波函数与薛定谔方程课件

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波函數與薛定諤方程

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微觀粒子因具有波粒二象性，其運動狀態的描述必有別於經典力學對粒子運動狀態的描述，即微觀粒子的運動狀態不能用座標、速度、加速度等物理量來描述。這就要求在描述微觀粒子的運動時，要有創新的概念和思想來統一波和粒子這樣兩個在經典物理中截然不同的物理圖像。§2.1波函數的統計解釋1．微觀粒子狀態的描述德布羅意指出：微觀粒子的運動狀態可用一個復函數來描述，函數—

稱為波函數。★

描述自由粒子的波是具有確定能量和動量的平面波*★如果粒子處於隨時間和位置變化的力場中運動，他的動量和能量不再是常量（或不同時為常量）粒子的狀態就不能用平面波描寫，而必須用較複雜的波描寫，一般記為：描寫粒子狀態的波函數，它通常是一個復函數。三個問題？(1)

是怎樣描述粒子的狀態呢？(2)

如何體現波粒二象性的？(3)

描寫的是什麼樣的波呢？deBroglie

波§2.1波函數的統計解釋（續1）*I0

1XP電子單縫衍射實驗2．波函數的統計解釋電子源感光屏PPQQO電子小孔衍射實驗§2.1波函數的統計解釋（續2）*▲兩種錯誤的看法（1）波由粒子組成

如水波，聲波，由物質的分子密度疏密變化而形成的一種分佈。這種看法是與實驗矛盾的，它不能解釋長時間單個電子衍射實驗。

電子一個一個的通過小孔，但只要時間足夠長，底片上仍可呈現出衍射花紋。這說明電子的波動性並不是許多電子在空間聚集在一起時才有的現象，單個電子就具有波動性。

事實上，正是由於單個電子具有波動性，才能理解氫原子（只含一個電子！）中電子運動的穩定性以及能量量子化這樣一些量子現象。§2.1波函數的統計解釋（續3）*

波由粒子組成的看法僅注意到了粒子性的一面，而抹殺了粒子的波動性的一面，具有片面性。（2）粒子由波組成電子是波包。把電子波看成是電子的某種實際結構，是三維空間中連續分佈的某種物質波包。因此呈現出干涉和衍射等波動現象。波包的大小即電子的大小，波包的群速度即電子的運動速度。什麼是波包？波包是各種波數（長）平面波的迭加。 平面波描寫自由粒子，其特點是充滿整個空間，這是因為平面波振幅與位置無關。如果粒子由波組成，那麼自由粒子將充滿整個空間，這是沒有意義的，與實驗事實相矛盾。§2.1波函數的統計解釋（續4）*實驗上觀測到的電子，總是處於一個社區域內。例如一個原子內的電子，其廣延不會超過原子大小≈1。

電子究竟是什麼東西呢？是粒子？還是波？“電子既不是粒子也不是波”，既不是經典的粒子也不是經典的波，但是我們也可以說，“電子既是粒子也是波，它是粒子和波動二重性矛盾的統一。”這個波不再是經典概念的波，粒子也不是經典概念中的粒子。1.有一定品質、電荷等“顆粒性”的屬性;2．有確定的運動軌道，每一時刻有一定位置和速度。經典概念中粒子意味著

§2.1波函數的統計解釋（續5）*1.實在的物理量的空間分佈作週期性的變化;2．干涉、衍射現象，即相干疊加性。經典概念中波意味著

（1）入射電子流強度小，開始顯示電子的微粒性，長時間亦顯示衍射圖樣;我們再看一下電子的衍射實驗▲玻恩的解釋：OPP電子源感光屏QQ衍射實驗事實：§2.1波函數的統計解釋（續6）*1926年,玻恩(M.Born)首先提出了波函數的統計解釋：

波函數在空間中某一點的強度（波函數模的平方）與粒子在該點出現的概率成比例。（2）入射電子流強度大，很快顯示衍射圖樣.

