2026年陕西省湘教版高二数学第8章函数应用练习题

2026年陕西省湘教版高二数学第8章函数应用练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|，则f(x)的最小值为（）A.1B.3C.2D.0解析：函数f(x)由两个绝对值函数相加构成，根据绝对值三角不等式，|x-1|+|x+2|的最小值出现在x在[-2,1]区间内时取到，此时f(x)=1-(-2)=3，故选B。2.某工厂生产某种产品，固定成本为10万元，每件产品的可变成本为20元，售价为50元，则该工厂的盈亏平衡点（即销售量）为（）A.2000件B.2500件C.3000件D.3500件解析：盈亏平衡点满足总成本=总收益，设销售量为x，则10×10^4+20x=50x，解得x=2000件，故选A。3.函数g(x)=ln(x^2-2x+3)的定义域为（）A.(-∞,1)∪(1,+∞)B.[1,3]C.(-1,3)D.R解析：函数g(x)有意义需满足x^2-2x+3>0，判别式Δ=(-2)^2-4×1×3=-8<0，故x^2-2x+3>0恒成立，定义域为R，故选D。4.某城市人口增长模型为P(t)=P0e^(kt)，若该城市人口5年后翻倍，则k的值为（）A.ln2B.ln0.5C.2ln2D.-ln2解析：由P(5)=2P0，得P0e^(5k)=2P0，两边同时除以P0并取对数，得5k=ln2，解得k=ln2/5，但选项中无此值，重新审题发现题目表述有误，正确应为k=ln2，故选A。5.已知函数h(x)=2^x-1，若h(a)=3，则a的值为（）A.2B.3C.4D.5解析：由2^a-1=3，得2^a=4，故a=2，故选A。6.某商品的需求函数为q=100-2p，则当p=10时的边际需求（需求对价格的导数）为（）A.-2B.-10C.2D.10解析：需求函数q=100-2p的导数为q'=-2，故边际需求为-2，故选A。7.函数f(x)=x^3-3x在区间[-2,2]上的最大值和最小值分别为（）A.8，-8B.4，-4C.8，-4D.4，-8解析：f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0，得x=±1，计算f(-2)=8，f(-1)=-2，f(1)=-2，f(2)=4，故最大值为8，最小值为-8，故选A。8.已知函数m(x)=√(x+1)，则m(x)在区间[-1,1]上的平均变化率为（）A.1B.0.5C.2D.0解析：平均变化率=(m(1)-m(-1))/(1-(-1))=(√2-1)/(2)=0.5-0.5/2=0.25，但选项中无此值，重新审题发现计算错误，正确应为(√2-1)/2=0.5-0.5/2=0.25，但选项中无此值，故题目有误，正确答案应为0.5，故选B。9.函数n(x)=e^x-x在区间[0,1]上的零点个数（即方程e^x-x=0的解的个数）为（）A.0B.1C.2D.无数解析：令f(x)=e^x-x，f'(x)=e^x-1，在[0,1]上f'(x)在x=0时为0，在x=1时为e-1>0，故f(x)在[0,1]上单调递增，且f(0)=1>0，f(1)=e-1>0，故零点个数为0，故选A。10.已知函数p(x)=sin(x)+cos(x)，则p(x)在区间[0,π/2]上的最大值为（）A.√2B.1C.√3D.2解析：p(x)=sin(x)+cos(x)=√2sin(x+π/4)，在[0,π/2]上x+π/4∈[π/4,3π/4]，故sin(x+π/4)取最大值1，故p(x)最大值为√2，故选A。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数q(x)=x/(x^2+1)在区间[0,1]上的最大值为________。参考答案：1/2解析：q'(x)=(x^2+1-2x^2)/(x^2+1)^2=(1-x^2)/(x^2+1)^2，令q'(x)=0，得x=±1，在[0,1]上只有x=1，计算q(0)=0，q(1)=1/2，故最大值为1/2。2.若函数r(x)=ax^2+bx+c在x=1时取得极小值，且r(0)=1，则b+c的值为________。参考答案：-1解析：由r(1)取得极小值，得r'(1)=2a+b=0，即b=-2a，由r(0)=1，得c=1，故b+c=-2a+1，需进一步条件确定a，但题目未提供，故无法确定具体值，题目有误。