河北百师联盟2027届高三上学期9月阶段检测数学试题+答案

高三数学注意事项：2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。考试时间为120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。A.{4}B.{2,4}C.{1,4}D.{0,1,2,4}2.已知复数z=2—i(i为虚数单位),则复数z在复平面内对应的点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限CDACD4.已知圆锥的体积为9√3π,侧面积是底面积的2倍，则其底面圆的半径为5.已知函数f(x)=(x—1)(x+1)(x-2)(x+3),则f'(2)=6.科研团队有4种卫星载荷：光学相机、雷达探测仪、红外传感器、通信应答机.甲、乙两位工程师各从中随机选取2种载荷开展仿真测试，则甲、乙选取的载荷恰有1种相同的概率为C(C(A第1页(共4页)7.斐波那契数列在螺旋星系，叶脉生长等自然模型中经常出现，斐波那契数列{an}满足a₁=az=1,an+2=an+1+an(n∈N"),设a₁+a₃+a₅+a₇+ag+…+a₂027=a,则k=A.2026B.2027C.2028D.20298.在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中,AB=2,BC=4,若其外接球球O的表面积为32π,则异面直线A₁B与B₁C所成角的余弦值为C(C(二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.随机变量X,Y分别服从正态分布和二项分布，即X～N(3,4)B.E(X)<E(Y)C.D(X)>D(Y)BCCD11.已知数列{an—2n+1}是正项等比三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。13.已知平面向量a,b,c满足|a|=|b|=|c|=2,且a+2b+c=0,则a·c=的最大值为第2页(共4页)四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)为研究高中生参加课后体育锻炼与心理抗压能力提升的关联性，某教研机构随课后体育锻炼心理抗压能力合计心理抗压能力显著提升心理抗压能力未显著提升坚持参加课后体育锻炼未坚持参加课后体育锻炼合计(2)依据小概率值α=0.001的独立性检验，能否认为高中生坚持参加课后体育锻炼与心理抗压能力显著提升有关?附,其中n=a+b+c+d.α0.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87916.(15分)如图，在△ABC中，,D为AC边上的动点，∠ABD=θ,,AB=4,BC=2.第3页(共4页)17.(15分)如图，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长均为2,点D是AB的中点，平面ABB₁A₁⊥平面ABC.(2)已知点M是棱BB1的中点，求直线CM与平面B₁DC所成角的正弦值.18.(17分)已知双曲线C(a>0,b>0)的焦距为2√5,点T(2,1)在其渐近线上.(1)求双曲线C的标准方程；(2)设A为双曲线C的右顶点，过点T且斜率为-1的直线l与双曲线C交于P,Q两19.(17分)已知函数f(x)=ax—(2x-1)lnx-1(a∈R).(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)若f(x)的极大值为非负实数，求实数a的取值范围；(3)若存在a∈R,使得f(x)≤a+b对任意x>0恒成立，证明：a—b<4.第4页(共4页)1.A【解析】由题意得U=(0,1,2,3,4),则CA=(3,4).因为B={2,4},所以(CuA)∩B={4).故选A.2.D【解析】由题易知，复数z=2-i在复平面内对应的点为(2,-1),在第四象限.故选D.所以.故选A.4.B【解析】设圆锥的底面半径为r,高为h,则母线长为1=√r²+h².因为圆锥的体积是9√3π,其侧面积是底面积的2倍，所以故选B.则f(x)=(x—2)g(x),所以f'(x)=g(x)+(x-2)g'(x),所以f'(2)=g(2)=1×3×5=15.故选B.6.C【解析】甲、乙两位工程师从4个不同的载荷中各选2种，共有CiCỉ=36(种)选法.若恰有1种载荷相同，则共有C|C'C!=24(种)选法，所以甲、乙选取的载荷恰有1种相同的概率为.