《画法几何及机械制图（3D版）》课件-第2章正投影基础-2

普通高等教育3D版机械类规划教材

画法几何及机械制图（3D版）第2版

2.5平面的投影2.5.1平面的表示法●●●●●●abca

b

c

不在同一直线上的三个点●●●●●●abca

b

c

直线及线外一点abca

b

c

●●●●●●d●d

●两平行直线abca

b

c

●●●●●●两相交直线●●●●●●abca

b

c

平面图形1、用几何元素表示平面2、平面的迹线表示法VHPPVPHPVPHVHQVQHQHQVQ2.5.2各种位置平面的投影特征投影面垂直面

投影面平行面一般位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面平行于某一投影面，垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜

正垂面

侧垂面

铅垂面

正平面

侧平面

水平面VWHPPH铅垂面投影特性：1、

abc积聚为一条线

2、

a

b

c

、

a

b

c

为

ABC的类似形

3、

abc与OX、OY的夹角反映

、

角的真实大小

ABCacb

a

b

a

b

bacc

c

VWHQQV

正垂面投影特性：1、a

b

c

积聚为一条线

2、abc、a

b

c

ABC的类似形

3、a

b

c

与OX、OZ的夹角反映α、

角的真实大小

αa

b

a

b

bac

c

cAc

Ca

b

BVWHSWS

侧垂面投影特性：1、a

b

c

积聚为一条线

2、abc、a

b

c

为

ABC的类似形

3、a

b

c

与OZ、OY的夹角反映α、β角的真实大小

Ca

b

ABc

a

b

b

baa

αβcc

c

abca

c

b

c

b

a

类似性类似性积聚性铅垂面投影特性：

在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。

另外两个投影面上的投影有类似性。如何判断垂直面γβVWH水平面投影特性：

1、a

b

c

、a

b

c

积聚为一条线积聚为一条线，具有积聚性

2、水平投影abc反映

ABC实形

CABa

b

c

baca

b

c

ca

b

b

baa

c

c

正平面VWH投影特性：

1、abc

、a

b

c

积聚为一条线，具有积聚性

2、正平面投影a

b

c

反映

ABC实形

c

a

b

b

a

c

bcab

a

c

a

b

c

bcaCBA投影特性：

1、abc

、a

b

c

积聚为一条线，具有积聚性

2、侧平面投影a

b

c

反映

ABC实形

侧平面VWHa

b

b

ba

c

c

cab

c

baca

b

c

CABa

a

b

c

a

b

c

abc积聚性积聚性实形性水平面投影特性：在它所平行的投影面上的投影反映实形。

另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。如何判断平行面一般位置平面投影特性

1、abc、a

b

c

、a

b

c

均为

ABC的类似形

2、不反映

、

、

的真实角度

a

b

c

baca

b

a

b

b

a

c

c

bacCAB判断直线在平面内的方法定理一若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。定理二若一直线过平面上的一点，且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内。2.5.3平面上的直线和点abcb

c

a

abcb

c

a

d

mnn

m

d例

：已知平面由直线AB、AC所确定，试在平面内任作一条直线。解法一解法二根据定理二根据定理一有无数解。例：在平面ABC内作一条水平线，使其到H面的距离为10mm。n

m

nm10c

a

b

cab

唯一解！

先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。例：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。b①acc

