《钉子板上的多边形》教案（3课时）-2026-2027学年苏教版（新教材）小学数学五年级上册

《钉子板上的多边形》教案（3课时）-2026-2027学年苏教版（新教材）小学数学五年级上册一、学情分析五年级学生已经掌握长方形、平行四边形、三角形、梯形的面积计算公式，具备基本数图形、计算面积、填表整理数据的能力，有初步小组合作探究的学习经验。学生习惯依靠既定公式计算多边形面积，对于从图形中自主发现隐藏数学规律的探究活动接触较少。面对钉子板上不规则多边形，学生能够数出边上钉子数量，但容易混淆“边上钉子数”和“内部钉子数”，很难自主意识到面积同时受两组钉子数量共同影响。学生可以完成简单的数据记录，但是从多组数据当中观察对比、提出猜想、归纳抽象出字母化数学式子的推理能力尚需要课堂重点训练。本课属于探索规律专题课，学生没有前置的同类规律学习，探究过程会出现猜想错误、找不准变量关系等课堂生成，需要教师依托教材表格，循序渐进引导学生开展观察、猜想、验证活动。二、教材分析《钉子板上的多边形》是苏教版2026秋新教材五年级上册“探索规律”专题内容，安排在多边形的面积单元之后，属于综合与实践学习领域。教材以钉子板（点子图）为探究载体，设置递进式探究任务，完整呈现“提出问题—观察填表—猜想规律—举例验证—归纳概括”的数学探究流程。教材首先抛出驱动问题：钉子板上多边形的面积，和钉子板上的钉子存在怎样的联系；随后分层探究：先研究多边形内部只有1枚钉子的图形，填写教材探究统计表；接着拓展内部有2枚钉子的多边形，继续收集数据；再进一步思考内部钉子数变化后的规律，最后尝试概括通用的数量关系，初步接触皮克定理的小学简化形式。教材不要求学生直接记忆公式，重在让学生积累探究规律的数学活动经验，体会数形结合、不完全归纳的数学思想，发展几何直观与推理意识。教材配有多组钉子板多边形样例和专用数据记录表，是本节课学生探究的核心学习材料。三、核心素养教学目标（依据2022版新课标）1.几何直观、空间观念：能够在钉子板点子图上区分多边形边上钉子数与内部钉子数，正确数出两类钉子数量，结合图形计算多边形面积，借助表格整理图形数据，建立图形与数据之间的对应关系。2.推理意识、数据意识：经历观察数据、大胆猜想、举例验证、对比分析的完整探究过程，通过多组表格数据，发现钉子板多边形面积与边上钉子数、内部钉子数的变化关系，体会不完全归纳的探究方法。3.符号意识、抽象能力：能用字母表示边上钉子数、内部钉子数、面积，把发现的规律写成含有字母的数学式子，感受字母表达规律的简洁性。4.创新意识、应用意识：自主围画多边形来验证猜想，能运用探究得到的规律计算钉子板多边形面积；体会图形背后蕴藏数学规律，积累探索数学规律的活动经验。四、教学重难点教学重点：读懂教材探究材料，区分边上钉子数与内部钉子数；探究内部钉子数为1枚、2枚条件下，多边形面积与钉子数之间的关系，会填写教材探究统计表，经历猜想‑验证的探究过程。

教学难点：从多组实验数据当中提炼数量关系；理解内部钉子数发生变化时，规律随之改变，归纳得到通用的字母关系式。五、教学过程（共2课时）第1课时：探究内部1枚钉子的多边形规律，建立探究方法情境导入，研读教材提出的探究问题教师：同学们，前面单元我们已经学习多种多边形面积计算。今天我们一起来学习本册探索规律专题——钉子板上的多边形。请同学们翻开课本，阅读教材开篇内容。

教师出示教材原文情境：钉子板上，每相邻两枚钉子之间距离是1厘米，围出若干个大小不一样的多边形。教材抛出核心问题：钉子板上多边形的面积，会和钉子板上的钉子有关系吗？如果有关系，会是什么样的关系？

