2026年江苏省北师大版高一数学第10章数列练习题

2026年江苏省北师大版高一数学第10章数列练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_3=7，a_7=15，则该数列的通项公式a_n等于（）A.2n+1B.3n-2C.4n-5D.5n-10解析：由等差数列性质a_7=a_3+4d，代入a_3=7，a_7=15得4d=8，即d=2。通项公式a_n=a_1+(n-1)d，又a_1=a_3-2d=3，故a_n=3+2(n-1)=2n+1。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=3^n-1，则b_5的值为（）A.242B.243C.244D.245解析：当n≥2时，b_n=S_n-S_{n-1}=3^n-1-(3^{n-1}-1)=2×3^{n-1}。验证n=1时S_1=2符合，故b_5=2×3^4=162。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=c_n+2n，则c_10的值为（）A.190B.200C.210D.220解析：由递推关系c_{n+1}=c_n+2n，得c_2=c_1+2，c_3=c_2+4，…，c_{10}=c_1+2+4+…+18=1+2×(1+2+…+9)=1+2×45=91。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，则该数列的公比q等于（）A.3B.4C.5D.6解析：由等比数列性质d_4=d_2q^2，代入d_2=6，d_4=54得q^2=9，故q=3。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，则e_3的值为（）A.9B.10C.11D.12解析：当n≥2时，e_n=T_n-T_{n-1}=n^2+n-[(n-1)^2+(n-1)]=2n-1。验证n=1时e_1=2符合，故e_3=2×3-1=5。6.若数列{f_n}的前n项和为S_n=2^n-1，则数列{f_n+1}的前n项和为（）A.2^{n+1}-1B.2^{n+1}-2C.2^{n+2}-1D.2^{n+2}-2解析：f_n=S_n-S_{n-1}=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^{n-1}，故f_{n+1}=2^n。新数列前n项和为2+2^2+…+2^n=2(2^n-1)=2^{n+1}-2。7.在等差数列{g_n}中，若a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=15，则a_3的值为（）A.3B.4C.5D.6解析：由等差数列性质a_1+a_5=2a_3，a_2+a_4=2a_3，故5a_3=15，得a_3=3。8.已知数列{h_n}的前n项和S_n=4n^2-2n，则h_4的值为（）A.32B.34C.36D.38解析：当n≥2时，h_n=S_n-S_{n-1}=4n^2-2n-[4(n-1)^2-2(n-1)]=8n-6。验证n=1时h_1=2符合，故h_4=8×4-6=26。9.若数列{p_n}满足p_1=2，p_{n+1}=p_n+3n，则p_6的值为（）A.55B.56C.57D.58解析：由递推关系p_{n+1}=p_n+3n，得p_2=p_1+3，p_3=p_2+6，…，p_6=p_1+3+6+9+12+15=2+45=47。10.在等比数列{q_n}中，若q_1=1，q_3=8，则该数列的前6项和为（）A.63B.64C.65D.66解析：由q_3=q_1q^2，代入q_1=1，q_3=8得q=2。前6项和为(2^6-1)/(2-1)=63。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若等差数列{a_n}中，a_5=10，a_10=25，则该数列的公差d=______。解：由a_10=a_5+5d，代入a_5=10，a_10=25得5d=15，故d=3。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=2n^2+n，则b_4=______。解：当n≥2时，b_n=S_n-S_{n-1}=2n^2+n-[2(n-1)^2+(n-1)]=4n-1。验证n=1时b_1=3符合，故b_4=4×4-1=15。3.在等比数列{c_n}中，若c_2=6，c_4=54，则该数列的公比q=______。解：由c_4=c_2q^2，代入c_2=6，c_4=54得q^2=9，故q=3。4.若数列{d_n}满足d_1=1，d_{n+1}=2d_n+1，则d_5=______。解：由递推关系d_{n+1}=2d_n+1，得d_2=2×1+1=3，d_3=2×3+1=7，d_4=2×7+1=15，d_5=2×15+1=31。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n+1，则e_3=______。解：当n≥2时，e_n=T_n-T_{n-1}=n^2+n+1-[（n-1）^2+(n-1)+1]=2n。验证n=1时e_1=3符合，故e_3=2×3=6。6.若等差数列{f_n}中，a_1=2，a_5=14，则该数列的通项公式a_n=______。解：由a_5=a_1+4d，代入a_1=2，a_5=14得4d=12，故d=3。通项公式a_n=2+3(n-1)=3n-1。7.已知数列{g_n}的前n项和S_n=3^n-1，则g_5=______。解：当n≥2时，g_n=S_n-S_{n-1}=3^n-1-(3^{n-1}-1)=2×3^{n-1}。验证n=1时g_1=2符合，故g_5=2×3^4=162。8.在等比数列{h_n}中，若h_1=2，h_3=16，则该数列的公比q=______。解：由h_3=h_1q^2，代入h_1=2，h_3=16得q^2=8，故q=2√2。9.若数列{i_n}满足i_1=3，i_{n+1}=i_n+2n，则i_6=______。解：由递推关系i_{n+1}=i_n+2n，得i_2=3+2，i_3=5+4，i_4=9+6，i_5=15+8，i_6=23+10=33。10.已知数列{j_n}的前n项和P_n=n(n+1)/2，则j_4=______。解：当n≥2时，j_n=P_n-P_{n-1}=n(n+1)/2-[（n-1）n/2+（n-1）]=2n-1。验证n=1时j_1=1符合，故j_4=2×4-1=7。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和S_n=2n^2+3n，则该数列是等差数列。