2026年天津市北师大版高中一年级数学下册第5章检测卷

2026年天津市北师大版高中一年级数学下册第5章检测卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)＝x³－3x＋2，若f(a)＝0，则a的取值集合为（）A．{－2，1}B．{－1，2}C．{0，3}D．{－3，0}解析：由f(x)＝x³－3x＋2＝0，因式分解得(x－1)²(x＋2)＝0，解得x＝1（重根）或x＝－2，故a的取值集合为{－2，1}，正确选项为A。其他选项均存在错误解，如B选项中－1不是方程根，C选项中0不是方程根，D选项中－3不是方程根。本题考查了三次函数的零点求解，需掌握因式分解法求解多项式方程的技巧。2.若函数g(x)＝|x－1|＋|x＋2|在区间[－3，4]上的最小值为m，则m等于（）A．1B．2C．3D．4解析：函数g(x)＝|x－1|＋|x＋2|表示数轴上点x到1和－2的距离之和，在区间[－3，4]上，当x在－2与1之间时，g(x)取最小值，即g(－2)＝|－2－1|＋|－2＋2|＝3，正确选项为C。其他选项均不符合最小值条件，如A选项对应x＝－3时g(－3)＝4，B选项对应x＝0时g(0)＝3，D选项对应x＝4时g(4)＝5。3.已知函数h(x)＝ln(x＋1)－x，则h(x)在区间(－1，＋∞)上的单调性为（）A．单调递增B．单调递减C．先增后减D．先减后增解析：求导得h′(x)＝1/(x＋1)－1＝－x/(x＋1)，当x∈(－1，0)时h′(x)＞0，函数单调递增；当x∈(0，＋∞)时h′(x)＜0，函数单调递减，故h(x)在(－1，＋∞)上先增后减，正确选项为C。其他选项均错误，如A选项忽略了导数在x＝0处变号，B选项未考虑导数正负变化，D选项顺序错误。4.若函数f(x)＝x²－2ax＋4在x＝1处取得极值，则a等于（）A．1B．2C．3D．4解析：求导得f′(x)＝2x－2a，令f′(1)＝0得2－2a＝0，解得a＝1，正确选项为A。其他选项均不满足极值条件，如B选项f′(1)＝0但f′(x)在x＝1两侧同号，非极值点。5.已知函数f(x)＝e^x－ax在x＝1处取得最小值，则a等于（）A．eB．2eC．3eD．4e解析：求导得f′(x)＝e^x－a，令f′(1)＝0得e－a＝0，解得a＝e，又因f′(x)在x＝1左侧为负、右侧为正，故x＝1为极小值点，正确选项为A。其他选项均不满足极值条件，如B选项f′(1)＝0但f′(x)在x＝1两侧同号。6.若函数g(x)＝sin(x＋φ)在x＝π/4处取得最大值，则φ等于（）A．π/4B．3π/4C．5π/4D．7π/4解析：sin函数在x＝π/4＋2kπ(k∈Z)处取得最大值1，故φ＝π/4＋2kπ－π/4＝2kπ，取k＝0得φ＝0，但φ＝0时g(x)＝sinx在x＝π/4处为sin(π/4)≈0.71＜1，需φ＝3π/4时g(x)＝sin(x＋3π/4)在x＝π/4处取得sinπ＝1，正确选项为B。其他选项均不满足最大值条件。7.已知函数f(x)＝x³－3x＋1，则f(x)在区间[－2，2]上的最大值与最小值分别为（）A．8，－4B．8，－8C．10，－4D．10，－8解析：求导得f′(x)＝3x²－3＝3(x－1)(x＋1)，令f′(x)＝0得x＝±1，计算端点和驻点函数值：f(－2)＝－8，f(－1)＝2，f(1)＝－1，f(2)＝8，故最大值为8，最小值为－8，正确选项为B。其他选项数值错误。8.若函数h(x)＝x＋1/x在区间(0，1]上的最小值为m，则m等于（）A．1B．2C．√2D．2√2解析：求导得h′(x)＝1－1/x²＝(x²－1)/x²，令h′(x)＝0得x＝1，计算端点和驻点函数值：h(1)＝2，h(0^+)＝＋∞，故最小值为2，正确选项为B。其他选项均不符合最小值条件。9.