上海洋泾中学2025-2026学年高二下学期数学期末试卷（含答案）

洋泾中学2025-2026学年第二学期高二年级数学期末2026.6一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）

1．已知集合，则.

2．已知数列为等差数列，且，公差，则.

3．已知5株果树上的果实个数从小到大依次为：18，20，21，22，24，则5株果树上的果实个数的中位数为.

4．已知复数满足（i为虚数单位），则.

5．函数在处的切线斜率为.

6．已知4男5女排成一排，则男女互相间隔的排列方法共种.7．在的二项展开式中，项的系数为.

8．已知，且，则的值为.

9．直线的一个法向量是，则实数.

10．某商场要悬挂一个棱长为2米的正方体物件作为装饰，如图为该正方体的顶点，为三根直绳索，且均垂直于屋顶所在平面.若平面与平面平行，且点到的距离为2米，则直绳索的长度约为米（结果精确到0.01米）11．双曲线的左、右焦点分别为和，若以点为焦点的抛物线与在第一象限交于点，且，则的离心率为.

12．设，已知函数，若，且关于的方程的整数解有且仅有4个，则实数的取值范围是.

二、选择题（本大题共4小题，13－14题每题4分，15－16题每题5分，满分18分）13．＂＂是＂＂的（）条件

A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既非充分又非必要

14．已知，则的值为（）

A．2B．C．1D．

15．圆锥的底面半径为12，高为12，现于圆锥内放置一个圆柱，使圆柱的一个底面与圆锥的底面所在的平面重合，则该圆柱体积的最大值为（）

A．B．С．D．

16．对于函数，若自变量在区间上变化时，函数值的取值范围也恰为，则称区间是函数的保值区间，区间长度为．已知定义域为的函数，给出下列命题：①函数有且仅有4个保值区间；②函数的所有保值区间长度之和为．下列说法正确的是（）

A．结论①成立，结论②不成立B．结论①不成立，结论②成立C．两个结论都成立D．两个结论都不成立

三、解答题（共78分）

17．（本题满分14分，第（1）题6分，第（2）题8分）

已知函数．

（1）若，求方程的解；

（2）判断函数的奇偶性，并说明理由.

18．（本题满分14分，第（1）题6分，第（2）题8分）

在三棱锥中，平面分别是棱的中点，．

（1）求证：直线平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

19．（本题满分14分，第（1）题6分，第（2）题8分）

第七届中国国际进口博览会（简称进博会）于11月5日至10日在上海国家会展中心举行.为了解进博会参会者的年龄结构，某机构随机抽取了年龄在15－75岁之间的200名参会者进行调查，并按年龄绘制了频率分布直方图（如下图），分组区间为．把年龄落在区间内的人称为＂青年人＂，把年龄落在区间内的人称为＂中年人＂，把年龄落在内的人称为＂老年人＂．

（1）求实数的值并计算所抽取的＂青年人＂的人数；

（2）以分层抽样的方式从＂青年人＂＂中年人＂＂老年人＂中抽取10名参会者做访谈，发现其中男性共6人，这6人中有2人是＂中年人＂.再从这10名参会者中随机选取2人进行深入访谈.设事件表示2人均为＂中年人＂；事件表示2人中至少有1人为男性，判断事件与事件是否独立，并说明理由.

20．（本题满分18分，第（1）题4分，第（2）题6分，第（3）题8分）设椭圆的离心率是短轴长的倍，直线交于两点，是上异于的一点，是坐标原点．

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线过的右焦点，且，求的值；

（3）设直线的方程为，且，求的取值范围.

21．（本题满分18分，第（1）题4分，第（2）题6分，第（3）题8分）设函数的定义域为，值域．若且满足，则称与构成＂函数的线性对＂.

（1）若，判断与是否构成函数的线性对，并说明理由；

（2）若．若对于任意，都存在，使得与构成函数的线性对，求实数的取值范围；（3）函数是定义在上的奇函数，且满足：若与构成函数的线性对，则与也构成函数的线性对．求证：对任意.

洋泾中学2025-2026学年第二学期高二年级数学期末2026.6一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）

1．已知集合，则.【答案】

2．已知数列为等差数列，且，公差，则.【答案】6

3．已知5株果树上的果实个数从小到大依次为：18，20，21，22，24，则5株果树上的果实个数的中位数为.【答案】

4．已知复数满足（i为虚数单位），则.【答案】

5．函数在处的切线斜率为.【答案】

6．已知4男5女排成一排，则男女互相间隔的排列方法共种.【答案】7．在的二项展开式中，项的系数为.【答案】

8．已知，且，则的值为.【答案】

9．直线的一个法向量是，则实数.【答案】

10．某商场要悬挂一个棱长为2米的正方体物件作为装饰，如图为该正方体的顶点，为三根直绳索，且均垂直于屋顶所在平面.若平面与平面平行，且点到的距离为2米，则直绳索的长度约为米（结果精确到0.01米）【答案】11．双曲线的左、右焦点分别为和，若以点为焦点的抛物线与在第一象限交于点，且，则的离心率为.【答案】