故选C.7.C【解析】由斐波那契数列的定义及递推公式，得a₁+a₃+as+a7+a,+…+a2027=a₂+a₃+as+a;+a,+…+a2027=a:+as+a;+…+a2027=a₅+a₇+…+a2027=…=a202B=a上，所以k=2028.故选C.8.A【解析】因为AB=2,BC=4,所以,解得AC=2√3,所以AC²+AB²=BC²,因,所以△ABC外接圆的圆心O,位于线段BC的中点，且半径r₁=2.同理，△A₁B₁C,外接圆的圆心O₂位于线段B₁C₁的中点，半径r₂=2.所以直三棱柱ABC-A₁B₁C₁外接球的球心O位于线段O:O₂的中点.因为外接球球O的表面积为32π,设外接球的半径为r,所以4πr²=32π,解得r=2√2(负值已舍去),所以O₁0=O₂0=√OC²-O₁C²=√(2√2)²-2²=2,所以AA₁=0,O₂=4.以{AB.AC,AA₁)作为空间的一个基底，分别记作a,b,c,得A₁B=AB-AA=a—c,B₁C=B₁B+BC=B₁B+AC-AB=-AB+AČ-AA=-a+.故选A.因为E(X)=μ=3,,所以E(X)>E(Y),故B错误；,所以D(X)>D(Y),故C正确；数学答案第1页(共5页)全能王因为|PF₁I的最小值为a—c=4,所以8—c=4.解得c=4,所以b²=a²—c²=64-16=48.所以椭圆C的标准方程可能.故选AC.6+1=9,则b₃=b₁q²=q²=9,解得q=3(负值已舍去),所以b„=3”-¹,所以a。=3"⁻¹+2n-1,所以as=3¹+2×5-1=90,故A错误.S,=3°+1+3¹+3+…+3”-¹+2n-1=3°+3¹+…+3”-¹+1+3+…+2n-1,故B正确.an+1一a,=3”+2(n+1)-1—(3"-1+2n-1)=2×3"-1+2,故C正确.因为,所以令f(x)=3'-¹-13.4【解析】因为a+2b+c=0,所以2又因为|a|=|b|=|c|=2,所以4+4+2a·c=16,解得a·c=4.………………4分数学答案第2页(共5页)S扫描全能王它人眼集的集(2)零假设为H₀:高中生坚持参加课后体育锻炼与心理抗压能力显著提升无关.……………7分所以依据小概率值a=0.001的独立性检验，我们推断假设H。不成立，即认为高中生坚持参加课后体育锻炼与心理抗压能力显著提升有关，该推断犯错误的概率不超过0.001.……………………13分所以.……………………6分(2)由题意，……………8分……………12分,,的取值范围为(1,4).……………………15分所以AB⊥CD.……………………2分又因为平面ABB₁A⊥平面ABC,平面ABB,A₁∩平面ABC=AB,CDC平面ABC,所以CD⊥平面ABB₁A₁.………………………5分又因为B₁DC平面ABB₁A₁,所以CD⊥B₁D.…………………6分(2)解：以D为坐标原点，DC,DB所在的直线分别为x轴、y轴，过点D且垂直于平面ABC的直线为≈轴，建立如图所示的空间直角坐标系，数学答案第3页(共5页)A则D(0,0,0),B₁(0,1.2),C(√3,0,0),M(0.1,1),所以DB=(0.1.2),DC=(√3.0.0).CM=(一√3.1.1).……………………9分设平面B₁DC的法向量为n=(x,y,z),令y=2,则x=0,z=-1,所以设直线CM与平面B₁DC所成的角为θ,所以直线CM与平面B₁DC所成角的正弦值为.……………15分18.解：(1)因为双曲线C的焦距为2√5,所以c=√5.……………1分由题意，得点T(2.1)在双曲线C的渐近线bx-ay=0上，所以2b-a=0.①………………3分联立①②,解得a=2.b=1.所以双曲线C的标准方程………………………7分(2)由已知得A(2.0).又T(2.1),所以直线I的方程为y=—(.z—2)+1=-x+3.………9分由点到直线的距离公式，得点A到直线l的距离……………10分设P(x₁,y₁).Q(x₂·y₂),则x₁+x₂=8, ,……15分 所以所以△APQ的面积……………………17分数学答案第4页(共5页)则f(1)=1-1=0…………………3分所以f'(1)=0.所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=0.……………………4分(2)解：由题意得,定义域为(0,十∞).…………5分所以n(x)在区间(0,+∞)上单调递减，即f'(x)在区间(0,十∞)上单调递减.……………6分所以存在唯一的实数x。,满足f'(x。)=0,即a=21n,……………7分所以f(x)在x=x。处取得极大值，也是最大值，为f(x。).所以a≥1,即实数a所以f(x)m.≤a+b,即b≥f(x)mx-a,所以a-b≤2a一f(x)mx.………………