已知函数f(x)＝2cos²x－sin(2x)在区间[0，π]上的最大值为m，则m等于（）A．1B．2C．3D．4解析：化简得f(x)＝1＋cos(2x)－sin(2x)＝1＋√2sin(2x－π/4)，当2x－π/4＝π/2即x＝3π/8时取得最大值1＋√2≈2.41，正确选项为C。其他选项数值错误。10.若函数g(x)＝x²lnx在区间(0，1]上的最大值为m，则m等于（）A．0B．1C．－1/4D．－1/2解析：求导得g′(x)＝2xlnx＋x＝x(2lnx＋1)，令g′(x)＝0得x＝e^(-1/2)，计算端点和驻点函数值：g(1)＝0，g(e^(-1/2))＝(e^(-1/2))^2ln(e^(-1/2))＝－e^(-1)≈－0.37，故最大值为0，正确选项为B。其他选项数值错误。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)＝x³－3x＋2在x＝a处取得极值，则a＋1＝________参考答案：0解析：求导得f′(x)＝3x²－3，令f′(x)＝0得x＝±1，故a＝±1，a＋1＝0，正确答案为0。2.函数g(x)＝|x－1|＋|x＋2|的最小值为________参考答案：3解析：数轴上点x到1和－2的距离之和最小值为两点距离3，正确答案为3。3.若函数h(x)＝ln(x＋1)－x在x＝1处取得________（填极大值/极小值/无极值）参考答案：极小值解析：求导得h′(x)＝1/(x＋1)－1＝－x/(x＋1)，h′(1)＝－1/2＜0，但需注意x＝1处为定义域边界，需结合导数变号判断，正确答案为无极值。4.函数f(x)＝x²－2ax＋4在x＝2处取得极值，则a＝________参考答案：4解析：求导得f′(x)＝2x－2a，令f′(2)＝4－2a＝0，解得a＝2，但需注意题目要求极值点为x＝2，正确答案为4。5.函数g(x)＝sin(x＋φ)在x＝π/2处取得最大值，则φ＝________（填π/2＋2kπ或形式）参考答案：2kπ解析：sin函数最大值1在x＝π/2＋2kπ处取得，故φ＝2kπ，正确答案为2kπ。6.函数f(x)＝x³－3x＋1在区间[－1，1]上的最大值为________参考答案：2解析：求导得f′(x)＝3x²－3，令f′(x)＝0得x＝±1，计算端点和驻点函数值：f(－1)＝1，f(1)＝－1，f(0)＝1，故最大值为2。7.函数h(x)＝x＋1/x在区间(0，1]上的最小值为________参考答案：2解析：求导得h′(x)＝1－1/x²＝(x²－1)/x²，令h′(x)＝0得x＝1，计算端点和驻点函数值：h(1)＝2，h(0^+)＝＋∞，故最小值为2。8.函数f(x)＝2cos²x－sin(2x)在区间[0，π/2]上的最大值为________参考答案：3解析：化简得f(x)＝1＋cos(2x)－sin(2x)，当x＝0时f(0)＝1，当x＝π/4时f(π/4)＝1＋0－√2/2≈0.29，当x＝π/2时f(π/2)＝1－1＝0，故最大值为3。9.函数g(x)＝x²lnx在区间(0，1]上的最大值为________参考答案：0解析：求导得g′(x)＝2xlnx＋x＝x(2lnx＋1)，令g′(x)＝0得x＝e^(-1/2)，计算端点和驻点函数值：g(1)＝0，g(e^(-1/2))＝－e^(-1)≈－0.37，故最大值为0。10.函数f(x)＝x³－3x＋2在x＝1附近的变化趋势为________（填先增后减/先减后增/单调递增/单调递减）参考答案：先增后减解析：求导得f′(x)＝3x²－3，f′(1)＝0且f′(x)在x＝1左侧为负、右侧为正，故x＝1为极小值点，正确答案为先增后减。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)＝x³－3x＋2在x＝1处取得极值，则f(x)在x＝1两侧单调性相反。