（）解：当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=2n^2+3n-[2(n-1)^2+3(n-1)]=4n+1。由于a_n-a_{n-1}=4不恒成立，故该数列不是等差数列。2.在等比数列{b_n}中，若b_1=1，b_3=8，则该数列的公比q=±2。（）解：由b_3=b_1q^2，代入b_1=1，b_3=8得q^2=8，故q=±2√2，题目说法错误。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=c_n+n，则该数列的前n项和为n(n+1)/2。（）解：由递推关系c_{n+1}=c_n+n，得c_2=1+1，c_3=2+2，…，c_n=n-1+n，故S_n=1+3+…+2n-1=n^2，题目说法错误。4.在等差数列{d_n}中，若a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=25，则a_3=5。（）解：由等差数列性质a_1+a_5=2a_3，a_2+a_4=2a_3，故5a_3=25，得a_3=5，题目说法正确。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，则e_n=2n-1。（）解：当n≥2时，e_n=T_n-T_{n-1}=n^2+n-[（n-1）^2+(n-1)]=2n，验证n=1时e_1=3符合，故e_n=2n，题目说法错误。6.在等比数列{f_n}中，若f_2=6，f_4=54，则该数列的公比q=3。（）解：由f_4=f_2q^2，代入f_2=6，f_4=54得q^2=9，故q=3，题目说法正确。7.若数列{g_n}满足g_1=2，g_{n+1}=2g_n，则该数列的前n项和为2^n-1。（）解：由递推关系g_{n+1}=2g_n，得该数列是等比数列，公比q=2。前n项和为(2^n-1)/(2-1)=2^n-1，题目说法正确。8.在等差数列{h_n}中，若a_1=3，a_5=15，则该数列的通项公式h_n=3n。（）解：由a_5=a_1+4d，代入a_1=3，a_5=15得4d=12，故d=3。通项公式h_n=3+3(n-1)=3n，题目说法正确。9.已知数列{i_n}的前n项和S_n=3^n-1，则i_n=2×3^{n-1}。（）解：当n≥2时，i_n=S_n-S_{n-1}=3^n-1-(3^{n-1}-1)=2×3^{n-1}。验证n=1时i_1=2符合，故i_n=2×3^{n-1}，题目说法正确。10.若数列{j_n}满足j_1=1，j_{n+1}=j_n+2n，则该数列的前n项和为n(n+1)。（）解：由递推关系j_{n+1}=j_n+2n，得j_2=1+2，j_3=3+4，…，j_n=n(n-1)，故S_n=1+3+…+n(n-1)=n(n+1)/2，题目说法错误。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.写出等差数列{a_n}的通项公式a_n，已知a_1=5，公差d=3。解：等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=5，d=3得a_n=5+3(n-1)=3n+2。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=4n^2-2n，求b_3的值。解：当n≥2时，b_n=S_n-S_{n-1}=4n^2-2n-[4(n-1)^2-2(n-1)]=8n-6。验证n=1时b_1=2符合，故b_3=8×3-6=18。3.在等比数列{c_n}中，若c_1=2，c_4=32，求该数列的公比q。解：由c_4=c_1q^3，代入c_1=2，c_4=32得2q^3=32，故q=2。4.若数列{d_n}满足d_1=1，d_{n+1}=3d_n+2，求d_4的值。解：由递推关系d_{n+1}=3d_n+2，得d_2=3×1+2=5，d_3=3×5+2=17，d_4=3×17+2=53。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，求e_2的值。解：当n≥2时，e_n=T_n-T_{n-1}=n^2+n-[（n-1）^2+(n-1)]=2n。验证n=1时e_1=2符合，故e_2=2×2=4。6.在等差数列{f_n}中，若a_1=7，a_5=1，求该数列的通项公式a_n。解：由a_5=a_1+4d，代入a_1=7，a_5=1得4d=-6，故d=-3/2。通项公式a_n=7-3/2(n-1)=17/2-3/2n。7.已知数列{g_n}的前n项和S_n=2^n-1，求g_5的值。解：当n≥2时，g_n=S_n-S_{n-1}=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}。验证n=1时g_1=1符合，故g_5=2^4=16。8.在等比数列{h_n}中，若h_1=3，h_3=24，求该数列的前6项和。解：由h_3=h_1q^2，代入h_1=3，h_3=24得q^2=8，故q=2√2。前6项和为[3(2^6-1)]/(2√2-1)=192√2+192。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.某工厂计划每年比上一年增产设备10台，已知第一年生产设备50台，求第8年生产的设备数量。解：由等差数列性质，公差d=10，a_1=50。第8年生产设备数量a_8=a_1+7d=50+70=120台。2.某城市人口增长率为每年5%，已知2020年人口为100万，求2025年的人口数量。解：由等比数列性质，公比q=1.05，a_1=100。2025年人口数量a_5=a_1q^4=100×1.05^4≈127.63万。3.某林场计划每年比上一年多植树2000棵，已知第一年植树5000棵，求第7年植树的数量。解：由等差数列性质，公差d=2000，a_1=5000。第7年植树数量a_7=a_1+6d=5000+12000=17000棵。4.某产品成本每年下降10%，已知2020年成本为100元，求2024年的成本。解：由等比数列性质，公比q=0.9，a_1=100。2024年成本数量a_4=a_1q^3=100×0.9^3≈729元。5.某企业员工工资每年上涨8%，已知2020年工资为5000元，求2026年的工资。解：由等比数列性质，公比q=1.08，a_1=5000。2026年工资数量a_6=a_1q^5=5000×1.08^5≈7346.57元。6.某学校图书馆藏书量每年增加300本，已知2020年藏书量5000本，求2028年的藏书量。解：由等差数列性质，公差d=300，a_1=5000。2028年藏书量a_8=a_1+7d=5000+2100=7100本。7.某科技公司研发投入每年增长15%