可見，波函數模的平方與粒子時刻在處附近出現的概率成正比。§2.1波函數的統計解釋（續7）

波動觀點粒子觀點明紋處:電子波強

(x,y,z,t)

2大

電子出現的概率大暗紋處:電子波強

(x,y,z,t)

2小電子出現的概率小*設粒子狀態由波函數描述，波的強度是則微觀粒子在t時刻出現在處體積元dτ內的幾率這表明描寫粒子的波是幾率波(概率波),反映微觀客體運動的一種統計規律性，波函數有時也稱為幾率幅。按Born提出的波函數的統計解釋,粒子在空間中某一點處出現的概率與粒子的波函數在該點模的平方成比例§2.1波函數的統計解釋（續8）*

（1）“微觀粒子的運動狀態用波函數描述，描寫粒子的波是幾率波”，這是量子力學的一個基本假設（基本原理）。知道了描述微觀粒子狀態的波函數，就可知道粒子在空間各點處出現的幾率，以後的討論進一步知道，波函數給出體系的一切性質，因此說波函數描寫體系的量子狀態（簡稱狀態或態）（2）波函數一般用復函數表示。（3）波函數一般滿足連續性、有限性、單值性。必須注意

稱為幾率密度(概率密度)§2.1波函數的統計解釋（續9）*令3．波函數的歸一化條件和所描寫狀態的相對幾率是相同的，這裏的

是常數。時刻，在空間任意兩點和處找到粒子的相對幾率是：可見，和描述的是同一幾率波，所以波函數有一常數因數不定性。§2.1波函數的統計解釋（續10）*非相對論量子力學僅研究低能粒子，實物粒子不會產生與湮滅。這樣，對一個粒子而言，它在全空間出現的幾率等於一，所以粒子在空間各點出現的幾率只取決於波函數在空間各點強度的相對比例，而不取決於強度的絕對大小，因而，將波函數乘上一個常數後，所描寫的粒子狀態不變，即和描述同一狀態這與經典波截然不同。對於經典波，當波幅增大一倍（原來的2倍）時，則相應的波動能量將為原來的4倍，因而代表完全不同的波動狀態。經典波無歸一化問題。為消除波函數有任一常數因數的這種不確定性，利用粒子在全空間出現的幾率等於一的特性，提出波函數的歸一化條件：§2.1波函數的統計解釋（續11）*又因其中稱為歸一化常數於是歸一化條件消除了波函數常數因數的一種不確定性。滿足此條件的波函數稱為歸一化波函數。§2.1波函數的統計解釋（續12）*Ex.1

已知一維粒子狀態波函數為求歸一化的波函數，粒子的幾率分佈，粒子在何處出現的幾率最大。

歸一化常數Solve:

歸一化的波函數(1).求歸一化的波函數§2.1波函數的統計解釋（續13）*（2）幾率分佈：

（3）由幾率密度的極值條件

由於

故處，粒子出現幾率最大。§2.1波函數的統計解釋（續14）*注意（1）歸一化後的波函數仍有一個模為一的因數不定性（δ為實函數）。若是歸一化波函數，那末，也是歸一化波函數，與前者描述同一幾率波。若對空間非絕對可積時，需用所謂δ函數歸一化方法進行歸一化。（2）只有當幾率密度對空間絕對可積時，才能按歸一化條件進行歸一化。§2.1波函數的統計解釋（續15）*Solve：

歸一化常數★例如平面波的歸一化問題

ex.2

已知平面波,求歸一化常數§2.1波函數的統計解釋（續16）歸一化的平面波：

利用*補充作業題1.下列一組波函數共描寫粒子的幾個不同狀態?並指出每個狀態由哪幾個波函數描寫。同理，三維平面波：

歸一化條件歸一化條件*2.已知下列兩個波函數試判斷:(1)波函數和是否描述同一狀態?(2)對取兩種情況,得到的兩個波函數是否等價?*開1閉2，衍射花樣（蘭曲線）開2閉1，衍射花樣（紫紅曲線）同時開1，2，衍射花樣（黑曲線）實驗事實顯然§2.2態疊加原理1.電子雙縫衍射實驗

12

表明幾率不遵守迭加原則，而波函數（幾率幅）遵守迭加原則：*物理意義

當兩個縫都開著時，電子既可能處在態，也可能處在態，也可處在和的線性迭加態。可見，

若和是電子的可能狀態，則也是電子的可能狀態。

反言之，電子經雙縫衍射後處於態，則電子部分地既可處於態，也可部分地處在態。§2.2態迭加原理（續1）迭加態的概率:

干涉項電子穿過狹縫１出現在Ｐ點的幾率密度電子穿過狹縫２出現在Ｐ點的幾率密度*

態的迭加原理是量子力學的一個基本假設，它的正確性也依賴於實驗的證實。

1.若是粒子的可能狀態，則粒子也可處在它們的線性迭加態2．態迭加原理§2.2態迭加原理（續3）

當兩個縫的幾何參數或電子束相對位置不完全對稱時，迭加態,其概率為干涉項

2.當體系處於態時，發現體系處於態的幾率是，並且*3．電子在晶體表面的衍射，動量空間的波函數

d

電子從晶體表面出射後，既可能處在態，也可能處在、

等狀態，按態迭加原理，在晶體表面反射後，電子的狀態

可表示成

取各種可能值的平面波的線性疊加，即§2.2態迭加原理（續4）電子沿垂直方向射到單晶表面，出射後將以各種不同的動量運動，出射後的電子為自由電子，其狀態波函數為平面波。*考慮到電子的動量可以連續變化§2.2態迭加原理（續5）而（2）（1）

即衍射圖樣正是這些平面波疊加干涉的結果顯然,二式互為Fourer變換式,所以與一一對應,是同一量子態的兩種不同描述方式。*§2.2態迭加原理（續6）若歸一化，則也是歸一化的Prove:以座標

為引數的波函數，座標空間（座標表像）波函數以動量為引數的波函數，動量空間（動量表像）波函數給出t時刻粒子處在位置處的幾率

給出t時刻粒子動量為的幾率二者描寫同一量子狀態*§2.2態迭加原理（續7）此顯示出把平面波歸一化為函數的目的一維情況下，與的Fourer變換關係：如果僅考慮在某一給定時刻粒子的兩表像波函數的關係，可取t=0*§2.3薛定諤方程1．微觀粒子運動方程應具有的特點（1）含有波函數對時間的一階導數（2）方程必為線性的（3）品質為的非相對性粒子(即低速運動的粒子),其總能為

本節研究量子力學的動力學問題，建立量子力學的動力學方程——Schrödinger方程

*又（2）

（3）（1）

2．自由粒子的運動方程將（1）和（2）式代入（3）式，得§2.3薛定諤方程（續1）（4）

*

滿足運動方程應具有的三個特點，此即為自由粒子的基本運動方程——自由粒子的Schrödinger方程。討論通過引出自由粒子波動方程的過程可以看出，如果將能量關係式E=p2/2μ寫成如下方程形式：即得自由粒子的Schrödinger方程（4）。再做算符替換：（5）§2.3薛定諤方程（續2）稱為能量算符稱為動量算符*3．勢場中運動粒子的Schrödinger方程設勢場中運動粒子的狀態波函數為（6）

§2.3薛定諤方程（續3）用能量關係式乘以波函數

按（5）式，將能量和動量分別用能量算符和動量算符替代，即得Schrödinger方程粒子的哈密頓函數*哈密頓函數4．多粒子體系的Schrödinger方程§2.3薛定諤方程（續5）作動量算符替代則利用哈密頓算符，可將Schrödinger方程（6）寫成另一形式（7）稱為哈密頓算符*

（1）Schrödinger作為一個基本假設提出來，它的正確性已為非相對論量子力學在各方面的應用而得到證實。注意

（2）Schrödinger方程在非相對論量子力學中的地位與牛頓方程在經典力學中的地位相仿,只要給出粒子在初始時刻的波函數，由方程即可求得粒子在以後任一時刻的波函數。§2.3薛定諤方程（續6）Schrödinger方程（9）

哈密頓算符

（8）*§2.4粒子流密度和粒子數守恆定律1．幾率守恆定律由Schrödinger方程

（1）

則設是粒子狀態的歸一化波函數取複共軛

討論粒子在一定空間區域內出現的幾率將怎樣隨時間變化代入（1）式後，有

*（2）令稱為幾率流密度幾率連續性方程（3）（2）

幾率連續性方程與經典電動力學中的電荷守恆方程具有相同的形式。（3）式對空間V作體積分§2.４粒子流密度和粒子數守恆定律（續1）(4)*當時(4)式表明:粒子單位時間在內出現的幾率的增量等於單位時間內流入內的幾率(負號表示流入)。(3)式是幾率守恆守律的積分形式。(4)式即表明粒子的總幾率不變,即幾率守恆。表明波函數歸一化不隨時間改變，其物理意義是粒子既未產生也未消滅。§2.４粒子流密度和粒子數守恆定律（續２）*——量子力學的電荷密度——量子力學的品質流密度——量子力學的電流密度——量子力學的品質密度2．電荷守恆定律，粒子數守恆設粒子的電荷為，品質為——量子力學的電荷守恆律——量子力學的物質守恆律§2.４粒子流密度和粒子數守恆定律（續３）*3．波函數的標準條件（1）根據Born統計解釋，是粒子在

