初二数学（北京版）-坐标系中的特殊平行四边形-1教案

教案教学基本信息课题坐标系中的特殊平行四边形学科数学学段：第三学段年级八年级教材书名：《数学》八年级下册出版社：北京出版社出版日期：2016年4月教学设计参与人员姓名单位设计者实施者指导者课件制作者教学目标及教学重点、难点本节课的主要内容是坐标系中的特殊平行四边形，需借助坐标系中特殊平行四边形顶点坐标间的特殊性，结合特殊平行四边形的性质解决问题，是对特殊平行四边形和坐标系相关知识的综合运用，利用代数方法解决几何问题，渗透数形结合思想.重点：能在平面直角坐标系中结合特殊平行四边形的性质根据已知三个点的坐标写出第四个顶点的坐标；利用顶点坐标之间的联系解决平面直角坐标系中的特殊平行四边形问题.难点：综合运用特殊平行四边形的性质及各个顶点坐标间的联系求顶点坐标.教学过程(表格描述)教学环节主要教学活动设置意图引入由于特殊平行四边形是在平行四边形的基础上演化的，所以我们先来看一看平面直角坐标系中，如何根据已知平行四边形三个顶点的坐标，求出第四个顶点的坐标.明确特殊平行四边形具备平行四边形的所有性质，会求第四个顶点的坐标，为熟练应用打好基础.例题（1）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OBCD的顶点O

，B，D

的坐标分别是（0，0）

，（1，2），（4，0），则顶点C

的坐标是_______.分析：横坐标：OE=FC=FB+BC纵坐标：OF=CE=BG解：延长CB交y轴于点F，作CE⊥x轴于点E，BG⊥x轴于点G.∵B（1，2），∴FB=1，BG=2.在平行四边形OBCD中，BC∥OD，BC=OD.∴CE=BG=2，BC=OD=4.∴FC=1+4=5.∴C点的坐标为（5，2）．解题反思：已知点的坐标，可以求得线段的长度.（2）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OBCD的顶点O

，B，D

的坐标分别是（0，0）

，（c，d），（e，0），则顶点C

的坐标是_______.答案：C（c+e，d）思路分析同（1）.解题反思：从已知点的坐标出发，结合平行四边形边的性质，找到线段长与点的坐标之间的联系.（3）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A

，B，D

的坐标分别是（a，b）

，（c，d），（e，b），则顶点C

的坐标是_______.分析：横坐标：FC=FB+BC纵坐标：CE=BG解：延长CB交y轴于点F，分别作CE⊥x轴于点E，BG⊥x轴于点G，AM⊥x轴于点M，DN⊥x轴于点N.∵B（c,d），∴FB=c，BG=d.在平行四边形ABCD中，BC∥AD，BC=AD.∴CE=BG=d，BC=AD=e-a.∴FC=c+e-a.∴C点的坐标为（c+e-a，d）．解题反思：点C的横坐标是点B的横坐标加上D、A两点横坐标的差，点C的纵坐标仍与点B的纵坐标相同.当平行四边形的位置及顶点坐标变得更一般时，只要能够找到坐标—边及坐标之间的关系，仍可以利用平行四边形的性质及点的坐标与线段长之间的转化完成求解.练习如图，将矩形ABCD放在平面直角坐标系中，BC∥x轴，若BC=3，点D的坐标为（4，2），则点A的坐标是_______.分析：横坐标：|点D横坐标|-AD纵坐标：与点D的纵坐标相等答案：A（3，3）．解题反思：矩形对边平行且相等，找到点A和点D坐标之间的联系，利用边长（线段长）完成坐标求解问题..回顾前面几道题的特点，你能发现当平行四边形的一组对边与x轴平行时，它各个顶点坐标之间的联系吗？如图，将平行四边形ABCD放在平面直角坐标系中，AD∥x轴，其中，，，，则（1）_____；_____；（2）________.观察图形不难发现，点A的纵坐标和点D的纵坐标相等，因此；点B的纵坐标和点C的纵坐标相等，因此；实际上表示的是AD的长度.根据平行四边形对边相等，AD等于BC，而BC的长度就可以用表示，即.由以上分析能够得到的结论是：如果一条线段平行于x轴，那么这条线段两个端点的纵坐标相等，横坐标差的绝对值就可以表示这条线段的长度.例菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，若OA=2，∠AOC=45°，求点