a

k

b

●k●

面上取点的方法：②●abca’b

k

c

d

k●d利用平面的积聚性求解通过在面内作辅助线求解例已知

ABC给定一平面，试判断点D是否属于该平面。d

da

b

c

abcee

bckada

d

b

c

ada

d

b

c

k

bc例：已知AC为正平线，补全平行四边形ABCD的水平投影。解法一解法二a

b

c

bac例已知

ABC给定一平面，试过点C作属于该平面的正平线，过点A作属于该平面的水平线。m

n

nm2.6各种几何元素间的相对位置相对位置包括平行、相交和垂直。2.6.1平行关系直线与平面平行

平面与平面平行包括⒈直线与平面平行定理：

若一直线平行于平面上的某一直线，则该直线与此平面必相互平行。n

●●a

c

b

m

abcmn例：过M点作直线MN平行于平面ABC。有无数解有多少解？正平线例：过M点作直线MN平行于V面和平面ABC。c

●●b

a

m

abcmn唯一解n

例

试判断直线AB是否平行于给定平面fg

f

gb

a

abc

e

d

edc结论：直线AB不平行于给定平面⒉两平面平行①若一平面上的两相交直线对应平行于另一平面上的两相交直线，则这两平面相互平行。②若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。f

h

abcdefha

b

c

d

e

c

f

b

d

e

a

abcdef例题

试判断两平面是否平行f

e

d

edfc

a

acb

bm

n

mnr

rss

结论：两平面平行例题

已知定平面由平行两直线AB和CD给定。试过点K作一平面平行于已知平面。em

n

mnf

e

fsr

s

rd

dc

a

acb

bk

k2.6.2相交问题直线与平面相交平面与平面相交⒈直线与平面相交

直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。要讨论的问题：●求直线与平面的交点。

●判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可见性。

我们只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊位置的情况。abcmnc

n

b

a

m

⑴平面为特殊位置空间及投影分析

平面ABC是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，该直线与mn的交点即为K点的水平投影。①求交点②判别可见性

由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上k

n

为可见。还可通过重影点判别可见性。k

●1

(2

)作图k●●2●1●km(n)b●m

n

c

b

a

ac⑵直线为特殊位置空间及投影分析

直线MN为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点K的水平投影也积聚在该点上。①求交点②判别可见性

点Ⅰ位于平面上，在前；点Ⅱ位于MN上，在后。故k

2

为不可见。1

(2

)k

●2●1●●作图用面上取点法⒉两平面相交

两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共有线，同时交线上的点都是两平面的共有点。要讨论的问题：①求两平面的交线方法：⑴确定两平面的两个共有点。⑵确定一个共有点及交线的方向。

只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况。②判别两平面之间的相互遮挡关系，即：

判别可见性。可通过正面投影直观地进行判别。abcdefc

f

d

b

e

a

m

(n

)空间及投影分析

平面ABC与DEF都为正垂面，它们的正面投影都积聚成直线。交线必为一条正垂线，只要求得交线上的一个点便可作出交线的投影。①求交线②判别可见性作图

从正面投影上可看出，在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见。n●m●●如何判别？例：求两平面的交线MN并判别可见性。⑴b

c

f

h

a

e

abcefh1(2)空间及投影分析

平面EFH是一水平面，它的正面投影有积聚性。a

b

与e

f

的交点m

、b

c

与f

h

的交点n

即为两个共有点的正面投影，故m

n

即MN的正面投影。①求交线②判别可见性

点Ⅰ在FH上，点Ⅱ在BC上，点Ⅰ在上，点Ⅱ在下，故fh可见，n2不可见。作图m●●n

●2

●n●m

●1

●⑵c

d

e

f

a

b

abcdef⑶投影分析N点的水平投影n位于Δdef的外面，说明点N位于ΔDEF所确定的平面内，但不位于ΔDEF这个图形内。所以ΔABC和ΔDEF的交线应为MK。n●n

●m

●k●m●k

●互交b

ba

acc

m

mnn

直线与特殊位置平面相交由于特殊位置平面的某些投影有积聚性，交点可直接求出。VHPHPABCacbkNKMkk

判断直线的可见性VHPHPABCacbkNKMb

ba

acc

m

mn

kk

n

特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影，能直接判别直线的可见性。一般位置平面与特殊位置平面相交

