安徽省示范高中培优联盟2025-2026学年高一下学期春季联赛试题 数学试卷含答案

安徽省示范高中培优联盟2026年春季联赛（高一）数学本试卷分选择题和非选择题两部分，选择题第1至第3页，非选择题第4至第6页.全卷满分150分，考试时间120分钟.考生注意事项：1．答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致.2．答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3．答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效.4．考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交.一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.若集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【详解】易知，；所以．2.若：直线与平面有公共点，：直线与平面相交，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】B【详解】根据可知直线在平面内或直线与平面相交，故是的必要不充分条件．3.已知非零实数，满足，且，则下列说法正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【详解】易知，，故A错误，B正确；对于C，移项作差，得，因为不能判断的正负，所以不能确定的正负，所以不能判断的大小关系，故C错误；对于D，移项作差，，所以，故D错误.4.函数的单调递减区间为（）A. B. C. D.【答案】D【详解】由得，所以函数的定义域为，因为函数在上单调递增，为增函数，所以函数在区间上单调递增，因为函数在上单调递减，为增函数，所以函数在区间上单调递减，所以函数的单调递减区间为．5.已知角的终边经过点，且，则m的值为（）A.4 B.3 C. D.【答案】A【详解】由角的终边经过点，则，，整理得，，解得或（舍去），所以m的值为．6.已知等边的边长为，点P是该三角形所在平面内的动点，满足，当向量的模取最大值时，与夹角的正切值为（）A. B. C. D.【答案】B【详解】设的中点为，以为原点建系，则有，，，解得，所以点的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆，易得等边的高，所以点在圆外，要使的模取最大值，此时三点共线，由圆的图像性质易得此时，则，与的夹角为，在中，.7.在中，角所对的边分别为，满足，，则的外接圆半径为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【详解】已知，即，由正弦定理边化角得：，即，又，，，，．．，故，又，所以，由正弦定理知，故．8.已知，，满足，，则（）A. B. C. D.【答案】C【详解】对A：可变形为，令，则当时，单调递减，又，时，，故，故A错误；对D：由题可得，分别是函数，与函数和图象的交点横坐标，则两个交点分别为，，由于函数和图象关于直线对称，而且函数，图象也关于对称，所以，两点关于直线对称，故，故D错误；对B：因为，所以，则，取倒数变形得，所以，，故，故B错误；对C：因为，所以，则，又因为，故，故C正确.二、选择题（本题共3小题，第10题为选考题，请考生任选一题作答.每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.若函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.B.直线是函数图象的一条对称轴C.不等式的解集为D.当，满足，则【答案】ABD【详解】由图象知，最小正周期为，则，将代入中，得，得，，又，则，所以该函数的解析式为．对于A，，故A正确；对于B，由的对称轴为，，得，，取时，直线是函数图象的一条对称轴，故B正确；对于C，由，则，即，，解得，，所以该不等式的解集为，，故C错误；对于D，根据函数的解析式画图如下，由，满足，则，所以，故D正确．【选考人教版】10.已知复数满足，则下列结论正确的是（）A.若是的共轭复数，则B.若，则（是虚数单位）C.的最小值为1D.的最大值为3【答案】ACD【详解】对于A，，故A正确；对于B，当时，，故B错误；对于C，设复数在复平面中的点为，则表示点在以为圆心的单位圆上，表示点到的距离，故的最小值为，故C正确；对于D，由A知，则，设，则，因为，所以，则的最大值为3，故D正确．或．（当时取等号）【选考北师大版】11.从1，2，3，4，5，6中随机有放回地抽取两个数，每次抽取一个，记第一次抽到的数为，第二次抽到的数为，定义事件：“是3的整数倍”，“是偶数”，“”，“能被4整除”，则下列结论正确的是（）A. B.C.事件与事件相互独立 D.事件与事件相互不独立【答案】ACD【详解】对于A，3和6满足条件，故，答案A正确；对于B，所有可能出现的样本点有，，…，，共个，其中的有，共10个，故，答案B错误；对于C，，易得，满足事件的有共6个，故，则，答案C正确；对于D，，满足事件D的有共9个，故，，则，故答案D正确．12.已知函数，下面说法正确的是（）A.B.在区间上单调递减C.关于的方程的实根个数不可能为4个D.关于的方程的实根个数可能为6个【答案】AD【详解】，A正确，当时，，由对数型复合函数单调性可知：在区间上单调递增，B错误.