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文档简介

第2章解析函数的积分

§2.1复变函数的积分

§2.2柯西积分定理§2.3不定积分§2.4柯西积分公式

重点内容:

(1)柯西积分定理(单、复连通区域);

(2)柯西积分公式(单、复连通，无界区域);

(3)高阶导数公式及其应用;

一、

复变函数的积分若函数在给定的光滑或逐段光滑曲线L上有定义，L是以a为起点，b为终点的一条有向曲线；把L曲线任意分成n个小弧段，设分点依次为

§2.1复变函数的积分在某小弧段上任意取一点

，并作和

其中，

当n无限增大，无论L的分法如何，S都有唯一的极限存在，那么称这个极限值为函数沿曲线L的积分。

记作，即

称之为复变函数的积分，简称复积分。

闭合环路积分

当L为封闭曲线时，那么沿L的积分为

称为复变函数的闭合环路积分（简称环路积分）

为了方便，我们还可以在积分中标出环路积分的方向沿逆时针方向积分沿顺时针方向积分

如果、都用代数式表示，即由曲线积分的定义得到

于是，复变函数的路积分可以归结为两个实变函数的曲线积分。(1)若沿L可积，且L由L1和L2连接而成，则

(2)常数因子可以提到积分号外，即(3)函数和（差）的积分等于各函数积分的和（差），即

二、复积分的基本性质(4)若积分曲线的方向改变，则积分值改变符号，即(5)积分的模不大于被积表达式模的积分，即表示弧长的微分，即

(6)积分估值定理若沿曲线L连续，且在L上满足，则

其中，l为曲线L的长度。【证明】又在上恒有，则所以

三、复积分的计算典型实例

例2.1计算，其中C为从原点到点3+4i的直线段。【解一】

【解二】

直线的方程可写成因此于是有

（1,1）（1,0）（1,1）（0,0）（0,0）xxyy【解】

（1）

直线的方程可写成因此于是有

（1,1）（0,0）x【解】

（2）分两段（1,0）（1,1）（0,0）x

一、单连通区域的柯西积分定理

早在1825年，柯西给出了如下定理，它是复变函数论中的一条基本定理，现称为柯西积分定理（简称柯西定理）．

定理2.2.1（柯西积分定理）如果函数在单连通区域内及其边界线L上解析（即为在单连通闭区域解析），那么函数沿边界L或区域内任意闭曲线的积分为零，即

或

§2.2柯西积分定理

证明：由于函数

在闭区域解析

故函数的导数即在区域内部及其边界存在，根据格林定理有

推论1：设函数在单连通区域内解析，是内任意闭曲线，则

推论2：解析函数积分与路径无关如果函数f(z)在单连通区域D内处处解析，则积分与连接起点和终点的路径无关。二、复连通区域的柯西定理或采用另一种形式表示为证明:

设L和为复连通区域内的内外边界，做割线连接内外边界，复通区域变为单通区域，则对于区域中的解析函数f(z)，有或LC1BAA’BB’

总结：

(1)在闭单连通区域中的解析函数，沿边界线或区域内任一闭合曲

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