初二数学-第04讲-二元一次方程组（提高）-教案

学科教师辅导讲义学员编号：年级：八年级(上)课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第04讲-二元一次方程组授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标掌握二元一次方程组的相关概念；掌握二元一次方程组及三元一次方程组的解法；能利用二元一次方程组解决实际问题；掌握二元一次方程组与一次函数的关系。授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂体系搭建体系搭建知识梳理1、二元一次方程（1）定义：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。（2）二元一次方程的解：适合一个二元一次方程的一组未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解。（3）一个二元一次方程有无数组解。二元一次方程组（1）定义：共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程叫做二元一次方程组。（2）二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。3、二元一次方程组的解法（1）代入消元法：将方程组中的一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程。这种解法称为代入消元法，简称代入法。（2）加减消元法：通过将两个方程相加（减）消去其中一个未知数，将方程组转化为一元一次方程来解，这种解法叫做加减消元法，简称加减法。三元一次方程组（1）三元一次方程：含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1。（2）三元一次方程组：共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程组。（3）三元一次方程组的解：三元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个三元一次方程组的解。（4）解法：通过代入法、加减法，把三元化为二元，使解三元一次方程组化为二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程。列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：审、设、列、解、验、答。常见的列方程解决实际问题的类型题：（1）鸡兔同笼问题；（2）增收节支问题；（3）数字与行程问题。7、二元一次方程与一次函数（1）一个二元一次方程可化为一次函数；（2）用二元一次方程组确定一次函数的表达式；（3）两个一次函数的交点问题与二元一次方程组的解的问题的转化。考点一：二元一次方程的概念例1、已知关于x，y的方程x2m﹣n﹣2+4ym+n+1=6是二元一次方程，则m，n的值为（）A．m=1，n=﹣1 B．m=﹣1，n=1C． D．【解析】∵方程x2m﹣n﹣2+4ym+n+1=6是二元一次方程，∴，解得：，故选A例2、小亮解方程组的解为，由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，则两个数●与★的值为（）A． B． C． D．【解析】∵方程组的解为，∴将x=5代入2x﹣y=12，得y=﹣2，将x=5，y=﹣2代入2x+y得，2x+y=2×5+（﹣2）=8，∴●=8，★=﹣2，故选D．例3、解方程组时，正确的解是，由于看错了系数c得到的解是，则a+b+c的值是（）A．5 B．6 C．7 D．无法确定【解析】∵方程组时，正确的解是，由于看错了系数c得到的解是，∴把与代入ax+by=2中得：，①+②得：a=4，把a=4代入①得：b=5，把代入cx﹣7y=8中得：3c+14=8，解得：c=﹣2，则a+b+c=4+5﹣2=7；故选C．考点二：二元一次方程组的解法例1、若方程组的解中x与y的值相等，则k为（）A．4 B．3 C．2 D．1【解析】由题意得：x=y，∴4x+3x=14，∴x=2，y=2，把它代入方程kx+（k﹣1）y=6得2k+2（k﹣1）=6，解得k=2．故选C．例2、已知，则=．【解析】，①×7﹣②×6得：2x﹣3y=0，解得：x=y，①×2+②×3得：11x﹣33z=0解得：x=3z，∵x=y，x=3z，∴y=2z，∴===．