2026-2027学年北师大版九年级数学上学期月考检测卷（1-2章）（含答案）

2026-2027学年九年级数学上学期月考检测卷（1-2章）一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，）1．用配方法解方程，变形后的结果正确的是（

）A． B． C． D．2．下图是小颖同学从“对角线”的角度整理了平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系的思维导图，图中“▲”处应填写的内容是（

）A．对角线互相平分B．对角线相等C．对角线垂直且相等D．对角线互相垂直3．一个两位数等于它个位上的数的平方，且个位上的数字比十位上的数大3，则这个两位数是（

）A． B． C．或 D．无法确定4．如图，菱形，、分别为、上一点，且，连接、．若菱形的面积为10，则的值为（

）A． B． C．5 D．75.若实数a，b，c满足，且，则一元二次方程的两个实数根满足的数量关系是（

）A． B． C． D．6．如图，在菱形中，，，分别是边，上的点，将沿折叠，使点B的对应点G落在边上，且．若，则的长为（

）A．4 B． C．5 D．7.关于的一元二次方程的两根是和，若，则下列选项正确的是（

）A．、 B． C． D．8．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为3，顶点C的坐标为．若直线与正方形有公共点，则k的取值范围为（

）A． B．或 C． D．9．在实数范围内，关于的一元二次方程的两个根分别为，则方程可写成，即，容易发现根与系数的关系：，设关于的一元三次方程的三个非零实数根分别为，若，则（

）A．38 B．39 C．40 D．4110．已知，长方形中，，点是线段上的一个动点，将线段绕点逆时针旋转得到，过作于点，连接，取的中点，连接，．点在运动过程中，下列结论：①；②；③当点和点互相重合时，；④．正确的有（