（正确）解析：求导得f′(x)＝3x²－3，f′(1)＝0且f′(x)在x＝1左侧为正、右侧为负，故x＝1为极小值点，两侧单调性相反，正确。2.函数g(x)＝|x－1|＋|x＋2|在x＝－1/2处取得最小值。（错误）解析：函数在x＝0处取得最小值，此时g(0)＝3，x＝－1/2时g(－1/2)＝5/2＞3，故错误。3.函数h(x)＝ln(x＋1)－x在x＝0处取得极大值。（错误）解析：求导得h′(x)＝1/(x＋1)－1＝－x/(x＋1)，h′(0)＝0且h′(x)在x＝0左侧为正、右侧为负，故x＝0为极大值点，正确。4.函数f(x)＝x²－2ax＋4在x＝a处取得极值。（正确）解析：求导得f′(x)＝2x－2a，令f′(x)＝0得x＝a，且f′(x)在x＝a两侧变号，故x＝a为极值点，正确。5.函数g(x)＝sin(x＋φ)在x＝π/4处取得最大值，则φ＝π/4。（错误）解析：sin函数最大值1在x＝π/4＋2kπ处取得，故φ＝2kπ，φ＝π/4时g(x)＝sin(x＋π/4)在x＝π/4处为sin(π/2)＝1，但φ＝0时g(x)＝sinx在x＝π/4处为sin(π/4)≈0.71＜1，故错误。6.函数f(x)＝x³－3x＋1在区间[－2，2]上的最大值为8。（正确）解析：求导得f′(x)＝3x²－3，令f′(x)＝0得x＝±1，计算端点和驻点函数值：f(－2)＝－8，f(－1)＝2，f(1)＝－1，f(2)＝8，故最大值为8，正确。7.函数h(x)＝x＋1/x在区间(0，1]上的最小值为1。（错误）解析：求导得h′(x)＝1－1/x²＝(x²－1)/x²，令h′(x)＝0得x＝1，计算端点和驻点函数值：h(1)＝2，h(0^+)＝＋∞，故最小值为2，故错误。8.函数f(x)＝2cos²x－sin(2x)在区间[0，π]上的最大值为3。（正确）解析：化简得f(x)＝1＋cos(2x)－sin(2x)，当x＝0时f(0)＝1，当x＝π/4时f(π/4)＝1＋0－√2/2≈0.29，当x＝π/2时f(π/2)＝1－1＝0，故最大值为3，正确。9.函数g(x)＝x²lnx在区间(0，1]上的最大值为－1/2e。（错误）解析：求导得g′(x)＝2xlnx＋x＝x(2lnx＋1)，令g′(x)＝0得x＝e^(-1/2)，计算端点和驻点函数值：g(1)＝0，g(e^(-1/2))＝－e^(-1)≈－0.37，故最大值为0，故错误。10.函数f(x)＝x³－3x＋2在x＝1附近的变化趋势为先减后增。（错误）解析：求导得f′(x)＝3x²－3，f′(1)＝0且f′(x)在x＝1左侧为负、右侧为正，故x＝1为极小值点，正确答案为先增后减，故错误。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知函数f(x)＝x³－3x＋2，求f(x)在区间[－2，2]上的单调区间。参考答案：减区间[－2，－1]和[1，2]，增区间[－1，1]解析：求导得f′(x)＝3x²－3＝3(x－1)(x＋1)，令f′(x)＝0得x＝±1，用导数符号法判断：当x∈[－2，－1]时f′(x)＞0，当x∈[－1，1]时f′(x)＜0，当x∈[1，2]时f′(x)＞0，故减区间[－2，－1]和[1，2]，增区间[－1，1]。2.函数g(x)＝|x－1|＋|x＋2|的最小值是多少？取最小值时x的取值范围是什么？参考答案：最小值为3，取最小值时x∈[－2，1]解析：数轴上点x到1和－2的距离之和最小值为两点距离3，当x在1和－2之间时取得最小值，即x∈[－2，1]。3.函数h(x)＝ln(x＋1)－x在x＝0处是否取得极值？若取得，是极大值还是极小值？参考答案：取得极大值解析：求导得h′(x)＝1/(x＋1)－1＝－x/(x＋1)，h′(0)＝0且h′(x)在x＝0左侧为正、右侧为负，故x＝0为极大值点。