师：大家观察课本上面的几幅钉子板多边形，同样的钉子板，围出来的多边形有的大、有的小。请大家大胆猜一猜，多边形的面积，可能和什么钉子有关？

预设学生发言：可能和多边形边上经过的钉子有关系；也有可能和多边形围在里面的钉子有关系。

教师顺势板书两组关键概念：边上钉子数n；内部钉子数a。

教师讲解教材概念：我们把多边形边框线上经过的钉子，叫做边上钉子数，用字母n表示；被多边形包围在图形里面，不在边框上的钉子，叫做内部钉子数，用字母a表示。大家注意，顶点处的钉子属于边上钉子，不属于内部钉子。

师：现在我们明确，研究这个规律，我们要同时记录三样东西：多边形的面积S，边上钉子的数量n，内部钉子的数量a。

教师继续追问：如果两个多边形，边上钉子数量一样，它们的面积就一定相等吗？

学生思考，部分学生产生疑惑。

教师：带着这个疑问，我们跟随教材安排，从简单情况入手开展探究。课本首先安排研究一类特殊图形：多边形内部只有1枚钉子，也就是a=1。

【设计意图】完整解读教材开篇驱动问题，厘清“边上钉子数”“内部钉子数”两个容易混淆的核心概念，明确本节课研究对象，给后续的数据统计做好概念铺垫，制造认知冲突，激发探究欲望。研读教材样例，完成教材统计表（a=1）教师：请看课本，教材给出四幅多边形，这四个多边形有一个共同特点，内部都只有1枚钉子（a=1）。请同学们仔细看图，任务有三项：算出每个图形的面积S，数出边上钉子数n，把数据填入课本自带的探究统计表当中。黑板复刻教材统计表：多边形编号面积S（平方厘米）边上钉子数n（枚）内部钉子数a（枚）①1②1③1④1教师示范教材第一个图形的读数方法：我们看第一幅图，内部牢牢包裹住1枚钉子，所以a=1；沿着多边形边框数一数边框经过几枚钉子，得到边上钉子数；再用我们学过的面积公式，或者数方格，算出图形面积。

教师巡视课堂，观察学生数钉子情况。

师在巡导当中抓住典型错误提问：老师看到有同学数边上钉子的时候，把图形里面那一枚钉子也算进去了，大家思考，这样数对不对？

生：不对，里面的钉子是内部钉子，边上钉子只数边框线上的钉子。

教师点拨：数边上钉子的时候，沿着多边形的边线，一个顶点一个顶点顺着数，顶点钉子都要计入边上钉子，图形里面的钉子不参与计数。

学生独立完成教材四幅图形的读数填表，之后全班集体核对教材表格标准答案。

教师板书四组数据：

①S=2，n=4，a=1；②S=3，n=6，a=1；③S=3.5，n=7，a=1；④S=4，n=8，a=1。

教师：现在我们手上拿到四组数据，全部满足条件：内部钉子数a固定等于1。请大家小组内观察表格里面S和n的数据，找一找两者之间存在怎样的运算关系，大胆提出你们的猜想。

小组开展讨论交流，教师深入小组倾听学生猜想。

组织全班汇报猜想。

生1：面积的数值，差不多是边上钉子数的一半。4÷2=2，正好等于面积；6÷2=3，正好等于面积；8÷2=4，也正好等于面积。

教师板书学生猜想：当a=1时，S=n÷2。

教师抓住表格第三组数据追问：我们看第三组，n=7，7÷2=3.5，和面积S=3.5也刚好相等。四组教材样例全部符合这个猜想。

教师：教材仅仅给我们4个图形，是不是所有内部只有1枚钉子的多边形，都满足“S=n÷2”？仅仅依靠课本4个例子，还不能够完全确定，数学的猜想需要更多例子来验证。

【设计意图】严格依托教材样例与教材自带统计表开展教学，通过纠错强化两类钉子数的区分；学生从教材给出的数据当中自主提出猜想，体会“从数据得到猜想”的探究环节，让学生明白课本样例只能够启发猜想，不能直接当作结论。小组合作，自主画图围图，验证猜想（a=1）教师：按照教材探究思路，接下来我们要自主构造更多多边形，保持内部钉子数a=1不变，也就是图形里面只包围1枚钉子，画出不同形状、不同大小的多边形，数数据、算面积，检验我们刚刚得到的猜想“S=n÷2”到底成不成立。