）个A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分，答案写在答题卡上）11．商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，调查发现，当销售价为3000元时，平均每天能售出10台，当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想扩大销量，并使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱应降价________元．12．如图，在矩形中，点E、F分别在边、上，连接、、，若、分别平分和．已知，则的值为______．13．如图，在矩形中，，，对角线，交于点O，点E是的中点，过点E作的垂线交于点F，交于点G，交于点H，则线段的长为______．14．我们把叫集合M，其中1，3，x叫做集合M的元素．集合中的元素具有确定性（如x必然存在），互异性（如），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合，我们说．已知集合，集合，若，则的值是________．15．已知矩形的一边长为2，另一边长为1．如果存在另一个矩形，周长是已知矩形周长的2倍，面积是已知矩形面积的倍，则的取值范围是．16．菱形中，与交于点O，于点E，交于点F，且，则______；G在上，，若，则______．17．关于的方程有两个整数根，则整数的值是______．18．如图，在正方形中，，点在边上，点在上，，交于点，交于点，连接．下列结论：①；②；③；④的最小值为．上述结论中，正确的序号有_______．三、解答题（本题共8小题，共78分。其中：19-20题8分，21-24题每题10分，25-26题每题11分）19．解下列方程：(1)；(2)；(3)；(4)．20．请阅读下面材料，解决后面的问题：材料一：单循环赛规则是：每个参赛队伍在比赛中只与其他队伍对决一次，例如有4支队伍参加的单循环比赛中，每支队伍需要与其他3支队伍各进行一场比赛，每支队伍要进行场比赛，这4支队伍的比赛总场次为：．材料二：淘汰赛规则是：参赛队伍按照抽签配对比赛，失败一方被淘汰出局、胜利一方进入下一轮，每一轮淘汰掉一半队伍，直至产生最后的冠军．例如甲、乙、丙、丁四支球队进行淘汰赛过程如图所示．材料三：足球比赛的积分规则为：胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．问题一：贵州“村超”，是贵州榕江县举办的乡村足球联赛，是贵州的一张靓丽名片，在早期的一届比赛中，有一支球队参加了10场比赛，以不败战绩获积分24分，求该球队胜的场次和平的场次分别是多少？问题二：近几年贵州“村超”报名队伍不断增多，在某届比赛中，组织者统计发现，如果全程按照单循环赛进行，共需要进行190场比赛．①共有多少支球队参加这场比赛？②因为场次太多，经研究决定采用如下方案：先把参赛队伍按照某种规则平均分成四个小组，小组内通过单循环赛确定前两名，然后把四个小组的前两名交叉配对通过淘汰赛决出冠军，这种方案共需要多少场比赛就能决出冠军？21．如图，在正方形中，E为边上一点，连接，作交的延长线于点F，作交于点G，过点G作交于点H，延长交的延长线于点M．(1)依题意补全图形；(2)求证：；(3)用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．22．关于的一元二次方程．(1)求证：无论为何值，方程总有实数根；(2)若是关于的方程的两个根，且，求的值．23．如图1，已知正方形和正方形，点在边上，点在线段的延长线上．将正方形绕点按逆时针方向旋转，连接与直线交于点，如图2所示．(1)如图2，求证：；(2)请在下列①、②中任选一问进行证明．①在旋转过程中，的度数不变；②过点作于点于点，在旋转过程中，与之间的数量关系不变．24．阅读材料：选取二次三项式中的两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如①选取二次项和一次项配方：；②选取二次项和常数项配方：，或③选取一次项和常数项配方：请根据阅读材料解决下列问题：(1)比照上面的例子，写出三种不同形式的配方；(2)已知，求的值(3)当，为何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？25．如图，直线与坐标轴分别交于点，，以为边在轴的右侧作正方形，且．(1)求直线的解析式；(2)如图1，点是轴上一动点，点在的右侧，，．①当最小时，求点的坐标；②如图2，点是线段的中点，另一动点在直线上，且，请求出点的坐标．9．综合与实践问题情境：“综合与实践”课上，老师让每个组准备了一张矩形纸片．如图1，把矩形绕点逆时针旋转得到矩形纸片，点，，的对应点为，，，设旋转角为．操作中，同学们提出了如下问题，请你解答：操作探究：（1）“奋进小组”提出问题：如图2，当矩形纸片旋转到点落在上时，延长交于点．①求证：四边形是正方形；②连接，取的中点，连接、，若，，则线段的长为_______．数学思考：（2）“团结小组”提出问题：如图3，连接，当矩形纸片旋转到点在的延长线上时，延长，交于点，交于点，求证：；深入探究：（3）“善思小组”提出问题：若，．在矩形纸片旋转过程中，连接线段和，当时，直接写出的长．参考答案一、选择题1．D解：，移项得，配方，方程两边同时加一次项系数一半的平方得，由完全平方公式得，选项符合题意．2．C解：由思维导图可知：平行四边形矩形，平行四边形菱形，∵正方形既是矩形又是菱形，∴平行四边形直接判定为正方形，需要同时满足“对角线相等”和“对角线互相垂直”，即图中“▲”处应填写“对角线互相垂直且相等”．3．C解：设这个两位数的十位数字为，则个位数字为．依题意得：，解得:.∴这个两位数为或．故选：C．4．C解：菱形中，，设菱形以为底的高为，则菱形面积，∵，∴．∵以为底，高等于菱形边上的高，；以为底，高等于菱形边上的高，；∴两面积相加：．