上海实验2025-2026学年高二下学期数学期末试卷（2026.6）（含答案）

上海实验2025-2026学年第二学期高二年级数学期末2026.6一、填空题：（本大题满分54分）本大题共有12题．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．1．设全集，，则__________．2．不等式的解集为__________．3．的展开式中的系数为__________．4．已知，则的最小值为__________．5．已知，则__________．6．从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为__________．7．已知，则__________．8．一个总体分为A、B两层，其个体数之比为4∶1，用分层抽样方法从总体中的抽取一个容量为10的样本，已知B层中甲、乙都被抽到的概率为，则总体中的个体数是__________．9．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则__________．10．设集合，S的子集A满足，，这样的子集A的个数为__________．11．设27元集合，、、分别为空间直角坐标系x轴、y轴、z轴正方向的单位向量．是A中所有元素的一个排列，满足，这样的排列的个数为__________．（结果用数字作答）12．设随机变量，（其中，表示a、b中的较大者）．已知的均值，则Y的方差__________．二、（本大题满分18分）本大题共4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分．13．已知四组不同数据的两个变量的线性相关系数r如下：数据组①的相关系数；数据组②的相关系数；数据组③的相关系数；数据组④的相关系数．则下列说法正确的是（）．A．数据组①对应的数据点都在同一直线上B．数据组②中的两个变量线性相关性最强C．数据组③中的两个变量线性相关性最强D．数据组④中的两个变量线性相关性最强14．已知，则“”是“事件A与事件B互相独立”的（）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件15．已知且，对任意均有，则（）．A．， B．，C．， D．，16．已知定义在R上的函数的导函数为，有以下两个结论：①对任意实数x，均存在实数a，b，满足且；②若在R上为严格增函数，且不等式的解集为，则函数在R上为增函数．则下列说法正确的是（）．A．①正确，②正确 B．①不正确，②正确C．①正确，②不正确 D．①不正确，②不正确三、解答题：（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的相应编号规定区域内写出必要的步骤．17．（本满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．上海市实验学校进行一次校内常规体检后，该校的数学建模活动小组学生随机抽取了10名学生体重数据（单位：kg）：55，58，62，74，88，68，54，52，56，86．（1）求该组数据的极差和第25百分位数；（2）依据体检数据，求得这10名学生体重y（单位：kg）关于身高x（单位：cm）的回归方程为，已知这10名学生身高（单位：cm）的平均数为176.3，求b的值．（精确到0.1）18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．如图，在三棱柱中，，D为AB的中点，，．（1）求证：平面；（2）若平面ABC，点P在棱上，且平面，求直线CP与平面所成角的正弦值．19．（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分．设函数．（1）设，，，求的极值；（2）设n为偶数，，，求的最小值和最大值；（3）设，若对任意，，有，求b的取值范围．20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．在上海市实验学校举办的体育节乒乓球活动中，甲、乙两人比赛，比赛规则为：共进行奇数局比赛，全部比完后，所赢局数多者获胜．假设每局比赛甲赢的概率都是，各局比赛之间的结果互不影响，且没有平局．（1）时，若两人共进行5局比赛，设两人所赢局数之差的绝对值为X，求的概率；（2）时，若两人共进行局比赛，记事件表示“在前局比赛中甲赢了局”．事件B表示“甲最终获胜”．请写出，，，的值（直接写出结果即可）；（3）若两人共进行了局比赛，甲获胜的概率记为．当时，试判断与的大小，并说明理由．21．（本题满分18分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分14分．对于函数，若实数满足，则称为的不动点．已知，且的不动点的集合为A，以和分别表示集合M中的最小元素和最大元素．（1）若，求A的元素个数及；（2）当A恰有一个元素时，a的取值集合记为B．（ⅰ）求集合B；（ⅱ）若，数列满足，．求证；对任意，．

参考答案一、填空题1.;2.;3.;4.;5.;6.;7.;8.;9.;10.；11.12.二、选择题13.B14.C15.C16.B15．已知且，对任意均有，则（）．A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】因为所以与的符号相同，

当时，当时，所以与的符号相同，

所以

令，所以当时，恒成立，

令，可得，因为，分以下四种情况讨论：

对于A：当时，则，当时，，不符合题意，故错误，

对于：当时，则，若，则均为正数，

①若，则，当时，，不合题意，

②若，则，当时，，不合题意，

③若都不相等，记，则时，，不合题意，

由上可知，，当时，若使得恒成立，则，如下图所示：

所以当时，且时，当时，恒成立，

对于：当时，则，

①若时，则当时，，不合乎题意，

②当时，构造函数，其中，

函数在上单调递增，则,所以，当时，由于，则，不合题意，故错误，

对于：当时，则，此时，为正数，

①当都不相等，记，当时，，不合题意，

②若，则，当时，，不合题意，

③当时，，当时，，不合题意，故错误，故选：．三、解答题17.（1）极差，第25百分位数（2）18.（1）证明略（2）19.（1）极小值为，无极大值（2）最小值为，最大值为（3）20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．在上海市实验学校举办的体育节乒乓球活动中，甲、乙两人比赛，比赛规则为：共进行奇数局比赛，全部比完后，所赢局数多者获胜．假设每局比赛甲赢的概率都是，各局比赛之间的结果互不影响，且没有平局．（1）时，若两人共进行5局比赛，设两人所赢局数之差的绝对值为X，求的概率；（2）时，若两人共进行局比赛，记事件表示“在前局比赛中甲赢了局”．事件B表示“甲最终获胜”．请写出，，，的值（直接写出结果即可）；（3）若两人共进行了局比赛，甲获胜的概率记为．当时，试判断与的大小，并说明理由．【答案】（1）（2）见解析（3）理由见解析【解析】（1）

（2），，，（3）证明：即21．（本题满分18分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分14分．对于函数，若实数满足，则称为的不动点．已知，且的不动点的集合为A，以和分别表示集合M中的最小元素和最大元素．（1）若，求A的元素个数及；（2）当A恰有一个元素时，a的取值集合记为B．（ⅰ）求集合B；（ⅱ）若，数列满足，．求证；对任意，．【答案】（1）的元素个数为2，（2）（ⅰ）（ⅱ）证明略【解析】（1）当时，，其定义域为．

由得．设，则．

当时，；当时，．

所以在上单调递增，在上单调递减．

注意到，所以在上恰有一个零点，点．又，所以，所以在上恰有一个零点，

即在上恰有一个不动点，在上恰有一个不动点，

所以，所以的元素个数为2．又因为，所以．

（2）【方法一】（i）当时，由（1）知，有两个元素，不符合题意．

当时，，其定义域为，

由得．