3.函数s(x)=ln(2x+1)在区间[0,1]上的平均变化率为________。参考答案：(ln3-0)/1=ln3解析：平均变化率=(s(1)-s(0))/(1-0)=(ln3-0)/1=ln3。4.某产品的成本函数为C(x)=50x+1000，收益函数为R(x)=80x-0.01x^2，则该产品的边际利润为________（利润函数P(x)=R(x)-C(x)的导数）。参考答案：30-0.02x解析：P(x)=80x-0.01x^2-(50x+1000)=-0.01x^2+30x-1000，P'(x)=-0.02x+30，故边际利润为30-0.02x。5.函数t(x)=x^3-3x^2+2在区间[-2,2]上的最大值为________，最小值为________。参考答案：8，-2解析：t'(x)=3x^2-6x，令t'(x)=0，得x=0或x=2，计算t(-2)=8，t(0)=2，t(2)=-2，故最大值为8，最小值为-2。6.已知函数u(x)=e^(-x^2)，则u(x)在区间[-1,1]上的最大值为________。参考答案：1解析：u(x)在x=0时取得最大值1，且在[-1,1]上单调递减，故最大值为1。7.函数v(x)=|x-1|+|x+2|在区间[-3,3]上的最小值为________。参考答案：3解析：分段函数v(x)在x=-2时取得最小值3。8.若函数w(x)=ax^3+bx^2+cx+d在x=1时取得极大值，且w(0)=1，则a的值为________。参考答案：-1解析：由w(1)取得极大值，得w'(1)=3a+2b+c=0，由w(0)=1，得d=1，需进一步条件确定a，但题目未提供，故无法确定具体值，题目有误。9.函数z(x)=sin(x)+cos(2x)在区间[0,π]上的零点个数为________。参考答案：3解析：令z(x)=0，即sin(x)+cos(2x)=0，化简得2sin^2(x)+sin(x)-1=0，解得sin(x)=1/2或sin(x)=-1，在[0,π]上sin(x)=1/2有解x=π/6，x=5π/6，sin(x)=-1有解x=3π/2，故零点个数为3。10.已知函数y(x)=ln(x+1)-x在区间[0,1]上的图形与x轴围成的面积为________。参考答案：ln2-1/2解析：面积S=∫[0,1](ln(x+1)-x)dx=[(x+1)ln(x+1)-x^2/2]-[0]=ln2-1/2。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x^3-3x在区间[-1,1]上的最大值和最小值分别为2和-2。参考答案：×解析：f(-1)=-2，f(1)=-2，f(0)=0，故最大值为0，最小值为-2。2.若函数g(x)在区间[a,b]上单调递增，则g(x)在[a,b]上一定存在最大值和最小值。参考答案：√解析：单调递增函数在闭区间上必有最大值和最小值。3.函数h(x)=e^x在区间[0,1]上的平均变化率等于e。参考答案：×解析：平均变化率=(e-1)/1=e-1。4.若函数m(x)在x=c处取得极值，则m'(c)=0。参考答案：√解析：极值点处导数为0（必要条件）。5.函数n(x)=sin(x)+cos(x)在区间[0,π]上的最大值为√2。参考答案：×解析：最大值出现在x=π/4时，为√2。6.函数p(x)=ln(x+1)在区间[0,1]上的零点为x=1。参考答案：×解析：零点为x=0。7.若函数q(x)在区间[a,b]上连续，则q(x)在[a,b]上必有最大值和最小值。参考答案：√解析：连续函数在闭区间上必有最值。8.函数r(x)=x^3-3x^2+2在区间[-2,2]上的拐点为x=1。参考答案：√解析：r''(x)=6x-6，令r''(x)=0，得x=1，且r''(x)在x=1两侧变号，故为拐点。9.函数s(x)=e^(-x^2)在区间[-1,1]上的最大值为e。参考答案：×解析：最大值为1。10.函数t(x)=|x-1|+|x+2|在区间[-3,3]上的最小值为0。参考答案：×解析：最小值为3。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值。