河南省周口市、开封市部分校2026-2027学年高二上学期学情检测（一）数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页河南省周口市、开封市部分校2026-2027学年高二上学期学情检测数学试题（一）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在三棱锥O−ABC中，OA+AB+A.OA B.AB C.OC D.AC2.在空间直角坐标系中，点A(1,2,4)关于平面Oxy对称的点的坐标为(

)A.(1,2,−4) B.(−1,−2,4) C.(1,−2,4) D.(2,1,−4)3.如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若AB=a，ADA.−12a+12b−c4.若直线l的一个方向向量为a=(2,5,7)，平面α的一个法向量为u=1,1,−1，则A.l // α或l⊂α B.l⊥α C.l⊂α D.l与α斜交5.若{a,b,A.{a,a+b,a−b6.如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，∠A1AB=∠A1A.1515 B.155 C.7.在棱长为8的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E是棱AA1A.22 B.25 C.8.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E,F分别为DA,BB1的中点，M,N分别为线段D1AA.233,2

B.255,2二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知空间三点A(−2,0,2)，B(−1,1,2)，C(−3,0,4)，设a=AB，b=ACA.若|c|=3，且c//BC，则c=(2,1,−2)

B.a和b的夹角的余弦值−1010

C.若ka+b与ka−b互相垂直，则k10.如图，点M，N分别是棱长为2的正四面体OABC的边OA和BC的中点，点P在线段MN上，且MP=2PN.则(

)

A.OP=16OA+13OB+13OC

B.11.设正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，F为线段CA.BD⊥AF

B.存在F，满足A，B，F，D1四点共面

C.直线AF与平面A1ADD1所成角为定值

D.当点F运动至三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知空间向量a=2,1,3，b=3,1,2，c=5,3,t，若向量a，b，c共面，则实数13.已知空间向量a=(1,1,λ)，b=(−2,2−λ2,λ−6)，若a，b的夹角为钝角，则实数λ14.如图所示，二面角α−l−β为60∘，A，B是棱l上的两点，AC，BD分别在半平面α，β内，且AC⊥l，BD⊥l，AB=2，AC=3，BD=4，则CD的长

．

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知向量a=−1,0,1，(1)求a−(2)求a与a−(3)若2a+b与a−x16.(本小题15分)

如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，E是AB的中点．

(1)求证：BC17.(本小题15分)如图，在平行六面体ABCD−A′B′C′D′中，AB=AD=2，AA′=3，∠BAD=90∘，

(1)以AB，AD，AA′为基底向量，表示向量BD′、AC′；(2)求证：BD⊥AC′；(3)求AC′的长。18.(本小题17分)

已知向量a=(x,4,1)，b=(−2,y,−1),c=(3,−2,z)，且a//b,b⊥c．

(1)求a，b,c；

(2)求向量a+c与19.(本小题17分)在梯形ABCD中，AB//CD,∠BAD=π3,AB=2AD=2CD=4，P为AB的中点，线段AC与DP交于O点(如图1).将▵ACD沿AC折起到▵ACD′的位置，使得平面D′AC⊥(1)求证：BC//平面POD′;(2)求二面角C−AB−D′的余弦值；(3)线段PD′上是否存在点Q，使得CQ与平面BCD′所成角的余弦值为588?若存在，求出PQ1.【答案】C

2.【答案】A

3.【答案】A

4.【答案】A

5.【答案】C

6.【答案】A

7.【答案】D

8.【答案】B

9.【答案】BD

10.【答案】ACD

11.【答案】ABD

12.【答案】10

13.【答案】(0,2)∪14.【答案】1715.【答案】解：(1)因为a=−1,0,1，所以a−a−(2)aa=cosa所以a与a−b的夹角为(3)2aa−x因为2a+b与a即−1×−1−x+−2此时，2a+b所以x=1．

16.【答案】建立空间直角坐标系，

B(3,4,0)，C1(0,4,2)，E(3,2,0)，C(0,4,0)，A1(3,0,2)，

BC1=(−3,0,2),EA1=(0,−2,2),EC=(−3,2,0)，

设平面ECA1的法向量为m=(x,y,z)，

m⋅EA1=0m⋅EC=0⇒−2y+2z=0−3x+2y=0，取17.【答案】解：(1)以AB,AD,AA′

为基底向量，则BD′=AD′−AB=AA′+A′D′−AB=所以AC′=0+4+2×3×12所以AC′⊥BD

，所以BD⊥AC′(3)由(1)可得AC′=AB所以A=4+4+9+2×0+2×2×3×12所以AC′=29

，所以AC′

的长为

18.【答案】解：(1)因为a//b，所以x−2=4y=1−1，所以x=2，y=−4，

又因为b⊥c，所以b⋅c=(−2,y,−1)⋅(3,−2,z)=−2y−z−6=0，所以z=2，

所以a=(2,4,1)，b=(−2,−4,−1)，c=(3,−2,2)；

(2)因为a+c=(5,2,3)，b+c=(1,−6,1)，

所以|a+19.【答案】解：(1)因为在梯形ABCD中，AB//CD,AB=2CD=4，P为AB的中点，所以CD//AP,CD=AP，所以四边形APCD为平行四边形，因为线段AC与DP交于O点，所以O为线段AC的中点，所以▵ABC中OP//BC，因为OP⊂平面POD′，BC⊄平面POD′，所以BC//平面POD′．(2)平行四边形APCD中，AP=AD=2，所以四边形APCD是菱形，AC⊥DP，垂足为O，所以AC⊥OD′,AC⊥OP，因为OD′⊂平面ACD′，OP⊂平面ACB，所以∠D′OP是二面角B−AC−D′的平面角，因为平面D′AC⊥平面所以∠D′OP=π2，即可以如图建立空间直角坐标系O−xyz，其中O(0,0,0)，因为在图1菱形APCD中，∠BAD=π所以OD=OP=1,OA=OC=则B(−AD′=(−3设平面ABD′的一个法向量为n=(则−3x1+平面ABC的一个法向量为m=(0,0,1)由图得二面角C−AB−D′为锐角，设二面角C−AB−D′为θ，故cosθ=(3)