求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题,由于特殊位置平面的某些投影有积聚性，交线可直接求出。nlmm

l

n

bacc

a

b

fkf

k

VHMmnlPBCacbPHkfFKNL判断平面的可见性b

bacnlmc

m

a

l

n

fkf

k

VHMmnlBCackfFKNL2.6.3垂直关系1.直线与平面垂直

若一直线垂直于平面内任意两条相交直线，则该直线垂直于这个平面；反之，若直线垂直平面，则该直线垂直于平面内的任意直线。几何条件：BACDPBC∈PBD∈PAB⊥PaBCAEFDGMKbcamkdfega'c'b'm'k'd'g'f'e'bcfemkdgXO

一直线垂直于平面，则直线的H面投影必垂直于该平面内水平线的H面投影；该直线的V面投影必垂直于该平面内的正平线的V面投影例

如图所示求D点到平面△EFG的距离。d′e′f′g′dfgeXO分析：

由点D向平面△EFG作垂线，垂线的实长即是点到平面的距离。3.用求一般直线与一般平面交点的方法（辅助平面法）求出垂足K（k、k

）。作图步骤：1.在平面△EFG内作正平线G2，及水平线E1。2.由D点作平面△EFG的垂线DM。4.用直角三角形法求出DK的实长。d′e′f′g′dfgeXO22′1′1m′mPH

k′k△y△yDK实长2.平面与平面垂直

若一直线垂直于一平面，则包含这条直线的一切平面都垂直于该平面。反之，若两平面互相垂直，必定能在一个平面内作出与另一个平面垂直的直线。几何条件：MNSQRP∵MN⊥P∴S⊥P

R⊥P

Q⊥P例

如图所示，已知正垂面ABCD及E点，过E点作一平面垂直于平面ABCD。Xe′ea′ab′bc′cd′dfg′g2.过E点任作一直线EG。由EF、EG两相交直线所决定的平面一定垂直于平面ABCD。作图步骤：1.过E点作直线EF垂直于平面ABCD，EF必定为正平线，即为e

f

⊥a

b

c

d

，ef//OX轴。Of′2.7换面法2.7.1基本概念如何求一般位置直线的实长？如何求一般位置平面的真实大小？

换面法：物体本身在空间的位置不动，而用某一新投影面（辅助投影面）代替原有投影面，使物体相对新的投影面处于解题所需要的有利位置，然后将物体向新投影面进行投射。解决方法：更换投影面。VHXABa'b'ab

老投影体系V/H新投影面V1新投影体系V1/HX1新轴老轴a1'b1'新投影被替换的投影被保留的投影被保留的投影面被替换的投影面VHABa

b

ab新投影面的选择原则1.新投影面必须对空间物体处于最有利的解题位置。

平行于新的投影面

垂直于新的投影面2.新投影面必须垂直于某一保留的原投影面，以构成一个相互垂直的两投影面的新体系。Pa1b1VHAa

a

axX

⒈点的一次变换

旧投影体系X—VH

新投影体系P1HX1—A点的两个投影：a，a

A点的两个投影：a，a1⑴新投影体系的建立2.7.2点的换面X1P1a1ax1

VHXP1HX1a

aa1

axax1.ax1

VHXP1HX1a

aa1VHA

a

axXX1P1a1ax1

⑵新旧投影之间的关系

aa1

X1

a1ax1=a

ax

点的新投影到新投影轴的距离等于被代替的投影到原投影轴的距离。axa

一般规律：

点的新投影和与它有关的原投影的连线，必垂直于新投影轴。.

