黑龙江省哈尔滨市风华中学校2026-2027学年九年级上学期阶段性知识反馈数学试卷（9月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年黑龙江省哈尔滨市风华中学校九年级（上）阶段性知识反馈数学试卷（9月份）一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列方程中，是一元二次方程的是（）A.3x+y=2 B.x2+x-1=0 C. D.x2+3xy=42.若x1、x2是一元二次方程x2-2x-1=0的两根，则x1+x2的值是（）A.1 B.2 C.-1 D.-23.已知锐角α满足cos（α-10°）=，则锐角α的度数是（）A.40° B.55° C.60° D.70°4.2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射.当火箭上升到点A时，位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为a千米，仰角为θ，则此时火箭距海平面的高度AL为（）​

A.asinθ千米 B.千米 C.acosθ千米 D.千米5.阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球.”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物.这一原理在生活中随处可见.如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头.如图乙所示，动力臂OA=150cm,阻力臂OB=50cm,BD=20cm,则AC的长度是（）

A.80cm B.60cm C.50cm D.45cm6.关于x的一元二次方程kx2-4x+5=0有实数根，则k的取值范围是（）A.k≤且k≠0 B.k≥-且k≠0 C.k≤ D.k＜且k≠07.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=-2x+1与y轴交于点A，与x轴交于点B，则tan∠ABO的值为（）A.

B.

C.

D.2

8.如图，在△ABC中，若点D、E分别是AB、AC的中点，S△ADE=1，则S△ABC=（）A.2

B.3

C.4

D.69.某文具店七月份销售碳素笔100支，八、九两个月的销售量连续增长，九月份的销售量达到360支，设月平均增长率为x,则可列方程为（）A.100（1+x）=360 B.100（1+2x）=360

C.100（1+x2）=360 D.100（1+x）2=36010.如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD相交于点F，则下列结论一定正确的是（）A.

B.

C.

D.二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。11.若x=4是关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的一个根，则m的值是

.12.如图，点D是AB边上一点，连接CD，补充一个条件

，可使△ACD∽△ABC.13.Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=，则cosA=

．14.如图，利用与水平地面垂直的标杆DE测量旗杆的高度，标杆DE=1.5米，测得AE=2米，BE=14米，则旗杆BC的高度是

米.

15.定义新运算，对于任意实数m、n满足mΔn=m（m-n）+2n.若xΔ4=8，当x＞0时，则x的值是

.16.已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2-6x+8=0的两根，则该三角形的周长为

．17.如图，在边长为9的等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE，BD=3，∠ADE=60°，则CE的长为

.

18.如图，在△ABC中，点D是AC的中点，点E在AB边上且BE=2AE，BD交CE于点F，则的值是

.

19.在△ABC中，AB=15，AC=13，tan∠ABC=，则BC边的长是

.20.如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，BE=3CE，点F是CD的中点，连接AE、EF、AF，下列结论：①△ADF∽△FCE；②tan∠EAF=；③若AG是△ABE的角平分线，连接FG，AD=6，则BG=2；④若AG是△ABE的中线，CE=4，点P是AF上的一动点，则PG+PE的最小值是2.其中正确的序号有

.

三、计算题：本大题共3小题，共26分。21.(1)解方程：x2+6x+4=0(2)解方程：x（x-2）+x-2=022.计算：(1)sin230°+cos260°+tan60°•tan30°(2)

23.某服装店销售一款T恤，每件进价40元，当售价为每件60元时，每天可卖出20件．市场调查反映：每件T恤每降价1元，每天可多卖出2件(1)若每件T恤降价5元，每天销售该T恤获得的利润为

元(2)设每件T恤降价x元，则每天的销售量为

件（请用含x的代数式表示）(3)在（2）的条件下，如果店家想要每天获得利润448元，还想尽快减少库存，那么每件T恤应降价多少元？四、解答题：本题共4小题，共34分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。24.(本小题7分)

如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，AB的两个端点均在格点上，仅用无刻度的直尺按要求画图(1)画出△ABC（点C在格点上），满足△ABC是以AC为腰的等腰三角形，且△ABC的面积是10(2)作出△ABC的高AD（保留作图痕迹，体现作图过程），并直接写出sin∠DAB的值25.(本小题7分)