故答案为：．例3、解方程组（1）；（2）；（3）；（4）．【解析】（1），把①代入②，得：8﹣y+5y=16，解得y=2，把y=2代入①，得：3x=8﹣2=6，解得y=2，则原方程组的解是：；（2），由①+②，得2x﹣y=4④，由②+③，得3x﹣3y=3即x﹣y=1⑤，由④⑤联立，得方程组，解之得，把x=3，y=2代入①，得z=﹣4，所以原方程组的解是：．（3），①×2得，6x﹣2y=﹣8③，③﹣②得，5x=﹣5，解得x=﹣1，把x=﹣1代入②得y=1，∴方程组的解为；（4），①+②得3x+3y=15④，①+③，4x+6y=24⑤，由⑤得2x+3y=12⑥，④﹣⑥得，x=3，把x=3代入⑥，得y=2，把x=3，y=2代入①得，z=1，∴方程组的解为考点三：二元一次方程与一次函数例1、如图，在平面直角坐标系xOy中，如果一个点的坐标可以用来表示关于x、y的二元一次方程组的解，那么这个点是（）A．M B．N C．E D．F【解析】两直线都过定点E，所以点E表示关于x、y的二元一次方程组的解，故选C例2、若方程组没有解，则一次函数y=2﹣x与y=﹣x的图象必定（）A．重合 B．平行 C．相交 D．无法确定【解析】∵方程组没有解，∴一次函数y=2﹣x与y=﹣x的图象没有交点，∴一次函数y=2﹣x与y=﹣x的图象必定平行．故选：B．例3、如图，已知直线l1：y=3x+1与y轴交于点A，且和直线l2：y=mx+n交于点P（﹣2，a），根据以上信息解答下列问题：（1）求a的值，判断直线l3：y=﹣nx﹣2m是否也经过点P？请说明理由；（2）不解关于x，y的方程组，请你直接写出它的解；（3）若直线l1，l2表示的两个一次函数都大于0，此时恰好x＞3，求直线l2的函数解析式．【解析】（1）∵（﹣2，a）在直线y=3x+1上，∴当x=﹣2时，a=﹣5直线y=﹣nx﹣2m也经过点P，∵点P（﹣2，﹣5）在直线y=mx+n上，∴﹣2m+n=﹣5，∴将P点横坐标﹣2代入y=﹣nx﹣2m，得y=﹣n×（﹣2）﹣2m=﹣2m+n=﹣5，这说明直线l3也经过点P．（2）解为．（3）∵直线l1，l2表示的两个一次函数都大于0，此时恰好x＞3，∴直线l2过点（3，0），又直线l2过点P（﹣2，﹣5），∴，解得∴直线l2的函数解析式为y=x﹣3．考点四：二元一次方程组的实际应用例1、植树节这天有20名同学共种了52棵树苗，其中男生每人种树3棵，女生每人种树2棵．设男生有x人，女生有y人，根据题意，可列方程组．【解析】设男生有x人，女生有y人，根据题意可得：，故答案为：例2、有一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和为6，把个位上的数字与十位上的数字调换位置后，得到新的两位数比原数大18，原来的两位数是24．【解析】设原来两位数的十位为x，个位为y，由题意得，，解得：，即原来的两位数为24．故答案为：24．例3、若直线y=kx+b与直线y=mx﹣n的交点是（2，1），则方程解为．【解析】因为直线y=kx+b与直线y=mx﹣n的交点是（2，1），所以方程，解为．故答案为．例4、某商场计划用50000元从厂家购进60台新型电子产品，已知该厂家生产三种不同型号的电子产品，设甲、乙型设备应各买入x，y台，其中每台的价格、销售获利如下表：甲型乙型丙型价格（元/台）900700400销售获利（元/台）20016090（1）购买丙型设备60﹣x﹣y台（用含x，y的代数式表示）；（2）若商场同时购进三种不同型号的电子产品（每种型号至少有一台），恰好用了50000元，则商场有哪几种购进方案？（3）在第（2）题的基础上，则应选择哪种购进方案，为使销售时获利最大？并求出这个最大值．【解析】（1）购买丙型设备的台数为60﹣x﹣y．故答案为60﹣x﹣y．（2）由题意得，900x+700y+400（60﹣x﹣y）=50000化简整理得：5x+3y=260∴x=52﹣y，当y=5时，x=49，60﹣x﹣y=6；当y=10时，x=46，60﹣x﹣y=4；当y=15时，x=43，60﹣x﹣y=2．∴购进方案有三种，分别为：方案一：甲型49台，乙型5台，丙型6台；方案二：甲型46台，乙型10台，丙型4台；方案三：甲型43台，乙型15台，丙型2台．（3）方案一的利润为49×200+160×5+6×90=11140元，方案二的利润46×200+160×10+4×90=11160元方案三的利润43×200+160×15+2×90=11180元所以方案三获利最大，为11180元，即甲型43台，乙型15台，丙型2台．