湖南省衡阳市衡阳县第五中学2026-2027学年高二（上）月考数学试卷（9月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年湖南省衡阳市衡阳县第五中学高二（上）月考数学试卷（9月份）一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.在空间直角坐标系O-xyz中，点（1，-2，3）关于y轴的对称点为（）A.（-1，-2，-3） B.（-1，2，-3） C.（-1，-2，3） D.（1，2，3）2.已知过原点的直线l与圆C：（x-2）2+y2=1相交，则直线l的斜率的取值范围为（）A. B. C. D.3.已知是直线l的方向向量，直线l经过点P（-1，0，1），则点Q（2，4，6）到直线l的距离为（）A. B. C. D.4.设a＜0，两直线x-a2y+1=0与（a2+1）x+by+3=0垂直，则ab的最大值为（）A.-2 B.-1 C.1 D.25.已知向量，，则=（）A. B. C. D.6.在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），B（0，2），圆C：（x-a）2+y2=1.若圆C上存在点M，使得|MA|2+|MB|2=12，则实数a的值不可能是（）A.-1 B.0 C. D.-27.如图，在圆锥PO中，点A，B在底面圆周上，点C，D分别是母线PA，PB的中点，，记，则=（）A.

B.

C.

D.

8.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA=BC，E，F分别为CD，PC的中点，则直线PE与平面ABF所成角的正弦值为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.已知向量，，则下列结论中正确的是（）A.若，则

B.若，则m=-1

C.不存在实数λ，使得

D.若，则10.已知圆O：x2+y2=1，圆，则（）A.无论k取何值，圆心Ck始终在直线上

B.若圆O与圆Ck有公共点，则实数k的取值范围为

C.若圆O与圆Ck的公共弦长为，则k=±1或

D.与两个圆都相切的直线叫做这两个圆的公切线，如果两个圆在公切线的同侧，则这条公切线叫做这两个圆的外公切线，当时，两圆的外公切线长为11.如图，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC，AD⊥AB，AE=BC=2.AB=AD=1，，则（）A.BD⊥EC

B.BF∥平面ADE

C.平面EBD与平面ABCD夹角的余弦值为

D.直线CE与平面BDE所成角的正弦值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知圆C1：（x+2）2+（y+3）2=r2（r＞0）与圆C2：（x-1）2+（y-1）2=1没有公共点，则r的取值范围是

.13.设点A（-2，3），B（0，a），若直线AB关于y=a对称的直线与圆（x+3）2+（y+2）2=1有公共点，则a的取值范围是

．14.如图，棱长为3的正方体的顶点A在平面α上，三条棱AB，AC，AD都在平面α的同侧，若顶点B，C到平面α的距离分别为，，则顶点D到平面α的距离是

.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知圆C：（x-6）2+（y-9）2=100，点A坐标为（0，-1），B为圆C上动点，AB中点为M．

（1）当点B在圆C上动时，求点M的轨迹方程；

（2）过点（0，-2）的直线l与M的轨迹相交于P，Q两点，且|PQ|=8，求直线l的方程．16.(本小题15分)已知直线的方程为，若直线在轴上的截距为，且.（1）求直线和的交点坐标；（2）已知直线经过与的交点，且与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为，求直线的方程.17.(本小题15分)

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=AA1=2，点E，F分别为棱AB，A1B1的中点.

（1）求证：AF∥平面B1CE；

（2）求直线C1E与直线AF的夹角的余弦值；

（3）求点F到平面B1C1E的距离.18.(本小题17分)

如图，在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=AB=AC=1，点E是PD的中点.

（1）求证：AC⊥PB；

（2）求二面角E-AC-B的大小.19.(本小题17分)

如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=2，CC1=3，点D，E分别在棱AA1和棱CC1上，且AD=1，CE=2，M为棱A1B1中点.

（1）求证：C1M⊥B1D；

（2）求直线AB与平面DEB1所成角的正弦值；

（3）在线段AB上是否存在点H，使得平面DEB1与平面HEB1所成角的余弦值为？若存在，求出AH的长度；若不存在，请说明理由.

1.【答案】A

2.【答案】B

3.【答案】B

4.【答案】A

5.【答案】A

6.【答案】D

7.【答案】D

8.【答案】C

9.【答案】ACD

10.【答案】ACD

11.【答案】BCD

12.【答案】（0，4）∪（6，+∞）

13.【答案】[，]

14.【答案】

15.【答案】解：（1）设M（x,y），B（x0，y0），则由点B在圆C上，则（x0-6）2+（y0-9）2=100，

又由中点公式得，解得，

代入上式得，（2x-6）2+（2y+1-9）2=100，化简得：（x-3）2+（y-4）2=25，

故线段AB的中点Q的轨迹方程为（x-3）2+（y-4）2=25；

（2）由（1），得M的轨迹是以（3，4）为圆心，5为半径的圆．

过点（0，-2）的直线l与M的轨迹相交于P，Q两点，且|PQ|=8，可得圆心到直线的距离为d==3．

当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=0，圆心到直线的距离为3，符合题意，

当直线l的斜率存在，设直线的方程为y=kx-2，即kx-y-2=0，

圆心到直线的距离d==3，解得k=，故直线l的方程为3x-4y-8=0．

综上所述：直线l的方程为x=0或3x-4y-8=0．

16.【答案】解：（1）直线l1的方程为2x+2y-5=0，故它的斜率为-1，

若直线l2在y轴上的截距为，且l1⊥l2，则直线l2的斜率为1，

故直线l2在的方程为y=x+．

由，求得，可得直线l1和l2的交点坐标为（1，）．

（2）由题意，直线l3的斜率存在，设为k,则直线l3的方程为y-=k（x-1），

它与两坐标轴的交点为（0，-k）、（1-，0），

且-k＞0，1-＞0．

根据直线l3与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为=•（-k）•（1-），

求得k=-1，

可得直线l3的方程为x+y-=0．

17.【答案】（1）证明：由直三棱柱的性质知，AB∥A1B1，AB=A1B1，

因点E，F分别为棱AB，A1B1的中点，

所以AE∥B1F，AE=B1F，

所以四边形AEB1F是平行四边形，所以AF∥B1E，

又AF⊄平面B1CE，B1E⊂平面B1CE，

所以AF∥平面B1CE．

（2）解：由题意知，AB，AC，AA1两两垂直，

故以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则A（0，0，0），C1（0，2，2），E（1，0，0），F（1，0，2），

所以，，

所以cos＜，＞===-，

故直线C1E与直线AF的夹角的余弦值为．

（3）解：由（2）知B1（2，0，2），，

所以，，

设平面B1C1E的法向量为，则，

令z=1，则，

故点F到平面B1C1E的距离．

18.【答案】证明：由题意可知AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，

以A为坐标原点，以AC，AB，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系A-xyz，

因为PA=AB=AC=1，所以A（0，0，0），B（0，1，0），C（1，0，0），P（0，0，1），

所以，

即，

因此，故可知AC⊥PB；

19.【答案】解：（1）证明：由题意知，CC1⊥CB，CC1⊥CA，AC⊥CB，

则以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则C（0，0，0），C1（0，0，3），B1（0，2，3），D（2，0，1），M（1，1，3），

所以，

因为，所以C1M⊥B1D．

（2）由（1）得，C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C1（0，0，3），B1（0，2，3），D（2，0，1），E（0，0，2），

所以，

设平面DEB1的法向量为，则，，

所以，令z=2，得x=1，y=-1，所以，

所以，

即AB与平面DEB1所成角的正弦值为．

（3）假设存在满足题意的点H，设（0