時刻出現在點的幾率，這是一個確定的數，所以要求應是的單值函數且有限。（2）根據粒子數守恆定律:此式右邊含有及其對坐標一階導數的積分，由於積分區域是任意選取的，所以是任意閉合面。要是積分有意義，必須在變數的全部範圍，即空間任何一點都應是有限、連續且其一階導數亦連續。

概括之，波函數在全空間每一點應滿足單值、有限、連續三個條件，該條件稱為波函數的標準條件。§2.４粒子流密度和粒子數守恆定律（續４）*§2.5

定態薛定諤方程

1．定態，定態波函數（1）

（2）

若與無關，則可以分離變數，令(2)代入(1)式，兩邊同除，得到（3）

等式兩邊是相互無關的物理量，故應等於與無關的常數（4）*（5）

（6）

(5)代入(2)式，得到令deBroglie能量式

可見分離變數中引入的常數為粒子的能量，當粒子處在由波函數（6）所描述的狀態時，粒子的能量有確定的值，這種狀態稱為定態；描述定態的波函數（6）稱為定態波函數。定態波函數§2.5定態薛定諤方程（續1）2．定態Schrödinger方程

當粒子處在定態中時，具有確定的能量，其空間波函數由方程（3），即由 *在給定的定解條件下求出，方程（7）稱為定態Schrödinger方程。

（7）§2.5定態薛定諤方程（續2）3.Hamilton算符和能量本征值方程（8）

（9）

這兩個方程都是以一個算符作用在定態波函數上，得出定態能量乘以該定態波函數，因此算符*（10）均稱為能量算符（11）

§2.5定態薛定諤方程（續3）利用哈密頓算符(能量算符)可將方程(9)和定態Schrödinger方程(7)和分別寫成（12）

（13）

和兩式均稱為哈密頓算符(能量算符)的本征方程的本征函數能量本征值

為本征波函數*

當體系處在能量本征波函數所描寫的狀態(又稱本征態)中時，粒子的能量有確定的值。

討論定態問題就是要求出體系可能有的定態波函數及這些態中的能量

；解能量算符本征方程（12）求定態波函數的問題又歸結為解定態Schrödinger方程+定解條件構成的本征值問題:

§2.5定態薛定諤方程（續5）定解條件本征能量值譜：本征函數系：本征波函數任意狀態

*4.求解定態問題的步驟（1）列出定態Schrodinger方程（2）根據波函數三個標準條件求解能量的本征值問題，得：本征函數本征能量§2.5定態薛定諤方程（續7）（4）通過歸一化確定歸一化係數（3）寫出定態波函數即得到對應第個本征值

的定態波函數*與無關5．定態的性質（2）幾率流密度與時間無關（1）粒子在空間幾率密度與時間無關與無關判別定態的方法：§2.5定態薛定諤方程（續8）（1）能量是否為確定值（2）幾率與時間無關（3）幾率流密度與時間無關*1.下列波函數所描述的狀態是否為定態？為什麼？（1）

（2）

（3）

思考題

2.如果一個粒子只有兩個可能位置,在量子力學中其波函數怎樣?意義又如何?*§2.6一維無限深勢阱在繼續闡述量子力學基本原理之前，先用Schrodinger

方程來處理一類簡單的問題——一維定態問題（一維無限深勢阱，線性諧振子，勢壘貫穿）。（1）有助於具體理解已學過的基本原理；（2）有助於進一步闡明其他基本原理；（3）處理一維問題，數學簡單，從而能對結果進行細緻討論，量子體系的許多特徵都可以在這些一維問題中展現出來；（4）一維問題還是處理各種複雜問題的基礎。其好處主要有四：*1．定態Schrödinger方程哈密頓算符無限深勢阱-aa0U(x)§2.6一維無限深勢阱（續1）(1)(2)考慮一維粒子的運動，其勢能為:*2．定態Schrödinger方程的解因及有限，由（2）

