2025-2026学年湖北省孝感市孝南区九年级（上）期中数学试卷（原卷版+答案版）

2025-2026学年湖北省孝感市孝南区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的）1．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，如图四幅作品分别代表“立春”，“立夏”，“芒种”，“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．已知方程，下列说法错误的是（）A．二次项是 B．一次项系数是3 C．常数项是1 D．是它的一个根3．抛物线的顶点坐标是（）A． B． C． D．4．二次函数的图象向下平移2个单位后得到函数解析式为（）A． B． C． D．5．如图，将△绕点逆时针旋转得到△，若点在线段的延长线上，则的度数为（）A． B． C． D．6．方程的左边配成完全平方后所得方程为（）A． B． C． D．7．已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如表，则方程的一个解的范围是（）11.11.21.31.40.040.591.16A． B． C． D．8．已知二次函数的图象上有三点，，，则、、的大小关系为（）A． B． C． D．9．如图是一个三角形点阵，从上到下有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，第三行有3个，若前行的点数之和为55，则的值为（）A．9 B．10 C．11 D．1210．如图，已知二次函数的部分图象与轴的正半轴的交点位于和之间（不包含端点），对称轴为直线．以下结论一定正确的是（）A． B． C． D．为任意实数）二、填空题（每题3分，共计15分）11．请写出一个过点且开口向上的二次函数解析式．12．已知是关于的方程的一个根，则的值是．13．如图，直线与轴、轴分别相交于点，，将绕点逆时针方向旋转得到，则点的坐标为．14．廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为8米的点，处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离是米．15．如图，在△中，，将△绕点顺时针旋转得到△，的平分线交的延长线于点，连接，若，，则的长为．三、解答题（共9小题，共75分）16．解下列一元二次方程：（1）；（2）．17．如图，是等边△内一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，．求证：△△．18．已知函数是二次函数；（1）求的值；（2）写出这个二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．19．某小区为了美化环境，准备在一块长30米，宽20米的长方形场地上修筑两条宽度相等且互相垂直的道路，余下的部分作为草坪（图中阴影部分），若草坪的面积是551平方米，求道路的宽度．20．在平面直角坐标系中，，，．（1）画出△关于原点对称的△，并写出的坐标；（2）画出△绕点顺时针旋转后得到的△，并写出的坐标．21．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．（1）求的取值范围；（2）若此方程的两根分别为，，且，求的值．22．某市交警部门提醒骑电动车出行的市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出25个，六月份售出36个，且从四月份到六月份月增长率相同．（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；（2）经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为40个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少2个．①若要使七月份销售利润达到432元，且尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？②该品牌头盔每个涨价多少元时，月销售利润最大？最大利润是多少？23．在△中，，将△绕点旋转得到△，直线与直线相交于点．（1）如图1，当点落在线段上时，求证：；（2）如图2，当点落在线段上时，且，，当时，求线段的长；（3）如图3，当点落在的延长线上，且时，连接，，判断线段与的数量关系，并说明理由．24．如图1，抛物线与轴交于、两点，与轴交于，已知点坐标为，点坐标为，点为抛物线上的一个点，其横坐标为．（1）求抛物线的表达式；（2）若点为直线上方抛物线上的一个点，连接，，当四边形的面积最大时，求出点的坐标；（3）过点作轴，交直线于，记的长为，点到轴的距离为，且．①求与的函数解析式；②当时，直接写出的值．

参考答案一．选择题（共10小题）题号12345678910答案DBCBAABDBC二、填空题（每题3分，共计15分）11．请写出一个过点且开口向上的二次函数解析式．12．已知是关于的方程的一个根，则的值是．13．如图，直线与轴、轴分别相交于点，，将绕点逆时针方向旋转得到，则点的坐标为．【答案】．14．廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为8米的点，处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离是米．15．如图，在△中，，将△绕点顺时针旋转得到△，的平分线交的延长线于点，连接，若，，则的长为5．【答案】5．三、解答题（共9小题，共75分）16．解下列一元二次方程：（1）；（2）．【答案】（1），；（2），．17．如图，是等边△内一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，．求证：△△．【答案】见详解．18．已知函数是二次函数；（1）求的值；（2）写出这个二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．【答案】（1）；（2）开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为．19．某小区为了美化环境，准备在一块长30米，宽20米的长方形场地上修筑两条宽度相等且互相垂直的道路，余下的部分作为草坪（图中阴影部分），若草坪的面积是551平方米，求道路的宽度．【答案】道路的宽度为1米．20．在平面直角坐标系中，，，．（1）画出△关于原点对称的△，并写出的坐标；（2）画出△绕点顺时针旋转后得到的△，并写出的坐标．【答案】（1）△关于原点对称的△，如图1即为所求；；（2）△绕点顺时针旋转后得到的△，如图2即为所求；．21．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．（1）求的取值范围；（2）若此方程的两根分别为，，且，求的值．【答案】（1）；（2）．22．某市交警部门提醒骑电动车出行的市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出25个，六月份售出36个，且从四月份到六月份月增长率相同．（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；（2）经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为40个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少2个．①若要使七月份销售利润达到432元，且尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？②该品牌头盔每个涨价多少元时，月销售利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为；（2）①该品牌头盔每个应涨价2元；②该品牌头盔每个涨价5元时，月销售利润最大为450元．23．在△中，，将△绕点旋转得到△，直线与直线相交于点．（1）如图1，当点落在线段上时，求证：；（2）如图2，当点落在线段上时，且，，当时，求线段的长；（3）如图3，当点落在的延长线上，且时，连接，，判断线段与的数量关系，并说明理由．【答案】（1）连接，由旋转的性质知，，，在△与△，△△，；（2）2；（3），，，，，由旋转可得：△△，，，，，，，，在△与△中，，△△，．24．如图1，抛物线与轴交于、