B

的坐标．方法一：解：延长BA交y轴于点F，作BE⊥x轴于点E.∵四边形OABC是菱形，OA=2，∴BC=CO=OA=2，BC∥AO.∴∠BCE=∠AOC=45°.又∵BE⊥x轴，∴∠EBC=∠BCE=45°.∴BE=EC.在Rt△BEC中，，∴BE=EC=.∴EO=EC+CO=+2.又∵点B在第二象限，∴B解题反思：解决这道题，利用了菱形四条边都相等，且对边分别平行的性质.根据线段EO和FO的长度，求得了点B的坐标.方法二：解：过点A向x轴作垂线，垂足为G.∵∠AOC=45°，∴△AOG是等腰直角三角形．由勾股定理得AG=OG=，∵点A在第二象限，∴A(，).又∵四边形OABC是菱形，∴AB=OA=2.∴B(，).解题反思：解决本题的关键是利用菱形的性质和勾股定理求出点A的坐标，再根据坐标系中，B点坐标与A点坐标之间的关系，求得答案.不论是方法一还是方法二，都离不开对图形本身性质的分析和点的坐标的利用.例如图，平面直角坐标系中点A（m，2）在第二象限，AC⊥x轴于点C，△AOC的面积为，点B的坐标为（，0）.（1）求点C的坐标和BC的长；（2）以BC为一边作正方形，求另两个顶点的坐标.分析：（1）AC⊥x轴→Rt△AOC→BC=CO＋OB（2）分类讨论：①另两个顶点在x轴上方；②另两个顶点在x轴下方.解：（1）∵AC⊥x轴，A（m，2），∴∠AOC=90°，AC=2.∵，∴CO=.又∵点C在x轴负半轴上，∴C（，0）.∵B（，0），∴OB=.∴BC=CO+OB=.（2）①当正方形的另两个顶点位于x轴上方时，∵四边形DCBE是正方形，∴DC=EB=BC=.∴D（），E（）.②当正方形的另两个顶点位于x轴下方时，∵点G和点F分别与点D、E关于x轴对称，∴G（），F（）.例矩形ABCD在如图所示的平面直角坐标系中，A点坐标为(0，3)，BC=2AB，直线l经过点B交AD边于点P，此时直线l的表达式为y=2x+1.（1）求BC，AP的长；（2）沿y轴负方向平移直线l，分别交AD，BC边于点Q，E，交y轴于点F，当四边形BEQP是菱形时，求平移的距离.解：（1）令y=2x+1中x=0，解得y=1.∴B点坐标为（0，1）.∵A点坐标为（0，3），∴AB=3-1=2.又∵BC=2AB，∴BC=4.令y=2x+1中y=3，解得x=1.∴P点坐标为（1，3）.又∵A点坐标为（0，3），∴AP=1-0=1（2）设直线QE的表达式为y=2x+b.由（1）知AB=2，AP=1.∴.∵B点坐标为（0，1），且由菱形BEQP得BP=BE，∴E点坐标为（，1）.代入y=2x+b得b=.∴直线QE的表达式为.令中x=0，解得∴F点坐标为（0，）.∵B（0，1），∴BF=.解题反思：解决本题的关键是利用菱形四条边都相等的性质，求出点E的坐标，确定直线QE的表达式.再根据B点和F点坐标求出线段BF的长度.从平行四边形入手，根据平行四边形的性质及坐标与线段长之间的关系求出顶点坐标.从特殊到一般.体会点的坐标与线段长之间的转化.矩形性质的应用.特殊到一般.归纳线段长与点的坐标间的联系，为后续解决问题作铺垫.一题多解，运用特殊平行四边形的性质解决平面直角坐标系中的顶点坐标求解问题.运用顶点坐标之间的联系解决问题.平面直角坐标系中的正方形，运用正方形相关性质解决求顶点坐标问题.运用分类讨论思想解决问题.巧妙利用点的对称解决问题.平面直角坐标系中的矩形及菱形，运用特殊平行四边形相关性质解决问题.运用点的坐标求线段长度.综合一次函数相关知识求得点的坐标，再根据点的坐标求出线段长度.总结坐标系中的特殊平行四边形问题往往要结合特殊平行四边形的性质和各个顶点的坐标特征来解决，应着重关注特殊平行四边形的性质，通过坐标与线段长度之间的转化，将数与形结合起来.解题过程中既体现了平行四边形和特殊平行四边形性质间从一般到特殊的应用，还结合了有一组对边与x轴平行时，从特殊到一般的平行四边形顶点坐标间的联系，解题时要格外重视这些特征.总结解决坐标系中特殊平行四边形问题涉及到的知识及方法，加深理解和掌