（3）令（4）（1）

從物理考慮，粒子不能透過無窮高的勢壁。§2.6一維無限深勢阱（續2）其通解為：（5）

利用的連續性，由（3）和（5）得*當，有（n為偶數）

(6)當，有（n為奇數）

(7)§2.6一維無限深勢阱（續3）(6)和(7)兩式統一寫成（8）

本征能量：（9）

*本征函數§2.6一維無限深勢阱（續4）（10）

為偶數（11）

為奇數(10)和(11)兩式統一寫成由歸一化條件求得歸一化常數*推導:（取實數）§2.6一維無限深勢阱（續5）（12）

歸一化的本征函數*or

由此可見：粒子的每個定態波函數是由兩個沿相反方向傳播的平面波疊加而成的駐波。3．粒子的定態波函數§2.6一維無限深勢阱（續6）*4．幾率幅與幾率密度曲線圖§2.6一維無限深勢阱（續7）*5.宇稱空間反射：空間向量反向的操作。稱波函數具有正宇稱（或偶宇稱）稱波函數具有負宇稱（或奇宇稱）（3）在空間反射下，如果則稱波函數沒有確定的宇稱。（1）在空間反射下，如果有：

則稱波函數有確定的宇稱。§2.6一維無限深勢阱（續8）*討論基態能量（3）取負整數與正整數描寫同一狀態。§2.6一維無限深勢阱（續9）（1）能量取分離譜，即能量是量子化的。(2)粒子能量最低的態稱為基態與經典最低能量為零不同，這是微觀粒子波動性的表現，因為“靜止的波”是沒有意義的，亦即的態不存在，無意義。*本征函數具有確定宇稱是由勢能對原點對稱：

而導致的。（5）束縛態——通常將在無窮遠處為零的波函數所描寫的狀態稱為束縛態。§2.6一維無限深勢阱（續10）（4）當為偶數時，，即具有負宇稱（奇宇稱）。當為奇數時，，即具有正宇稱（偶宇稱)。*§2.7線性諧振子

在經典力學中，當品質為的粒子，受彈性力作用，由牛頓第二定律可以寫出運動方程為：其解為。這種運動稱為簡諧振動，作這種運動的粒子稱為（線性）諧振子。經典允許的振動範圍諧振子在運動中能量守恆。其能量是振幅的連續函數。1.經典諧振子諧振子哈密頓量：引言諧振子能量：*

量子力學中的線性諧振子是指在勢場中運動的品質為的粒子

2.量子諧振子例如雙原子分子，兩原子間的勢是二者相對距離的函數，如圖所示。自然界廣泛碰到簡諧振動，任何體系在平衡位置附近的小振動，例如分子振動、晶格振動、原子核表面振動以及輻射場的振動等往往都可以分解成若干彼此獨立的一維簡諧振動。簡諧振動往往還作為複雜運動的初步近似，所以簡諧振動的研究，無論在理論上還是在應用上都是很重要的。§2.7線性諧振子（續1）*在處，有一極小值。在附近，勢可以展開成泰勒級數：axV(x)0V0記若取，即平衡位置處於勢點；並記，則§2.7線性諧振子（續2）*Hamiltonoperator定態Schrödinger方程：

1.Schrödinger方程（1）

改寫成令

（為待定常數）（2）

（3）

§2.7線性諧振子（續3）*於是方程（2）可寫成（4）

2.方程的求解當時，方程（4）的漸近形式為

（5）

方程（5）在處的有限解為

令方程（4）的解

（6）

代入方程（4）可得滿足的微分方程

§2.7線性諧振子（續4）*本征函數:用常微分方程的冪級數解法求厄密方程（7）滿足有限性條件（8）的有限解，可得厄密方程本征值問題的本征值：(8)（稱為厄密方程）(7)(9)稱為厄密多項式§2.7線性諧振子（續5）*厄密多項式的微分形式積分公式(10)幾個厄密多項式：§2.7線性諧振子（續6）*由歸一化條件(11)並運用積分公式：

求得歸一化常數(12)3.線性諧振子的能量本征函數(13)歸一化的本征函數§2.7線性諧振子（續7）*本征波函數(14)4.線性諧振子的本征能量由(2)和(9)式,即由和得本征能量:

(15)§2.7線性諧振子（續8）*1能量的本征值：

（1）能量譜為分離譜，兩能級的間隔為

（2）對應一個諧振子能級只有一個本征函數，即一個狀態，所以能級是非簡並的，每個能級的簡並度為1（一能級對應的量子態數稱為該能級的簡並度）（3）基態能量：（又稱零點能）

零點能不等於零是量子力學中特有的，是微觀粒子波粒二相性的表現，能量為零的“靜止的”波是沒有意義的，零點能是量子效應，已被絕對零點情況下電子的晶體散射實驗所證實。討論§2.7線性諧振子（續9）*基態能量：基態本征函數：2.基態在處的勢能：在範圍內動能由幾率密度看出,粒子在處出現的幾率最大；在範圍內，粒子出現的幾率不為零。對其他各能級狀態下的波函數可作類似的分析。

§2.7線性諧振子（續10）*

在經典情形下，粒子將被限制在範圍中運動。這是因為振子在處，其勢能，即勢能等於總能量，動能為零，經典的粒子動能不可以小於零，因此粒子被限制在內。可見，量子與經典情況完全不同。3.具有宇稱§2.7線性諧振子（續11）

上式諧振子波函數所包含的是的偶函數，所以的宇稱由厄密多項式的宇稱決定。由於的最高次項是。當偶數，則厄密多項式只含ξ的偶次項(偶宇稱)；當奇數，則厄密多項式只含ξ的奇次項(奇宇稱)。所以,具有宇稱*4．本征函數與幾率密度§2.7線性諧振子（續12）*§2.7線性諧振子（續13）*n=10時諧振子的幾率密度

從以上本征函數與幾率密度曲線圖看出，量子力學的諧振子波函數ψn有n個節點，在節點處找到粒子的幾率為零。而經典力學的諧振子在[-a,a]區間每一點上都能找到粒子，沒有節點。§2.7線性諧振子（續14）*勢壘貫穿是能量為E的粒子入射被勢場散射的問題§2.8

勢壘貫穿Ⅰ

Ⅱ

Ⅲ

一維方勢壘方勢壘是一種典型勢壘*（1）E>U0情形1.定態薜定諤方程0aV(x)V0IIIIIIE令

§2.8勢壘貫穿*則方程變為分區取解ⅠⅡⅢ2.方程的求解向右傳播的入射平面波向左傳播的反射平面波由左向右的透射波因Ⅲ區無由右向左傳播的平面波，故三式均為兩個左右傳播的平面波的疊加§2.8勢壘貫穿*

可得透射波振幅及反射波振幅與入射波振幅間的關係聯立這四個方程式，消除與由波函數的連續性條件

（4）§2.8勢壘貫穿*（5）利用幾率流密度公式:求得入射波的幾率流密度

透射波的幾率流密度

反射波的幾率流密度

§2.8勢壘貫穿*

為了定量描述入射粒子透射勢壘的幾率和被勢壘反射的幾率，定義透射係數和反射係數。3.透射係數和反射係數透射係數（6）反射係數（7）以上二式說明入射粒子一部分貫穿勢壘到的III區域，另一部分則被勢壘反射回來。表明粒子數守恆§2.8勢壘貫穿*（2）E<U0情形

是虛數Ⅰ

Ⅱ

Ⅲ

令是實數其中在(4)和(6)式中，把換為

，得到透射波振幅:

（8）§2.8勢壘貫穿*透射係數:

（9）隧道效應（tunneleffect）

粒子能夠穿透比它動能更高的勢壘的現象稱為隧道效應.它是粒子具有波動性的生動表現。當然，這種現象只在一定條件下才比較顯著。右圖給出了勢壘穿透的波動圖象。此結果表明，即使，透射係數一般不等於零。0aV(x)V0入射波+反射波透射波x§2.8勢壘貫穿*當很小，或，而

又不太小時，有，則討論於是（10）式(9)化成1.低能粒子穿透因與

同數量級，則

故4可忽略§2.8勢壘貫穿表明

隨壘寬

和壘高

的增大而成指數減小。*

2.任意形狀的勢壘可把任意形狀的勢壘分割成許多小勢壘，這些小勢壘可以近似用方勢壘處理。對每一小方勢壘透射係數E0abV(x)§2.8勢壘貫穿則貫穿整個勢壘的透射係數等於貫穿這些小方勢壘透射係數之積，即此式的推導雖不太嚴格，但該式與嚴格推導的結果一致。*4.應用實例

1962年,Josephson