P(Practice-Oriented)——实战演练实战演练实战演练课堂狙击1、若方程x|a|﹣1+（a﹣2）y=3是二元一次方程，则a的取值范围是（）A．a＞2 B．a=2 C．a=﹣2 D．a＜﹣2【解析】根据二元一次方程的定义，得|a|﹣1=1且a﹣2≠0，解得a=﹣2．故选C．2、小明解方程组的解为，不小心滴了两滴墨水，遮住两个数●和★，这两数为（）A．26和8 B．﹣26和8 C．8和﹣26 D．﹣26和5【解析】当x=6时，3×6﹣y=10，∴18﹣y=10，解得y=8．∵x=6，y=8，∴●=3×6+8=18+8=26，∴●等于26，★等于8．故选：A．3、关于x，y的方程组的解是方程3x+2y=10的解，那么a的值为（）A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1【解析】（1）﹣（2）得：6y=﹣3a，∴y=﹣，代入（1）得：x=2a，把y=﹣，x=2a代入方程3x+2y=10，得：6a﹣a=10，即a=2．故选B．4、已知直线y=2x与y=﹣x+b的交点为（﹣1，a），则方程组的解为（）A． B． C． D．【解析】把（﹣1，a）代入y=2x得a=﹣2，则直线y=2x与y=﹣x+b的交点为（﹣1，﹣2），则方程组的解为．故选D．5、直线l1：y=x﹣4与直线l2：y=﹣x+3相交于点（3，﹣1），则方程组的解是（）A． B． C． D．【解析】因为直线l1：y=x﹣4与直线l2：y=﹣x+3相交于点（3，﹣1），方程组的解是，故选A6、若方程组的解满足方程x+y+a=0，则a的值为5【解析】，①代入②，得：2（y+5）﹣y=5，解得y=﹣5，将y=﹣5代入①得，x=0；故x+y=﹣5，代入方程x+y+a=0中，得：﹣5+a=0，即a=5．故a的值为5．7、如图，一次函数y=kx1+b1的图象l1与y=kx2+b2的图象l2相交于点P，则方程组的解是．【解析】由图可知，方程组的解是．故答案为：．8、一个两位数，它的个位数字是十位数字的2倍，且十位数字与个位数字和的4倍，等于这个两位数，这个两位数是12，24，36，48．【解析】设个位数字为x，十位数字为y，由题意得：，当x=2时，y=1，当x=4时，y=2，当x=6时，y=3，当x=8时，y=4，故答案为：12，24，36，48．9、解方程组：（1）；（2）．【解析】（1），①×2﹣②得﹣2y+5y=﹣8+23，解得y=5，把y=5代入①得2x﹣5=﹣4，解得x=，所以方程组的解为；（2），①+②得4x+y=16④，①﹣③得2x﹣2y=﹣2，即x﹣y=﹣1⑤，④+⑤得5x=15，解得x=3，把x=3代入⑤得3﹣y=﹣1，解得y=4，把x=3，y=4代入③得3+4+z=12，解得z=5，所以方程组的解为．10、在直角坐标系中，直线L1的解析式为y=2x﹣1，直线L2过原点且L2与直线L1交于点P（﹣2，a）．（1）试求a的值；（2）试问点（﹣2，a）可以看作是怎样的二元一次方程组所求得的？（结合题意给出解答）（3）设直线L1与x轴交于点A，你能求出△APO的面积吗？试试看．【解析】（1）把P（﹣2，a）代入y=2x﹣1得a=2×（﹣2）﹣1=﹣5，（2）设L2的解析式为y=kx，把P（﹣2，﹣5）代入得﹣5=﹣2k，解得k=，所以L2的解析式为y=x，所以点（﹣2，﹣5）可以看作是解二元一次方程组所得；（3）对于y=2x﹣1，令y=0得2x﹣1=0，解得x=，则A点坐标为（，0）所以S△APO=×|﹣5|×=．11、某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，准备一次运完，且恰好每辆车都载满货物．已知：每辆A型车载满货物一次可运货3吨，每辆B型车载满货物一次可运货4吨．（1）请你帮该物流公司设计租车方案；（2）若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．【解答】解（1）依题意得：3a+4b=31，因为a、b都是整数，所以或或．答：有3种租车方案：方案一：A型车9辆，B型车1辆；方案二：A型车5辆，B型车4辆；方案三：A型车1辆，B型车7辆．（2）∵A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次，∴方案一需租金：9×100+1×120=1020（元）；方案二需租金：5×100+4×120=980（元）方案三需租金：1×100+7×120=940（元）∵1020＞980＞940∴最省钱的租车方案是方案三：A型车1辆，B型车7辆，最少租车费为940元．