2027北师大版数学九上-第二章 一元二次方程（五大考点+六大易错+易错训练）（知识清单）

第二章一元二次方程知识点一一元二次方程的概念定义

只含________个未知数，未知数最高次数为_______，整式方程

标准一般形式：____________________________各项名称

ax2：______________，a：______________

bx：______________，b：______________

c关键限制

a≠0，若a易错区分

分式方程、含根号未知数、多未知数都不是一元二次方程知识点二一元二次方程的解1.定义

使方程左右两边相等的未知数的值，也叫方程的_______2.核心用法

已知根，代入方程求参数a、3.特殊根规律有根x=0有根x=1有根x=−14.根的个数

一元二次方程最多_______个实数根，可相等、不相等、无实根知识点三一元二次方程的解法1.直接开平方法

适用：(mx+2.配方法

步骤：______________→二次项系数化为_______→_______（加一次项系数一半的平方）→_______

作用：推导求根公式、求代数式最值3.公式法

求根公式：x=____________________________  (4.因式分解法

适用：方程左边可分解为两个一次式乘积

步骤：移项使右边=0，分解因式，令每个因式=0求解5.判别式Δ=Δ>0：Δ=0：Δ<0：知识点四一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）前提：ax2+bx+c=0(a≠0)，方程有两个实数根x1、x2

1.基础关系

x1+x2知识点五一元二次方程的应用1.增长率问题

等量关系：基数×(1±增长率)2.面积几何问题

矩形、道路、边框、裁剪拼接，设边长列方程，舍去负根、不合理解3.销售利润问题

单件利润×销量=总利润，调价影响销量4.传播、循环握手问题

传播：1+x+5.解题通用步骤

审→设→列→解→验（检验根是否符合实际）→答6.取舍规则

长度、人数、价格等必须为正数，舍去负数、超出题意的解易错点1利用一元二次方程的定义求待定系数时忽略“a≠0”易错提醒易错点总结 根据未知数次数为2求出参数后，忘记检验二次项系数a≠0，导致出现增根、错解。 只关注“最高次数=2”，忽略一元二次方程核心前提：二次项系数不能为0。 参数算出两个值，不舍去使a=0的解，直接全写，整题扣分。注意事项总结 定义题铁律：先定次数，再验系数，两步缺一不可。 只要题目说是一元二次方程，必然满足：次数=2且a≠0。 求出参数后代入二次项系数检验，使a=0的值必须舍去。【对点训练】1．若关于x的方程是一元二次方程，则______．易错点2利用一元二次方程的解求待定系数时忽略“a≠0”易错提醒易错点总结 将方程的根代入求参数，只满足等式成立，忽略方程身份必须是一元二次方程。 求出参数后，参数恰好让二次项系数为0，变成一次方程，学生不取舍。 审题不仔细，看不到题干“一元二次方程”条件，默认方程恒成立。注意事项总结 题干出现“一元二次方程”，无论求什么参数，必须终身锁定a≠0。 代入根算出参数后，强制检查：二次项系数是否为0。 若参数使方程退化为一次方程，直接舍去该解。【对点训练】2．关于x的一元二次方程有一根为0，则________．易错点3利用一元二次方程的判别式求字母的值或取值范围时忽略“a≠0”易错提醒易错点总结 利用Δ求范围时，只写Δ>0、Δ=0、Δ≥0，完全漏掉a≠0。 当a=0时方程变为一次方程，不存在判别式，学生依旧带入判别式计算。 最终取值范围不剔除a=0，范围过大、答案错误。注意事项总结 判别式只针对一元二次方程，前提必须a≠0。 做题固定格式：先写a≠0，再列Δ不等式。 最后取值范围：取两个条件的公共部分，坚决不含a=0。【对点训练】3．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是_________．易错点4利用根与系数的关系求参数的时忽略有实数根的前提易错提醒易错点总结 乱用韦达定理，直接套用,，不判断是否有实数根。 算出参数后，参数使Δ<0，方程无实根，韦达定理失效，学生不检验。 只记住a≠0，忘记韦达定理使用核心条件：Δ≥0。注意事项总结 韦达定理双重前提：a≠0且Δ≥0。 所有根与系数题型：先算Δ范围，再代入公式求值。 求出参数后必须回代检验Δ≥0，无实根的参数一律舍去。【对点训练】4．已知关于的一元二次方程有两个实数根．(1)求实数的取值范围；(2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值．

