边形ABCD中，，，，则_____；点E是边