教师布置小组探究任务：每个小组画出2‑3个新多边形，图形内部只能有1枚钉子，把得到的数据记录在自己的补充表格当中，小组内互相检查：内部钉子数是不是严格等于1；边上钉子数有没有数错；面积计算是否正确。

教师巡导课堂，针对小组出现的典型问题进行点拨。

遇到小组画出图形内部钉子是0或者2枚的情况：教师提醒，我们现在验证的条件是a=1，图形里面只能包住1枚钉子，要调整图形，保证条件不变。

遇到学生数边上钉子重复数顶点：教师示范数钉子方法，沿着多边形边线顺时针数一遍，每个顶点只数一次。

各小组汇报自己的实验数据。

小组1汇报：我们画的图形，n=10，a=1，算出来面积是5，10÷2=5，猜想成立。

小组2汇报：我们画的五边形，n=5，a=1，面积2.5，5÷2=2.5，也符合S=n÷2。

教师收集多组学生验证案例，发现全部案例都能够匹配猜想。

教师小结：经过课本样例加上同学们自主画图多组例子验证，当多边形内部钉子数a=1的时候，钉子板多边形面积确实满足关系式：S=n÷2。

教师板书结论：a=1，S=n÷2。

师继续引导思考：那如果多边形内部钉子数量不再是1枚，变成2枚钉子，面积还会等于边上钉子数除以2吗？

学生产生分歧，有部分学生认为依然成立，部分学生认为会发生变化。

教师：内部钉子数改变，规律很可能随之发生改变，这就是我们下一节课重点要研究的内容。课时小结，布置前置探究任务教师引导学生梳理第1课时收获：本节课我们学习区分边上钉子数n、内部钉子数a；研究教材当中内部只有1枚钉子的多边形，读取教材样例数据填表，提出猜想，再自主画图举例验证，得到结论：a=1时，S=n÷2。

教师布置小组课前思考任务：各个小组提前想一想，如果多边形内部有2枚钉子，我们要怎样收集数据？可以尝试画1‑2个内部有2枚钉子的多边形，简单记录数据，为第2课时探究做好准备。第2课时：探究a=2，推导通用规律，完整解读教材总结部分课时回顾，承接教材下一探究任务教师：上一节课我们研究钉子板上内部只有1枚钉子的多边形，谁来复述，a=1时，面积S和边上钉子数n是什么关系？

生齐答：S=n÷2。

教师板书回顾：a=1，S=n÷2。

教师：今天我们继续研读教材，教材紧接着提出新问题：如果多边形内部钉子数a=2，也就是图形里面包住2枚钉子，面积与边上钉子数又是什么关系？

师提问引导猜想：大家大胆猜一猜，当内部钉子变成2枚，面积是会变大还是变小？关系式还会是S=n÷2吗？

预设学生猜想：面积应该会变大；有的学生猜想S=n÷2+1，也有学生猜想S=n÷2+2。

教师：猜想不能靠感觉，还是要按照教材的探究方法，画出图形、收集多组数据，填表观察，找到数量关系。教师在黑板搭建本节课的数据记录表，对标教材探究格式：多边形序号面积S（平方厘米）边上钉子数n（枚）内部钉子数a（枚）12223242教师强调画图硬性条件：所有多边形，图形内部必须恰好包围2枚钉子，边框上不能包含这两枚内部钉子，内部既不能多也不能少。

【设计意图】复习第1课时探究成果，顺着教材编排顺序抛出a=2的探究任务，巩固“猜想‑收集数据‑验证”这套完整探究流程。小组合作画图探究，分析a=2的数据，归纳局部规律教师布置小组合作任务：小组合作，画出4个内部a=2的不同多边形，形状可以各不相同；完成三件事：数边上钉子数n，算出面积S，填入记录表；小组内部互相校验数据，排除数错、画错的图形。小组内设画图员、计数员、记录员。