易错点5解二次方程时的常见错误易错提醒易错点总结 因式分解法不移项，等式右边不为0就分解，导致解错。 直接开平方法漏写正负号，只写一个根。 公式法代错符号，-b负号丢失、判别式计算粗心。 配方法忘记二次项系数化为1，或配方时常数项加减错误。 解方程最后不约分、不化简，根式不化为最简。注意事项总结 因式分解法：必须右边=0再分解。 开平方法：正数开方必有一正一负两个根。 公式法：先算Δ，Δ<0直接写无实数根。 配方法严格步骤：化1→移项→配方→开方→求解。 最终根必须化简、约分、最简根式，格式规范。【对点训练】5．下面是小明同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．解：二次项系数化为1，得，……第一步移项，得，……第二步配方，得，……第三步，……第四步由此可得，……第五步解得……第六步(1)任务一：①上述小明同学解此一元二次方程的方法是什么？依据的数学公式是什么？②哪一步首先出现错误，错误的原因是什么？(2)任务二：请你写出该方程的正确求解过程．

易错点6实际应用问题中忽略未知数的实际意义易错提醒易错点总结1. 应用题解出两个根，不取舍、保留负数、小数不合理解。2. 增长率、人数、边长、销量出现负数，不舍去。3. 忽略题目隐藏范围：整数、正数、不超过最大实际数值。4. 只解方程不检验，不符合生活实际的根直接使用。注意事项总结1. 应用题口诀：解方程必验根，不合题意必舍去。2. 长度、价格、人数、增长率必须为正数，负数根直接删除。3. 若题目隐含整数条件，非整数根也要舍去。4. 最后作答前对照题意，确认数值合理再写答案。【对点训练】6．综合与实践：制作一个有盖的长方体收纳盒．材料：一张长为，宽为的长方形硬纸板．方案设计：如图①，把硬纸板的四角分别剪去两个相同的小正方形和两个相同的小长方形，折成一个如图②所示的有盖长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分．(1)任务一：若收纳盒的高为，求该收纳盒底面的两邻边和的长度；(2)任务二：若收纳盒底面的面积为，求该收纳盒的高；(3)任务三：能否设计出一个收纳盒足够收纳长为，宽为，高为的长方体礼盒（如图③）的方案．如果能，求设计方案中的取值范围；如果不能，请说明理由．

一、单选题1．我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”其大意是：“今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出尺；竖放，竿比门高长出尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？”设竿长为尺，可列方程为（

）A． B．C． D．2．若方程是关于的一元二次方程，则的值是（

）A． B． C． D．或3．已知实数a、b是方程的两个根，则的值是（

）A．14 B． C． D．104．关于的方程，则方程根的情况为（

）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．有两个实数根 D．无法确定5．定义新运算：☆，例如：☆，则关于的方程☆（k是任意实数）的根的情况是（

）A．有两个相等的实数根 B．没有实数根C．只有一个实数根 D．有两个不相等的实数根二、填空题6．已知互不相等的实数a，b满足，，则的值为_____．7．若方程的两个根分别是，则的值为________．8．已知，，，则______．9．设、是方程的两个实数根，且，则______．10．若关于的一元二次方程(有两个不相等的实数根，则的取值范围是_____．

三、解答题11．已知关于的方程．(1)当该方程是一元一次方程时，求出该方程的解；(2)当该方程是一元二次方程时，①求证：该方程有两个不相等的实数根；②已知和是该方程的两个根，求出的值．（用含的代数式表示）12．解决下列问题：(1)已知关于x的方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；(2)以下是小明在解方程时的解答过程．解：原方程可化为，两边同除以，得：解得：．小明的解答是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．

13．若，是一元二次方程的两根，则有，，由上式可知，一元二次方程的两根和、两根积是由方程的系数确定的，我们把这个关系称为一元二次方程根与系数的关系．(1)已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为，，且满足：，求的值；(2)若，是方程的两根，记，，…，，①当为不小于的整数时，证明：；②计算，的值．14．关于的一元二次方程①（为常数，且）的两个根分别为，，且，．(1)求证：无论取何值，是方程①的一个根．(2)当时，求的取值范围．(3)若关于的一元二次方程（为常数，且）的一个根比方程①的根大，求的最大值．15．学习完一元二次方程的知识后，数学兴趣小组对关于x的一元二次方程开展探究．(1)当时，该方程的正根称为“黄金分割数”，求“黄金分割数”；(2)若实数a，b满足，，且，求的值；(3)若两个不相等的实数p，q满足，，求证：．第二章一元二次方程知识点一一元二次方程的概念定义