4.函数f(x)＝x²－2ax＋4在x＝a处取得极值，求a的取值范围。参考答案：a∈R解析：求导得f′(x)＝2x－2a，令f′(x)＝0得x＝a，且f′(x)在x＝a两侧变号，故a∈R时x＝a为极值点。5.函数g(x)＝sin(x＋φ)在x＝π/2处取得最大值，求φ的取值集合。参考答案：φ＝2kπ，k∈Z解析：sin函数最大值1在x＝π/2＋2kπ处取得，故φ＝2kπ，k∈Z。6.函数f(x)＝x³－3x＋1在区间[－2，2]上的最大值和最小值分别是多少？参考答案：最大值2，最小值－8解析：求导得f′(x)＝3x²－3，令f′(x)＝0得x＝±1，计算端点和驻点函数值：f(－2)＝－8，f(－1)＝2，f(1)＝－1，f(2)＝2，故最大值2，最小值－8。7.函数h(x)＝x＋1/x在区间(0，1]上的最小值是多少？取最小值时x的取值范围是什么？参考答案：最小值为2，取最小值时x＝1解析：求导得h′(x)＝1－1/x²＝(x²－1)/x²，令h′(x)＝0得x＝1，计算端点和驻点函数值：h(1)＝2，h(0^+)＝＋∞，故最小值为2，取最小值时x＝1。8.函数f(x)＝2cos²x－sin(2x)在区间[0，π]上的最大值是多少？取最大值时x的取值范围是什么？参考答案：最大值为3，取最大值时x＝0解析：化简得f(x)＝1＋cos(2x)－sin(2x)，当x＝0时f(0)＝1，当x＝π/4时f(π/4)＝1＋0－√2/2≈0.29，当x＝π/2时f(π/2)＝1－1＝0，故最大值为3，取最大值时x＝0。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知函数f(x)＝x³－3x＋2，求f(x)在区间[－2，2]上的最大值和最小值。参考答案：最大值2，最小值－8解析：求导得f′(x)＝3x²－3，令f′(x)＝0得x＝±1，计算端点和驻点函数值：f(－2)＝－8，f(－1)＝2，f(1)＝－1，f(2)＝2，故最大值2，最小值－8。2.函数g(x)＝|x－1|＋|x＋2|的最小值是多少？取最小值时x的取值范围是什么？参考答案：最小值为3，取最小值时x∈[－2，1]解析：数轴上点x到1和－2的距离之和最小值为两点距离3，当x在1和－2之间时取得最小值，即x∈[－2，1]。3.函数h(x)＝ln(x＋1)－x在x＝0处是否取得极值？若取得，是极大值还是极小值？参考答案：取得极大值解析：求导得h′(x)＝1/(x＋1)－1＝－x/(x＋1)，h′(0)＝0且h′(x)在x＝0左侧为正、右侧为负，故x＝0为极大值点。4.函数f(x)＝x²－2ax＋4在x＝a处取得极值，求a的取值范围。参考答案：a∈R解析：求导得f′(x)＝2x－2a，令f′(x)＝0得x＝a，且f′(x)在x＝a两侧变号，故a∈R时x＝a为极值点。5.函数g(x)＝sin(x＋φ)在x＝π/2处取得最大值，求φ的取值集合。参考答案：φ＝2kπ，k∈Z解析：sin函数最大值1在x＝π/2＋2kπ处取得，故φ＝2kπ，k∈Z。6.函数f(x)＝x³－3x＋1在区间[－2，2]上的最大值和最小值分别是多少？参考答案：最大值2，最小值－8解析：求导得f′(x)＝3x²－3，令f′(x)＝0得x＝±1，计算端点和驻点函数值：f(－2)＝－8，f(－1)＝2，f(1)＝－1，f(2)＝2，故最大值2，最小值－8。7.函数h(x)＝x＋1/x在区间(0，1]上的最小值是多少？取最小值时x的取值范围是什么？参考答案：最小值为2，取最小值时x＝1解析：求导得h′(x)＝1－1/x²＝(x²－1)/x²，令h′(x)＝0得x＝1，计算端点和驻点函数值：h(1)＝2，h(0^+)＝＋∞，故最小值为2，取最小值时x＝1。8.函数f(x)＝2cos²x－sin(2x)在区间[0，π]上的最大值是多少？取最大值时x的取值范围是什么？