5.A解：∵，对左边变形得，即，又∵，∴，即，∴，得，将代入一元二次方程，得，整理得，对于一元二次方程，常数项为，由根与系数的关系得．6．B解：过点G作，交BC的延长线于点H．设，则．四边形为菱形，，．．，．，．．由折叠的性质，得．在中，FH2+GH2=GF2，即，解得（不合题意，已舍去）．．7．D解：A、∵关于的一元二次方程的两根是和，∴，∴，∴故A错误，不符合题意；B、取，符合题干条件，但故B错误，不符合题意；C、取，符合题干条件，但故C错误，不符合题意；D、，∵，∴∵，∴，∴，故D正确，符合题意；故选：D．8．D解：∵正方形的边长为3，顶点C的坐标为，∴，，，∵，∴直线过点，如图，当直线过点时，则，解得，此时正好有1个公共点；当直线过点时，则，解得，此时正好有1个公共点；∴若直线与正方形有公共点，则k的取值范围是．9．A解：∵关于的一元三次方程的三个非零实数根分别为，方程可以写成，即：，∵，∴，，，，∴，∴，∴，故选：A．10．B解：∵绕点逆时针旋转得到，∴，，∵四边形是矩形，∴，∴，∵，∴，在∆ADE和，，∴，故①正确；当互相重合时，如图1所示：∵是中点，，，∴是等腰直角三角形，且，，∴，∴四边形是正方形，∴，故③正确；过作，交延长线于点，如图3所示：∵AH平分，∴，∴是等腰直角三角形，∴，，∵，∴，根据四边形内角和为得到，∵，∴，在和，，∴，∴，∵，∴，∵，∴最短时，最短；最长时，最长，当运动到点时，最短，此时，；当运动到点时，最长，此时，；∴，故④错误；无法证明；故②错误，综上所述，①③正确，故选：B．二、填空题11．375解：设每台冰箱应降价元，则降价后每台冰箱的售价为元，可得每台冰箱的利润为元，降价后销量为台，根据题意得：，整理得：，解得：或（舍去），所以，每台冰箱应降价375元．12．50解：过点A作交于点G，如图所示．根据角平分线的性质可知，，，．∵四边形是矩形，∴，∴，，∴，，∴，∴四边形是正方形，，设，，则，，，在中，根据勾股定理，得，即，整理，得，∵，∴．13．14．解：，中含有元素，∴中必有元素，∵中元素为，分类讨论如下：若，则，中出现重复元素，违反集合元素的互异性，舍去，故；若，由得，此时中元素为，出现重复元素，违反互异性，舍去，因此只能，即，此时中元素为，中元素为，由得剩余元素对应相等，分两种情况：①，解得或，舍去，时中元素为，存在重复元素，舍去；②，整理得，即，解得或，得舍去，得，已舍去，故．由得．检验得，，满足，符合互异性，代入代数式得：．15．解：根据题意知，这个矩形周长为，面积为，设矩形的一边长为，则另一边为，则，整理得：，由题意得原方程有实数根，，．又，，即的取值范围为：．16．解：四边形是菱形，，，平分和，，，，，．，，，又，∴，∴，；四边形是菱形，，，，，，，，是等边三角形，，，在中，，，，是等边三角形，，在中，，，∴；；；解得（负值舍去），∴．．，．过点作于点，如图，在中，，，，．在中，．17．或解：设方程的两个整数根为，（令），根据根与系数的关系，得，，将两式相减，得，，即，由于，是整数，因此，也是整数，且乘积为5，当时，，或当时，解得：，，或，，，或，故答案为：或．18．①③④解：∵四边形是正方形，∴，．∵，∴，∴，故①正确；无法说明，即不一定成立，即②错误；如图：过G作于K，过G作于J，∵四边形是正方形，∴，即是的角平分线，∴，∵，又∵，∴，故③正确；∵点C关于的对称点点A，∴，∴，如图：当三点共线时，有最小值，由对称性可得，∵，∴，∴，即的最小值为．综上，正确的是①③④．三、解答题19．（1）解：，∵，，，∴，∴，∴，；（2）解：，整理得，因式分解得，∴或，解得，．（3）解：，因式分解，得，解得，；（4）解：，移项，得，因式分解，得，化简，得，解得．20．解：问题一：设这支球队胜的场次是场，则平的场次是场，由题意得：，解得：，答：这支球队胜的场次是7场，平的场次是3场；问题二：①设总参赛队伍为支，由题意得：，整理得：，解得：，（不符合题意，舍去），即总参赛队伍为20支；②平均分成四个小组，每组5支球队，小组内通过单循环赛确定前两名，小组内比赛共（场），把四个小组的前两名交叉配对通过淘汰赛决出冠军，淘汰赛需（场），这种方案决出冠军共需要比赛（场），答：这种方案共需要47场比赛决出冠军．21．(1)(2)证明：∵四边形是正方形，∴．∵，∴，∴，∴；(3)结论：．证明：如图，过点A作的垂线，过点F作的垂线，两条垂线交于点P，连接，∵，∴，∴．∵，∴．∵，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴．∵，∴．∵，∴．由可知，即∴，∴四边形是平行四边形，∴，∴．22．（1）证明：关于的一元二次方程，∴，，，∴，∵（时取等号），（时取等号），∴，∴不论为何值，方程总有实数根；（2）解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根，∴，，∵，∴且或，∴，当时，，（舍去），当时，，，∴，，∴，即，解得或．23．(1)证明：∵在正方形和正方形中，，，即，；(2)选①证明：设与交于点，，在和中，∵，，在旋转过程中，的度数不变选②证明：如图，，，，，，在旋转过程中，与之间的数量关系不变．24．(1)第一种形式：选取二次项和一次项配方，；第二种形式：选取二次项和常数项配方，；或；第三种形式：选取一次项和常数项配方，；（2）解：，配方，得：，即，∵，，∴，，解得：，，∴；（3）解：，∵，∴，当，时，取得最小值，即当，时，取得最小值，最小值为．25．（1）解：对于直线，当时，，即，∴，∵四边形为正方形，设，∵，解得或（舍去），即，，将点，代入直线，可得，解得，∴直线的表达式为；（2）解：①过点作轴于点，如图，由题意可得，，∴，∴，∴，∴，，∴，∴，设，则，，由题意可得，，即有，∴，∴点在定直线上，如下图，设直线交轴于点，对于直线：，令，可得，即，∴，，∴，∵，∴，即，作点关于直线：的对称点，连接、，则在同一直线上，由轴对称的性质可得垂直平分线，，，当点在同一直线上时则此时，取最小值，∵，∴，∴，即，∴点，设直线的解析式为，将