课后反击1、已知mx﹣2y=x+5是二元一次方程，则m的取值范围为（）A．m≠O B．m≠﹣1 C．m≠1 D．m≠2【解析】由mx﹣2y=x+5，得（m﹣1）x﹣2y﹣5=0，∵mx﹣2y=x+5是二元一次方程，∴m﹣1≠0，解得m≠1．故选：C．2、方程■x﹣2y=x+5是二元一次方程，■是被弄污的x的系数，请你推断■的值属于下列情况中的（）A．不可能是﹣1 B．不可能是﹣2 C．不可能是1 D．不可能是2【解析】方程可化为（■﹣1）x﹣2y=5，根据题意，得■﹣1≠0，则■的值一定不可能是1．故选C．3、有甲，乙，丙三种商品，如果购甲3件，乙2件，丙1件共需315元钱，购甲1件，乙2件，丙3件共需285元钱，那么购甲，乙，丙三种商品各一件共需（）A．50 B．100 C．150 D．200【解析】设购甲，乙，丙三种商品各一件需要x元、y元、z元．根据题意，得，两方程相加，得4x+4y+4z=600，x+y+z=150．则购甲，乙，丙三种商品各一件共需150元．4、已知直线l1：y=﹣3x+b与直线l2：y=﹣kx+1在同一坐标系中的图象交于点（1，﹣2），那么方程组的解是（）A． B．C． D．【解析】∵直线l1：y=﹣3x+b与直线l2：y=﹣kx+1在同一坐标系中的图象交于点（1，﹣2），∴方程组的解为，故选：A．5、已知关于x，y的方程组的解满足2x﹣3y=9，则m=．【解析】由题意得，解得，代入方程2x﹣3y=9，解得m=．故答案为：．6、已知方程组的解为，则一次函数y=﹣x+1和y=2x﹣2的图象的交点坐标为（1，0）．【解析】∵方程组的解为，∴y=﹣x+1和y=2x﹣2的图象交点为（1，0）答案：（1，0）．7、植树节这天有20名同学共种了52棵树苗，其中男生每人种树苗3棵，女生每人种树苗2棵，则男同学的人数为12人．【解析】设男生有x人，女生有y人，根据题意得：，解得：，故答案为：12．8、一个两位数的十位上的数与个位上的数的和是5，如果这个两位数减去27，则恰好等于十位上的数与个位上的数对调后组成的两位数，则这个两位数是41．【解析】设这个两位数的十位上的数字为x，个位上的数字为y，由题意，得，解得：，∴这个两位数为41．故答案是：41．9、解方程组：（1）；（2）．【解析】（1），由①，得y=3x﹣5，将y=3x﹣5代入②，得5x+6x﹣10=23解得，x=3将x=3代入y=3x﹣5，得y=4故原方程组的解是；（2）由③，得2x﹣y﹣z=0④①+④，得3x﹣2y=7⑤，②×2+⑤，得5x=5解得，x=1将x=1代入⑤，得y=﹣2将x=1，y=﹣2代入①，得z=4，故原方程组的解是．10、如图所示的是函数y1=kx+b与y2=mx+n的图象，（1）方程的解是；（2）y1中变量y1随x的增大而减小；（3）在平面直角坐标系中，将点P（3，4）向下平移1个单位，恰好在正比例函数的图象上，求这个正比例函数的关系式．【解析】（1）∵从图象可以得出两函数y1=kx+b与y2=mx+n的交点坐标是（3，4），∴方程的解是；（2）从图象可以看出：y1中变量y1随x的增大而减小，故答案为：减小；（3）设正比例函数的解析式为y=kx，∵将点P（3，4）向下平移1个单位，恰好在正比例函数的图象上，∴平移后对应的点的坐标是（3，3），把（3，3）代入y=kx得：k=1，∴正比例函数的解析式为y=x．故答案为：．11、某通讯器材商场，计划从一厂家购进若干部新型手机以满足市场需求，已知该厂家生产三种不同型号的手机，出厂价分别是甲种型号手机1800元/部，乙种型号手机600元/部，丙种型号手机1200元/部．商场在经销中，甲种型号手机可赚200元/部，乙种型号手机可赚100元/部，丙种型号手机可赚120元/部．（1）若商场用6万元同时购进两种不同型号的手机共40部，并恰好将钱用完，请你通过计算分析进货方案；（2）在（1）的条件下，求盈利最多的进货方案；（3）若该商场同时购进三种手机，且购进甲，丙两种手机用了3.9万元，预计可获得5000元利润，问这次经销商共有几种可能的方案？最低成本（进货额）多少元？【解析】设甲种型号手机x部，乙种手机y部，丙种手机z部．（1）根据题意得：①．解得．②．解得．③．解得（不合题意，舍去）．答：两种购买方案：甲种型号手机30部，乙种手机10部；或甲种型号手机20部，丙种手机20部；（2）方案一盈利：200×30+100×10=7000（元），方案二盈利：200×20+120×20=6400（元）所以购买甲种型号手机30部，乙种手机10部所获盈利较大；（3）由题意建立方程组为：，