XVHaa

ax更换H面⑶求新投影的作图方法

VHXP1HX1

由点的不变投影向新投影轴作垂线，并在垂线上量取一段距离，使这段距离等于被代替的投影到原投影轴的距离。aa

X1P1H

a1axax1ax1更换V面●a1作图规律：

..⒉点的一次变换先把V面换成平面P1，P1H，得到中间新投影体系:P1HX1—再把H面换成平面P2，P2

P1，得到新投影体系:X2—P1P2⑴新投影体系的建立按次序更换AaVHa

axXX1P1a1ax1

P2X2

ax2a2

ax2

a

aXVH

⑵求新投影的作图方法

a2X1HP1X2P1P2

作图规律

a2a1X2轴

a2ax2=aax1a1

axax1

..VHABa

b

ab2.7.3直线的换面1.把一般位置直线变换成投影面平行线用P1面代替V面，在P1/H投影体系中，AB//P1。X1HP1P1a1b1空间分析：作图：例：求直线AB的实长及与H面的夹角。a

b

abXVH新投影轴的位置？a1●b1●与ab平行。

.2将投影面的平行线变换为投影面的垂直线功用:一次换面后可用于求点与直线,两直线间的距离等。问题的关键：新轴要垂直于反映实长的那个投影。X1VHXABa'b'abH1a1'b1'

X1H1Va1b1XVHaba'b'a1●b1●VHa

aXBb

bA3.把一般位置直线变换成投影面垂直线空间分析：a

b

abXVHX1H1P1P1P2X2作图：X1P1a1b1X2P2二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线。X2轴的位置？

a2b2ax2a2b2

.与a1b1垂直一次换面把直线变成投影面平行线；a'b'XVHcabX1HV1b1'c1'a1'c'ee1´例:

已知等腰三角形ABC的底边为AB，试用换面法求出等腰三角形ABC的正面投影。功用：可求解平面与投影面的倾角，点与平面的距离，两平行面间的距离等。4.把一般位置平面变换成投影面垂直面问题的关键：在平面上作一条投影面平行线，新轴必须垂直与该平行线反映实长的那个投影。

一般位置直线变换成投影面垂直线，需经几次变换？a

b

c

abcdVHABCDXd

如果把平面内的一条直线变换成新投影面的垂直线，那么该平面则变换成新投影面的垂直面。P1X1c1b1a1

d1空间分析：

在平面内取一条投影面平行线，经一次换面后变换成新投影面的垂直线，则该平面变成新投影面的垂直面。作图方法：能否只进行一次变换？

思考：若变换H面，需在面内取什么位置直线？正平线！αa

b

c

acbXVH例：把三角形ABC变换成投影面垂直面。HP1X1作图过程：★在平面内取一条水平线AD。d

d★将AD变换成新投影面的垂直线。d1●a1d1●c1●

反映平面对哪个投影面的夹角？.5.将投影面的垂直面变成投影面的平行面功用：一次换面后可求解平面实形、形心、两直线交角等

问题的关键：新投影轴必须平行于该平面的积聚性投影。Vb'a'c'HV1ABCbaa1'c1'b1'X1ca1

b1●一次换面,把一般位置平面变换成新投影面的垂直面；二次换面，再变换成新投影面的平行面。X2P1P26.把一般位置平面变换成投影面平行面aba

c

b

XVHc作图：AB是水平线a2●c2●b2●c1●X2轴的位置？平面的实形.X1HP1.与其平行XVHedcd'e'c'a'b'a1b1X1VH1c1e1d1ba20mm例:已知直线AB与CDE平面平行，且相距20mm，求直线AB的水平投影。1、求直线实长和与投影面的倾角将直线变换成投影面的平行线。2、求平面实形和形心将平面变换成投影面的平行面。3、求平面与投影面的倾角将平面变换成投影面的垂直面。4、求距离（1）点与直线之间

a将直线变换成投影面垂直线。

b将点与直线组成的平面变换成投影面的平行面。换面法的应用（2）点与平面之间将平面变换成投影面垂直面。（3）两平行线之间将两直线变换成投影面垂直线。（4）两平行平面之间将两平面变换成投影面垂直面。

5、求夹角（1）两直线之间将两直线组成的平面变换成投影面平行面。（2）两平面之间将两平面变换成投影面的垂直面，即应将两平面的交线变换成投影面的垂直线。b1

距离dd1X1HP1X2P1P2c2

d

例：求点C到直线AB的距离，并求垂足D。c

c