12．设，已知函数，若，且关于的方程的整数解有且仅有4个，则实数的取值范围是.【答案】

二、选择题（本大题共4小题，13－14题每题4分，15－16题每题5分，满分18分）13．＂＂是＂＂的（）条件

A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既非充分又非必要

【答案】A14．已知，则的值为（）

A．2B．C．1D．【答案】C

15．圆锥的底面半径为12，高为12，现于圆锥内放置一个圆柱，使圆柱的一个底面与圆锥的底面所在的平面重合，则该圆柱体积的最大值为（）

A．B．С．D．【答案】D

16．对于函数，若自变量在区间上变化时，函数值的取值范围也恰为，则称区间是函数的保值区间，区间长度为．已知定义域为的函数，给出下列命题：①函数有且仅有4个保值区间；②函数的所有保值区间长度之和为．下列说法正确的是（）

A．结论①成立，结论②不成立B．结论①不成立，结论②成立C．两个结论都成立D．两个结论都不成立【答案】B

三、解答题（共78分）

17．（本题满分14分，第（1）题6分，第（2）题8分）

已知函数．

（1）若，求方程的解；

（2）判断函数的奇偶性，并说明理由.

【答案】（1）（2）奇函数【解析】（1），

或（舍），解得，

（2），定义域为关于原点对称，任取，则，，所以为奇函数18．（本题满分14分，第（1）题6分，第（2）题8分）

在三棱锥中，平面分别是棱的中点，．

（1）求证：直线平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】（1）依题平面．不在平面上，所以直线平面

（2）以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系

各点坐标为：，

由中点坐标得，向量，直线的方向向量取，设平面的法向量为，由，取得,设直线与平面所成角为，则．

19．（本题满分14分，第（1）题6分，第（2）题8分）

第七届中国国际进口博览会（简称进博会）于11月5日至10日在上海国家会展中心举行.为了解进博会参会者的年龄结构，某机构随机抽取了年龄在15－75岁之间的200名参会者进行调查，并按年龄绘制了频率分布直方图（如下图），分组区间为．把年龄落在区间内的人称为＂青年人＂，把年龄落在区间内的人称为＂中年人＂，把年龄落在内的人称为＂老年人＂．

（1）求实数的值并计算所抽取的＂青年人＂的人数；

（2）以分层抽样的方式从＂青年人＂＂中年人＂＂老年人＂中抽取10名参会者做访谈，发现其中男性共6人，这6人中有2人是＂中年人＂.再从这10名参会者中随机选取2人进行深入访谈.设事件表示2人均为＂中年人＂；事件表示2人中至少有1人为男性，判断事件与事件是否独立，并说明理由.【答案】（1）人（2），理由见解析【解析】（1）根据频率分布直方图的性质，所有组的频率和为1，组距为10，因此：，解得＂青年人＂年龄落在，对应的频率为：总人数为200，因此＂青年人＂的人数为．

（2）中年人总人数：，

老年人总人数：，分层抽样抽取10人，抽样比为，因此青年人4人，中年人5人，老年人1人，总选法：

事件为＂2人均为中年人＂，，因此，

事件为＂2人中至少1人为男性＂，对立事件为＂2人均为女性＂，，因此为＂2人均为中年人，且至少1人为男性＂，，因此,,

显然，因此事件与事件不独立．20．（本题满分18分，第（1）题4分，第（2）题6分，第（3）题8分）设椭圆的离心率是短轴长的倍，直线交于两点，是上异于的一点，是坐标原点．

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线过的右焦点，且，求的值；

（3）设直线的方程为，且，求的取值范围.

【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）由的离心率是短轴的长的倍，得，即，

又，则，故椭圆的方程为．

（2）设的左焦点为，连接，因为，所以点关于点对称，又，则，三角形与三角形全等，则，

又，化简整理得，，则（3）设，又，则，

由得,,

由韦达定理得，，又，则，因为点在椭圆上，所以，化简整理得，，

此时，，

则令，即，则，则的取值范围是．21．（本题满分18分，第（1）题4分，第（2）题6分，第（3）题8分）设函数的定义域为，值域．若且满足，则称与构成＂函数的线性对＂.

（1）若，判断与是否构成函数的线性对，并说明理由；

（2）若．若对于任意，都存在，使得与构成函数的线性对，求实数的取值范围；（3）函数是定义在上的奇函数，且满足：若与构成函数的线性对，则与也构成函数的线性对．求证：对任意.

【答案】（1）是，理由见解析；（2）（3）证明见解析【解析