画出函数的图象，如图1，设，画出其图象，如图2，，对于选项C，D，，当时，则，由的图象可知，方程的实根个数为2个；故方程的实根个数为2个；当时，则或，由的图象可知，方程的实根个数为2个；故方程的实根个数为2个；当时，由图1可知，有三个根，，当，由的图象可知，方程无解，当，由的图象可知，方程的实根个数为2个，综上可知：方程的实根个数为2个；当时，方程有四个根，，当，由的图象可知，方程有一个根，当，由的图象可知，方程无解，当，由的图象可知，方程有一个根，当，由的图象可知，方程有两个根，综上方程的实根个数为4个；当时，方程有四个根，，当时，由的图象可知，方程有两个根，当时，由的图象可知，方程无解，当时，由的图象可知，方程有两个根，当时，由的图象可知，方程有两个根，综上方程的实根个数为6个；当时，方程有两个根，，当时，由的图象可知，方程有两个根，当，由的图象可知，方程无解，当，由的图象可知，方程有两个根，综上方程的实根个数为4个；当时，方程有两个根，，当时，，由的图象可知，方程有两个根，当，由的图象可知，方程无解，综上方程的实根个数为2个.故C错误，D正确.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）13.已知正实数满足．则的最小值为________【答案】【详解】由得：，，，，，，（当且仅当时取等号）的最小值为故答案为：.14.若函数在区间上有且只有个零点，则的取值范围是_________．【答案】【详解】由ωx−π4=kπ,k∈因为在区间上有且只有个零点，故存在，使得π4故34因为，故且−1−4k<34+3k+3即故，若，则154≤ω<274若，则274≤ω<综上.15.已知正方形边长为2，点是正方形边上一动点，满足，点是正方形所在平面内一动点，满足．若，则的取值范围是_________．【答案】【详解】以点为原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，则，，，设，，，，解得，所以在边上，不妨设，，点，因为，所以有，设，则，故，，即，，因为，所以，即，结合，当时，取最大值，当时，取最小值，故．四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）16.设集合，．（1）若，求；（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的值．【答案】（1）；（2）．【小问1详解】当时，集合，分式不等式等价于：，解得：，即，因为集合，由，解得：或，即，因此：.【小问2详解】因为，则，解得：，即，则，由题意，“”是“”的必要不充分条件，即，且，则，因此：，解得：，所以17.已知函数，其中．（1）当时，求的单调递增区间；（2）若函数的最大值为①求实数的值；②将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，求图象的对称轴方程.【答案】（1），；（2）①；②，．【小问1详解】由，由，，解得，，所以的单调递增区间为，.【小问2详解】①，其中，因为函数的最大值为，所以有，解得；②由①知，所以，令，，解得，，即图象的对称轴方程为，．18.已知函数，且，，（1）当时，求关于x的不等式的解集；（2）当时，不等式在上恒成立，求m的取值范围.【答案】（1）当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为（2）当时，m的取值范围是，当时，m的取值范围是【小问1详解】当时，，下面解不等式，即，因为，所以，当时，解得；当时，解得，综上所述，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为；【小问2详解】当时，不等式可变形为，即，，所以问题转化为在区间上恒成立，令，则，则，故，令，，当时，函数在上单调递增，，则；当时，函数在上单调递增，在上单调递减，故，则；综上所述，当时，m的取值范围是；当时，m的取值范围是．【选考人教版】19.如图所示，在直角中，，，，取的中点为D，将沿翻折到的位置，使得．（1）求证：平面平面；（2）求点D到平面的距离；（3）求直线与平面所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）；【小问1详解】在直角中，，，，所以，因为为中点，所以，取AD的中点为E，连接PE，CE，由为边长为2的等边三角形得，，在中，，，，由余弦定理可得，所以，因为，所以，即，又因为，且，所以平面因为平面，所以平面平面；【小问2详解】由（1）可知，平面，则，所以，在中，，，，由余弦定理，，所以，，因为，则点D到面的距离为；【小问3详解】过点C作AD延长线的垂线，垂足为Q，连接PQ，由（1）知因为平面平面，且平面平面，，所以平面，故为直线PC与平面PAD所成角，在中，，，，在中，，，由勾股定理：，，即直线PC与面PAD所成角的余弦值为．【选考北师大版】20.甲，乙两人参加某公司的招聘考试，考试分为文化测试和体能测试，其中文化测试有3道题，要求至少答对其中的2道题才能通过，通过得1分，不通过得0分；体能测试有2道题，全部合格才能通过，通过得1分，不通过得0分；假设甲答对每道文化测试题的概率为，乙答对每道文化测试题的概率为，甲，乙两人每一道体能测试题合格的概率都是，甲乙两人各自参加完这两项测试，且回答每道题都是独立的．（1）求甲恰好答对两道文化测试题的概率（用p表示），并计算此概率取最大值时对应的p的值；（2）两项测试得分的和为该人的总分，当时，解决下列问题：①求甲总分为1分的概率；②求甲的总分高于乙的总分的概率.【答案】（1），当时，最大值为（2）①；②．【小问1详解】设答对文化测试的第题，则甲恰好答对两道文化测试题的概率为：，由基本不等式可得，，当且仅当，即时取等号，此时最大值为；【小问2详解】当时，①甲通过文化测试的概率为，则，甲乙两人通过体育测试的概率均为，则，当甲总分为1时，甲恰好通过文化测试和体育测试的一个，故甲总分为1的概率为：；②乙通过文化测试的概率为，则同理可得，设甲总分为分，，设乙总分为分，，，，，，故甲总分高于乙总分的概率为．21.我们学习过一些代数式恒等变形的方法，例如：