只含一个未知数，未知数最高次数为2，整式方程

标准一般形式：a各项名称

ax2：二次项，a：二次项系数

bx：一次项，b：一次项系数

关键限制

a≠0，若易错区分

分式方程、含根号未知数、多未知数都不是一元二次方程知识点二一元二次方程的解1.定义

使方程左右两边相等的未知数的值，也叫方程的根2.核心用法

已知根，代入方程求参数a、3.特殊根规律有根x=0有根x=1有根x=−14.根的个数

一元二次方程最多2个实数根，可相等、不相等、无实根知识点三一元二次方程的解法1.直接开平方法

适用：(mx+2.配方法

步骤：移项→二次项系数化为1→配方（加一次项系数一半的平方）→开方

作用：推导求根公式、求代数式最值3.公式法

求根公式：x=−b±4.因式分解法

适用：方程左边可分解为两个一次式乘积

步骤：移项使右边=0，分解因式，令每个因式=0求解5.判别式Δ=Δ>0Δ=0Δ<0知识点四一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）前提：ax2+bx+c=0(a≠0)，方程有两个实数根x1、x2

1.基础关系

x1+x2知识点五一元二次方程的应用1.增长率问题

等量关系：基数×(1±增长率)2.面积几何问题

矩形、道路、边框、裁剪拼接，设边长列方程，舍去负根、不合理解3.销售利润问题

单件利润×销量=总利润，调价影响销量4.传播、循环握手问题

传播：1+x+5.解题通用步骤

审→设→列→解→验（检验根是否符合实际）→答6.取舍规则

长度、人数、价格等必须为正数，舍去负数、超出题意的解易错点1利用一元二次方程的定义求待定系数时忽略“a≠0”易错提醒易错点总结 根据未知数次数为2求出参数后，忘记检验二次项系数a≠0，导致出现增根、错解。 只关注“最高次数=2”，忽略一元二次方程核心前提：二次项系数不能为0。 参数算出两个值，不舍去使a=0的解，直接全写，整题扣分。注意事项总结 定义题铁律：先定次数，再验系数，两步缺一不可。 只要题目说是一元二次方程，必然满足：次数=2且a≠0。 求出参数后代入二次项系数检验，使a=0的值必须舍去。【对点训练】1．若关于x的方程是一元二次方程，则______．【答案】【分析】根据一元二次方程的定义即形如的整式方程，其中叫做二次项系数，叫做一次项系数，叫做常数项解答即可．本题考查了一元二次方程的定义即形如的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键．【详解】解：∵是一元二次方程，∴且解得，且，故；故答案为：．易错点2利用一元二次方程的解求待定系数时忽略“a≠0”易错提醒易错点总结 将方程的根代入求参数，只满足等式成立，忽略方程身份必须是一元二次方程。 求出参数后，参数恰好让二次项系数为0，变成一次方程，学生不取舍。 审题不仔细，看不到题干“一元二次方程”条件，默认方程恒成立。注意事项总结 题干出现“一元二次方程”，无论求什么参数，必须终身锁定a≠0。 代入根算出参数后，强制检查：二次项系数是否为0。 若参数使方程退化为一次方程，直接舍去该解。【对点训练】2．关于x的一元二次方程有一根为0，则________．【答案】【分析】把代入方程，得到关于的方程，结合一元二次方程的二次项系数不为0，进行求解即可.【详解】解：由题意，且，解得.易错点3利用一元二次方程的判别式求字母的值或取值范围时忽略“a≠0”易错提醒易错点总结 利用Δ求范围时，只写Δ>0、Δ=0、Δ≥0，完全漏掉a≠0。 当a=0时方程变为一次方程，不存在判别式，学生依旧带入判别式计算。 最终取值范围不剔除a=0，范围过大、答案错误。注意事项总结 判别式只针对一元二次方程，前提必须a≠0。 做题固定格式：先写a≠0，再列Δ不等式。 最后取值范围：取两个条件的公共部分，坚决不含a=0。【对点训练】3．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是_________．【答案】且【分析】根据一元二次方程定义得到二次项系数不为零，再根据方程有两个不相等的实数根得到根的判别式大于零，解不等式即可得到结果.【详解】解：关于的方程是一元二次方程，且有两个不相等的实数根，，且，整理得，解得；综上，的取值范围是且.易错点4利用根与系数的关系求参数的时忽略有实数根的前提易错提醒易错点总结 乱用韦达定理，直接套用,，不判断是否有实数根。 