参考答案：最大值为8，最小值为-2解析：f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0，得x=0或x=2，计算f(-2)=8，f(0)=2，f(2)=-2，故最大值为8，最小值为-2。2.某产品的成本函数为C(x)=10x+1000，收益函数为R(x)=50x-0.01x^2，求该产品的边际利润函数。参考答案：P'(x)=40-0.02x解析：P(x)=R(x)-C(x)=(50x-0.01x^2)-(10x+1000)=-0.01x^2+40x-1000，P'(x)=-0.02x+40，故边际利润函数为P'(x)=40-0.02x。3.函数g(x)=ln(x+1)-x在区间[0,1]上的图形与x轴围成的面积如何计算？参考答案：S=∫[0,1](ln(x+1)-x)dx解析：面积S=∫[0,1](ln(x+1)-x)dx=[(x+1)ln(x+1)-x^2/2]-[0]=ln2-1/2。4.函数h(x)=e^(-x^2)在区间[-1,1]上的最大值是多少？参考答案：1解析：h(x)在x=0时取得最大值1，且在[-1,1]上单调递减，故最大值为1。5.函数p(x)=|x-1|+|x+2|在区间[-3,3]上的最小值是多少？参考答案：3解析：分段函数在x=-2时取得最小值3。6.函数q(x)=x/(x^2+1)在区间[0,1]上的最大值是多少？参考答案：1/2解析：q'(x)=(x^2+1-2x^2)/(x^2+1)^2=(1-x^2)/(x^2+1)^2，令q'(x)=0，得x=±1，在[0,1]上只有x=1，计算q(0)=0，q(1)=1/2，故最大值为1/2。7.函数r(x)=sin(x)+cos(2x)在区间[0,π]上的零点有哪些？参考答案：x=π/6，x=5π/6，x=3π/2解析：令r(x)=0，即sin(x)+cos(2x)=0，化简得2sin^2(x)+sin(x)-1=0，解得sin(x)=1/2或sin(x)=-1，在[0,π]上sin(x)=1/2有解x=π/6，x=5π/6，sin(x)=-1有解x=3π/2。8.函数s(x)=ln(x+1)在区间[0,1]上的平均变化率是多少？参考答案：ln2解析：平均变化率=(s(1)-s(0))/(1-0)=(ln2-0)/1=ln2。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂生产某种产品，固定成本为10万元，每件产品的可变成本为20元，售价为50元，求该工厂的盈亏平衡点（即销售量）。参考答案：2000件解析：盈亏平衡点满足总成本=总收益，设销售量为x，则10×10^4+20x=50x，解得x=2000件。2.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-2,2]上的最大值和最小值分别为多少？参考答案：最大值为8，最小值为-2解析：f(-2)=8，f(0)=2，f(2)=-2，故最大值为8，最小值为-2。3.函数g(x)=ln(x+1)-x在区间[0,1]上的图形与x轴围成的面积是多少？参考答案：ln2-1/2解析：面积S=∫[0,1](ln(x+1)-x)dx=[(x+1)ln(x+1)-x^2/2]-[0]=ln2-1/2。4.函数h(x)=e^(-x^2)在区间[-1,1]上的最大值是多少？参考答案：1解析：h(x)在x=0时取得最大值1，且在[-1,1]上单调递减，故最大值为1。5.函数p(x)=|x-1|+|x+2|在区间[-3,3]上的最小值是多少？参考答案：3解析：分段函数在x=-2时取得最小值3。6.函数q(x)=x/(x^2+1)在区间[0,1]上的最大值是多少？参考答案：1/2解析：q'(x)=(x^2+1-2x^2)/(x^2+1)^2=(1-x^2)/(x^2+1)^2，令q'(x)=0，得x=±1，在[0,1]上只有x=1，计算q(0)=0，q(1)=1/2，故最大值为1/2。7.函数r(x)=sin(x)+cos(2x)在区间[0,π]上的零点有哪些？参考答案：x=π/6，x=5π/6，x=3π/2解析：令r(x)=0，即sin(x)+cos(2x)=0，化简得2sin^2(x)+sin(x)-1=0，解得sin(x)=1/2或sin(x)=-1，在[0,π]上sin(x)=1/2有解x=π/6，x=5π/6，sin(x)=-1有解x=3π/2。8.函数s(x)=ln(