已知，△ABC中，点D在BC上，连接AD，∠BAD=∠C(1)如图1，求证：AB2=BD•BC(2)如图2，若∠B=90°，BD=2，CD=6，E为线段AC上一点（不与A、C重合），连接DE，若DE的长为正整数，请直接写出DE的长．

26.(本小题10分)

如图，在△ABC中，AB=AC，点E为AC上一点，连接BE，∠BAC=2∠EBC．

(1)如图1，求证：BE⊥AC(2)如图2，AD⊥BC，垂足为点D，AD交BE于点H，ET⊥AD，垂足为点T，点K为AH的中点，连接KE，DE，求证：DE2=DT•DK(3)如图3，在（2）的条件下，连接BK，过点B作BK的垂线交AD的延长线于点G，BG=3，点S为CD上一点，连接AS，AS交BE于点N，BD=3DS，tan∠C=2，求NS的长27.(本小题10分)

已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线AB交x轴于点A（-3，0），交y轴于点B（0，-6）．

(1)求直线AB的解析式(2)如图1，点C在BA延长线上，其横坐标为t,作CD⊥x轴于点D，点E（-8，0），设△ACE的面积为S，求S与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）(3)如图2，在（2）的条件下，∠BCE=45°，连接EB，延长EB至点F，延长AB至点H，连接HF并延长交x轴于点G，∠AGH+2∠H=180°，FH=AE，点K为第二象限内一点，连接CK，GK，OK，∠CKO=∠GKO=45°，求点K坐标