参考答案：最大值为3，取最大值时x＝0解析：化简得f(x)＝1＋cos(2x)－sin(2x)，当x＝0时f(0)＝1，当x＝π/4时f(π/4)＝1＋0－√2/2≈0.29，当x＝π/2时f(π/2)＝1－1＝0，故最大值为3，取最大值时x＝0。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.C3.C4.A5.A6.B7.B8.B9.C10.B解析：2.因式分解得(x－1)²(x＋2)＝0，解得x＝1（重根）或x＝－2，故a的取值集合为{－2，1}。3.数轴上点x到1和－2的距离之和最小值为两点距离3，当x在1和－2之间时取得最小值，即x∈[－2，1]时g(x)取最小值3。4.求导得h′(x)＝1/(x＋1)－1＝－x/(x＋1)，h′(x)在x＝0处变号，但需注意x＝0处为定义域边界，需结合导数变号判断，故x＝0处无极值。5.求导得f′(x)＝2x－2a，令f′(x)＝0得x＝a，且f′(x)在x＝a两侧变号，故x＝a为极值点，a∈R。6.sin函数最大值1在x＝π/2＋2kπ处取得，故φ＝2kπ，φ＝π/4时g(x)＝sin(x＋π/4)在x＝π/4处为sin(π/2)＝1，但φ＝0时g(x)＝sinx在x＝π/4处为sin(π/4)≈0.71＜1，故错误。7.求导得f′(x)＝3x²－3，令f′(x)＝0得x＝±1，计算端点和驻点函数值：f(－2)＝－8，f(－1)＝2，f(1)＝－1，f(2)＝8，故最大值2，最小值－8。8.求导得h′(x)＝1－1/x²＝(x²－1)/x²，令h′(x)＝0得x＝1，计算端点和驻点函数值：h(1)＝2，h(0^+)＝＋∞，故最小值为2。9.化简得f(x)＝1＋cos(2x)－sin(2x)，当x＝0时f(0)＝1，当x＝π/4时f(π/4)＝1＋0－√2/2≈0.29，当x＝π/2时f(π/2)＝1－1＝0，故最大值为3。10.求导得g′(x)＝2xlnx＋x＝x(2lnx＋1)，令g′(x)＝0得x＝e^(-1/2)，计算端点和驻点函数值：g(1)＝0，g(e^(-1/2))＝－e^(-1)≈－0.37，故最大值为0。11.求导得f′(x)＝3x²－3，f′(1)＝0且f′(x)在x＝1左侧为负、右侧为正，故x＝1为极小值点，两侧单调性相反，正确。二、填空题1.02.33.无极值4.45.2kπ6.27.28.39.010.先增后减三、判断题1.√2.×3.×4.√5.×6.√7.×8.√9.×10.×四、简答题1.减区间[－2，－1]和[1，2]，增区间[－1，1]解析：求导得f′(x)＝3x²－3＝3(x－1)(x＋1)，令f′(x)＝0得x＝±1，用导数符号法判断：当x∈[－2，－1]时f′(x)＞0，当x∈[－1，1]时f′(x)＜0，当x∈[1，2]时f′(x)＞0，故减区间[－2，－1]和[1，2]，增区间[－1，1]。2.最小值为3，取最小值时x∈[－2，1]解析：数轴上点x到1和－2的距离之和最小值为两点距离3，当x在1和－2之间时取得最小值，即x∈[－2，1]时g(x)取最小值3。3.取得极大值解析：求导得h′(x)＝1/(x＋1)－1＝－x/(x＋1)，h′(0)＝0且h′(x)在x＝0左侧为正、右侧为负，故x＝0为极大值点。4.a∈R解析：求导得f′(x)＝2x－2a，令f′(x)＝0得x＝a，且f′(x)在x＝a两侧变号，故a∈R时x＝a为极值点。5.φ＝2kπ，k∈Z解析：sin函数最大值1在x＝π/2＋2kπ处取得，故φ＝2kπ，k∈Z。6.最大值2，最小值－8解析：求导得f′(x)＝3x²－3，令f′(x)＝0得x＝±1，计算端点和驻点函数值：f(－2)＝－8，f(－1)＝2，f(1)＝－1，f(2)＝2，故最大值2，最小值－8。7.最小值为2，取最小值时x＝1解析：求导得h′(x)＝1