算出参数后，参数使Δ<0，方程无实根，韦达定理失效，学生不检验。 只记住a≠0，忘记韦达定理使用核心条件：Δ≥0。注意事项总结 韦达定理双重前提：a≠0且Δ≥0。 所有根与系数题型：先算Δ范围，再代入公式求值。 求出参数后必须回代检验Δ≥0，无实根的参数一律舍去。【对点训练】4．已知关于的一元二次方程有两个实数根．(1)求实数的取值范围；(2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据根的判别式列不等式求解；（2）根据一元二次方程根与系数的关系求解即可．【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个实数根，∴，解得；（2）解：∵，是该方程的两个根，∴，，∴，解得，，由（1）可知：，∴．易错点5解二次方程时的常见错误易错提醒易错点总结 因式分解法不移项，等式右边不为0就分解，导致解错。 直接开平方法漏写正负号，只写一个根。 公式法代错符号，-b负号丢失、判别式计算粗心。 配方法忘记二次项系数化为1，或配方时常数项加减错误。 解方程最后不约分、不化简，根式不化为最简。注意事项总结 因式分解法：必须右边=0再分解。 开平方法：正数开方必有一正一负两个根。 公式法：先算Δ，Δ<0直接写无实数根。 配方法严格步骤：化1→移项→配方→开方→求解。 最终根必须化简、约分、最简根式，格式规范。【对点训练】5．下面是小明同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．解：二次项系数化为1，得，……第一步移项，得，……第二步配方，得，……第三步，……第四步由此可得，……第五步解得……第六步(1)任务一：①上述小明同学解此一元二次方程的方法是什么？依据的数学公式是什么？②哪一步首先出现错误，错误的原因是什么？(2)任务二：请你写出该方程的正确求解过程．【答案】(1)①方法是配方法，依据是完全平方公式；②第三步，配方时仅在方程左边加上一次项系数一半的平方，右边未同时加上该数，等式不成立(2)，【分析】（1）①根据配方法解方程的步骤可得解方程的方法；②由完全平方公式的含义可得答案；（2）正确利用配方法进行求解即可．【详解】（1）解：①根据题干信息，解此一元二次方程的方法是配方法，配方法依据的数学公式是完全平方公式，②第三步首先出现错误，配方时仅在方程左边加上一次项系数一半的平方，右边未同时加上该数，等式不成立．（2）解：二次项系数化为1，得，移项，得，配方，得，即，由此可得，解得，．易错点6实际应用问题中忽略未知数的实际意义易错提醒易错点总结1. 应用题解出两个根，不取舍、保留负数、小数不合理解。2. 增长率、人数、边长、销量出现负数，不舍去。3. 忽略题目隐藏范围：整数、正数、不超过最大实际数值。4. 只解方程不检验，不符合生活实际的根直接使用。注意事项总结1. 应用题口诀：解方程必验根，不合题意必舍去。2. 长度、价格、人数、增长率必须为正数，负数根直接删除。3. 若题目隐含整数条件，非整数根也要舍去。4. 最后作答前对照题意，确认数值合理再写答案。【对点训练】6．综合与实践：制作一个有盖的长方体收纳盒．材料：一张长为，宽为的长方形硬纸板．方案设计：如图①，把硬纸板的四角分别剪去两个相同的小正方形和两个相同的小长方形，折成一个如图②所示的有盖长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分．(1)任务一：若收纳盒的高为，求该收纳盒底面的两邻边和的长度；(2)任务二：若收纳盒底面的面积为，求该收纳盒的高；(3)任务三：能否设计出一个收纳盒足够收纳长为，宽为，高为的长方体礼盒（如图③）的方案．如果能，求设计方案中的取值范围；如果不能，请说明理由．【答案】(1)；(2)(3)能，【分析】（1）根据图形列式计算即可；（2）设，用x分别表示的长，根据收纳盒的底面积可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；（3）设，则，，根据长、宽、高的要求分情况进行讨论，取符合题意的答案即可．【详解】（1）解：，把硬纸板的四角分别剪去两个相同的小正方形和两个相同的小长方形，．根据折叠后正好重合可知．（2）解：设，则，，由题意得，解得，（不合题意，舍去）．（3）解：能．设，则，，由题意得①，解得，②，解得，；③，解得，不符合舍去；④，解得，不符合舍去；⑤，解得，不符合舍去；⑥，解得，不符合舍去；综上得，．