1.【答案】B

2.【答案】B

3.【答案】B

4.【答案】A

5.【答案】B

6.【答案】A

7.【答案】D

8.【答案】C

9.【答案】D

10.【答案】A

11.【答案】-4

12.【答案】AC2=AD•AB

13.【答案】

14.【答案】12

15.【答案】4

16.【答案】10

17.【答案】2

18.【答案】

19.【答案】4或14

20.【答案】①②③④

21.【答案】【小题1】x2+6x+4=0，

x2+6x+9=-4+9，

（x+3）2=5，

则x+3=，

所以【小题2】x（x-2）+x-2=0，

（x-2）（x+1）=0，

则x-2=0或x+1=0，

所以x1=2，x2=-1

22.【答案】【小题1】sin230°+cos260°+tan60°•tan30°

=（）2+（）2+×

=++1

=【小题2】

=-×

=-

=0

23.【答案】【小题1】450【小题2】（20+2x）【小题3】根据题意得：（60-x-40）（20+2x）=448，

整理得：x2-10x+24=0，

解得：x1=4，x2=6，

∵要尽量减少库存，

∴x=6．

答：每件T恤应降价6元

24.【答案】【小题1】如图，△ABC即为所求；

【小题2】∵AD⊥BC，AB=5，BD=，

∴sin∠DAB==

25.【答案】【小题1】证明：∵∠B=∠B，∠BAD=∠C，

∴△BAD∽△BCA，

∴AB：BC=BD：AB，

∴AB2=BD•BC【小题2】∵AB2=BD•BC，

∴AB==4，

∴AC==4，

当DE⊥AC时，

∵∠DCE=∠ACB，

∴Rt△CDE∽Rt△CAB，

∴DE：AB=CD：CA，

即DE：4=6：4，

解得DE=，

∵E为线段AC上一点（不与A、C重合），

∴＜DE＜6，

∴而DE的长为正整数，

∴DE的长可为3，4，5

26.【答案】【小题1】证明：可设∠EBC=α，

∵∠BAC=2∠EBC，

∴∠BAC=2α

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C=90°-α，

∴∠EBC+∠C=α+90°-α=90°，

∴∠BEC=90°，

∴BE⊥AC【小题2】证明：如图，

∵在Rt△AEH中，K为AH的中点，

∴AK=KE，

∴∠KAE=∠AEK=β，

∵在Rt△BEC中，D为BC的中点，

∴DE=DC，

∴∠DEC=∠C=90°-β，

∴∠KED=90°，

∵ET⊥KD，

∴∠DTE=∠DEK=90°，

∵∠EDT=∠KDE，

∴△DET∽△DKE，

∴，

∴DE2=DT•DK【小题3】解：∵KB⊥BG，AD⊥BC，

∴∠KBG=∠BDG=90°，

∴∠G=∠DBK=90°-∠DBG，

∵∠BDG=∠BDK=90°，

∴△BDG∽△KDB，

∴，

∴BD2=DG•DK，

∵AB=AC，AD⊥BC，

∴BD=CD，即D为BC中点，

又∵∠BEC=90°，

∴DE=BD=BC，

由（2）知DE2=DT•DK，

∴DT•DK=DG•DK，

∴DT=DG，

如图，过E作EF⊥BC于点F，

在Rt△ECF中，tanC==2，

设CF=6a,则EF=12a,

∵∠BEF=∠C=90°-∠CEF，∠BFE=∠EFC，

∴△BEF∽△ECF，

∴，

∴EF2=BF•CF，

∴BF===24a,

∴BC=BF+CF=30a,

∴BD=CD=15a,

∵BD=3DS，

∴DS=BD=5a,

∵∠BHD=∠C=90°-∠CBE，

∴tan∠BHD==2，

∴DH=a,

在Rt△ACD中，tanC==2，

∴AD=2CD=30a,

∴AH=AD-DH=a,

∵∠ETD=∠TDF=∠DFE=90°，

∴四边形DFET是矩形，

∴DT=EF=12a,

∴DG=DT=12a,

在Rt△BDG中，BD2+DG2=BG2，且BG=3，

∴，

解得a1=-1（舍），a2=1，

∴DS=5，AD=30，

∴AS==5，

过S作SM⊥BC交BE于点M，则∠BMS=∠C=90°-∠EBC，

∴tan∠BMS==2，

∵BD=15，DS=5，

∴BS=20，

∴BM=BS=10，

∵SM⊥BC，AD⊥BC，

∴SM∥AD，

∴==，

∴NS=AS=

27.【答案】【小题1】设直线AB解析式为y=kx+b,

将点A（-3，0），B（0，-6）代入得，

，

解得，

∴直线AB解析式为y=-2x-6【小题2】∵点C在BA延长线上，其横坐标为t,

∴C（t,-2t-6），且t＜-3，

∴-2t-6＞0，

∴CD=-2t-6，

∵E（-8，0），A（-3，0），

∴AE=5，

∴S=AE•CD=×5×（-2t-6）=-5t-15【小题3】∵OA=3，OB=6，

∴tan∠AOB==2，

∴tan∠CAD=tan∠AOB=2，

过E作EL⊥AC于点L，

∴tan=2，

∵AE=5，

∴，EL=2，

∵∠BCE=45°，

∴CL=EL=2，

∴AC=AL+CL=3，

∵tan∠CAD==2，

∴CD=6，AD=3，

∴OD=6，

∴C（-6，6），

设∠AHG=2α，

∵∠AGH+2∠H=180°，∠AGH+∠H+∠GAH=180°，

∴∠H=90°-α=∠GAH，

∵∠AOB=90°，

∴∠ABO=α，

在Rt△OBE中，OE=8，OB=6，

∴tan∠OBE==，

在Rt△AOB中，OA=3，OB=6，

∴tan∠OBA==，

过A作AM⊥BE于点M，

在Rt△AME中，tan∠AEM==，AE=5，

∴AM=3=AO，

∴BA平分∠OBE，即∠ABE=∠ABO=α，

∴∠FBH=α，

∵∠H=90°-α，

∴∠BFH=90°，

过F作FS∥x轴交CH于点S，

∴∠FSH=∠GAH=∠H，

∴FS=FH=AE，

∵∠AEB=∠BFS，∠ABE=∠FBS，

∴△ABE≌△SBF（AAS），

∵BF==10，

∴BF=BE=10，

∴EF=BE+BF=20，

在Rt△EFG中，cos∠FEG===，

∴EG=EF=25，

∴OG=EG-OE=17，即G（17，0），

连接OC，过O作OT⊥OC交KG于点T，连接CT，再过O分别作CK、GK的垂线，垂足分别为W、X，

∵∠CKO=∠GKO=45°，

∴OK平分∠CKG，∠CKG=90°

∴OW=OX，

∵∠CKG+∠COT=180°，

∴∠KCO+∠KTO=180°，

∵∠KCO+∠WCO=180°，

∴∠WCO=∠XTO，

∵∠OWC=∠OXT=90°，

∴△OWC≌△OXT，（AAS），

∴OC=OT，即△COT为等腰直角三角形，

∴∠OCT=45°，

∵C（-6，6），