教师课堂巡视，对小组进行针对性点拨。

点拨易错点1：有小组画图，两枚钉子一枚在内部，一枚落在多边形的边框上。教师提问：落在边框线上的钉子，属于哪一类钉子？

生：边框线上属于边上钉子，不算内部钉子。

教师点拨：我们要保证两枚钉子都被包围在图形里面，不可以压在多边形的边线上。

点拨易错点2：面积计算错误。教师提示，可以分割成基础图形算面积，也可以数方格，保证面积数据准确。

各小组完成画图填表，教师挑选多组小组的数据板书展示。

示例学生多组有效数据：

①S=4，n=6，a=2；②S=5，n=8，a=2；③S=5.5，n=9，a=2；④S=6，n=10，a=2。

教师带领全班一起观察分析表格数据。

师提问：对比a=1的公式S=n÷2，我们拿第一组数据n=6，n÷2=3，但实际面积S=4，面积比n÷2多多少？

生：多1。6÷2+1=4。

师看第二组n=8：8÷2+1=5，正好等于面积；第三组n=9，9÷2+1=5.5，匹配面积；第四组n=10，10÷2+1=6，匹配面积。

教师引导学生归纳：当内部钉子数a=2的时候，面积关系式是S=n÷2+1。

教师板书：a=2，S=n÷2+1。

教师继续追问，对接教材思考问题：同学们，对比我们得到的两组式子：

当a=1，S=n÷2=n÷2+0；

当a=2，S=n÷2+1；

请大家观察，a变化的时候，式子后面加上的数和a之间有什么联系？小组讨论找联系。

学生小组观察对比两组式子。

生：a=1，后面加0，1‑1=0；a=2，后面加1，2‑1=1。加上的数等于（a‑1）。

教师抓住课堂生成，顺势推导：按照这个发现，如果a=3，内部有3枚钉子，大家猜想关系式会变成什么样？

生：S=n÷2+2，也就是S=n÷2+(3‑1)。

教师肯定学生的推理，继续引导：那把a当作任意内部钉子数，综合起来，我们可以把关系式写成：S=n÷2+a‑1。

教师讲解教材阅读材料：教材在结尾给出小知识，这个规律叫做皮克定理，专门用来计算钉子板点子图上多边形的面积。n代表边上钉子数，a代表多边形内部钉子数。

师带领全班解读教材文本：教材提醒我们，这个规律是经过多组图形反复画图验证得到，不是一两个例子就可以下结论。我们回顾整个探究路径：先固定a=1，找到规律；再固定a=2找到规律；通过对比，推理出通用的字母表达式。

【设计意图】让学生再次完整实践画图‑采集数据‑分析数据的探究流程，通过两组局部关系式对比，引导学生自主发现a与常数项的关联，生成通用公式，落实推理意识、符号意识素养，读懂教材的阅读拓展内容。运用教材样例，巩固通用关系式S=n÷2+a‑1教师：现在我们得到通用关系式S=n÷2+a‑1，我们回到课本前面的图形，用公式回头验证a=1的情况，看看是否匹配。

师提问：当a=1，代入式子S=n÷2+1‑1，化简之后得到S=n÷2，正好就是我们第一课时得到的结论。说明通用公式可以包含前面的特殊情况。

教师出示教材当中新的多边形样例，内部a=3，边上钉子n=10，请全班学生利用公式计算面积。

学生列式计算：S=10÷2+3‑1=5+2=7（平方厘米）。

教师再出示一组图形，a=0，多边形内部一枚钉子都没有，边上钉子n=6，学生代入公式计算：S=6÷2+0‑1=3‑1=2（平方厘米）。

教师点拨：即使内部一枚钉子都没有，这个关系式同样成立。

教师组织课堂辨析：有同学说，以后钉子板多边形，直接套公式就可以，不用再算面积。大家想一想，这个公式使用有没有前提？

生：图形顶点必须落在钉子板的钉子上面，多边形顶点要和钉子重合。

教师讲解教材隐含条件：教材所有探究图形，多边形顶点都要压在钉子上。顶点不在钉子上面的图形，这个规律不适用。

【设计意图】回头验证旧知，强化通用公式可以兼容特殊情况；通过教材样例代入计算，巩固公式的使用，明确公式适用条件，避免学生机械套公式，理解规律的适用边界。研读教材回顾与反思板块，梳理完整探究流程教师：请同学们阅读教材最后的回顾反思板块，教材提出问题，回顾我们探索钉子板多边形规律的全过程，说一说我们是怎样一步步找到规律的？

学生结合两节课学