一、单选题1．我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”其大意是：“今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出尺；竖放，竿比门高长出尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？”设竿长为尺，可列方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先由竿长与门宽、门高的大小关系表示出门宽与门高，再结合勾股定理列方程．【详解】解：设竿长为尺，则门宽为尺，门高为尺.∵斜放竿与门对角线恰好相等，∴门对角线长为尺，由勾股定理得．2．若方程是关于的一元二次方程，则的值是（

）A． B． C． D．或【答案】C【分析】一元二次方程需满足两个条件，x的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列式求解即可．【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程，∴，∴．3．已知实数a、b是方程的两个根，则的值是（

）A．14 B． C． D．10【答案】A【详解】解：∵是方程的根，∴，∴，∴，∴，∴，∴．∵，是方程的两根，∴由根与系数的关系得，∴原式．4．关于的方程，则方程根的情况为（

）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．有两个实数根 D．无法确定【答案】C【分析】计算方程的根的判别式，根据判别式的符号判断根的情况，利用判别式时方程有实数根的性质解题.【详解】解：对于一元二次方程，其中，，，∴；∴方程有两个实数根.5．定义新运算：☆，例如：☆，则关于的方程☆（k是任意实数）的根的情况是（

）A．有两个相等的实数根 B．没有实数根C．只有一个实数根 D．有两个不相等的实数根【答案】D【详解】解：由题意，可知☆，整理得．，关于的方程☆（是任意实数）有两个不相等的实数根．二、填空题6．已知互不相等的实数a，b满足，，则的值为_____．【答案】2021【详解】解：设a、b是方程的两根，且，∴，ab＝，∴，，＝，＝2021．7．若方程的两个根分别是，则的值为________．【答案】【分析】一元二次方程的两个根为，，则，．根据一元二次方程根与系数的关系即可求得答案．【详解】解：∵方程的两个根分别为，，∴，，∴．8．已知，，，则______．【答案】【分析】和是一元二次方程的两个不相等实根，利用根与系数的关系即可求得的值．【详解】解：由题意得，，且，可知，是一元二次方程的两个不相等的实数根，根据根与系数的关系，得．9．设、是方程的两个实数根，且，则______．【答案】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到，，代入中，即可求解．【详解】解：∵、是方程的两个实数根，∴，，∵，∴，∴．10．若关于的一元二次方程(有两个不相等的实数根，则的取值范围是_____．【答案】且【分析】一元二次方程有两个不相等实数根需同时满足两个条件：①二次项系数不为0，保证是一元二次方程；②判别式，保证两根不等．联立两个不等式即可求出的取值范围．【详解】解：由原方程是关于的一元二次方程，，解得：，又原方程有两个不相等的实数根，，解得：，即的取值范围是：且．三、解答题11．已知关于的方程．(1)当该方程是一元一次方程时，求出该方程的解；(2)当该方程是一元二次方程时，①求证：该方程有两个不相等的实数根；②已知和是该方程的两个根，求出的值．（用含的代数式表示）【答案】(1)(2)①证明：由题可得，，，，，∴，∴该方程有两个不相等的实数根；②．【分析】（1）根据一元一次方程可知，求出m的值，代入求解即可；（2）①根据根的判别式证明即可；②根据根与系数的关系得到，，根据完全平方公式得到，可知的值．【详解】（1）解：当，即时，该方程是一元一次方程，把代入，得，解得，∴该方程的解为；（2）①略；②解：∵和是该方程的两个解，∴，，∴，所以．12．解决下列问题：(1)已知关于x的方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；(2)以下是小明在解方程时的解答过程．解：原方程可化为，两边同除以，得：解得：．小明的解答是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．【答案】(1)；(2)小明的解答有错误，正确解答过程如下：原方程可化为，移项得，提取公因式得，因此或，解得，．【分析】（1）利用根的判别式求解即可；（2）利用因式分解法求解即可．【详解】（1）解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根，∴．解得，∴m的取值范围是；（2）略13．若，是一元二次方程的两根，则有，，由上式可知，一元二次方程的两根和、两根积是由方程的系数确定的，我们把这个关系称为一元二次方程根与系数的关系．(1)已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为，，且满足：，求的值；(2)若，是方程的两根，记，，…，，①当为不小于的整数时，证明：；②计算，的值．【答案】(1)(2)①证明：，是方程的根，∴，，∴，因为，，所以原式②