2026秋浙教版七年级上册 第三章 实数单元测试·提升卷（含答案解析）

第三章实数（高效培优单元测试·提升卷）（考试时间：120分钟试卷满分：120分）选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．在实数11，−2，A．11 B．−2 C．5 D．32．如图，数轴上表示实数14的点可能是（

）A．点P B．点Q C．点R D．点S3．下列计算正确的是（

）A．(−3)2=−3 C．36=±6 D．4．有一个数值转换器，计算程序如图所示，当输入的x为16时，则输出的y的值是（

）A．4 B．3 C．22 D．5．点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为−3、1．若B、C两点之间的距离为3，则A、C两点之间的距离为（）A．3−3或3+3 B．3−3或4+3 C．4−3或3+6．球从空中落到地面所用的时间t（秒）和球的起始高度h（米）之间有关系式t=h5，若球的起始高度为85米，则球落地所用时间与下列最接近的是（A．3秒 B．4秒 C．5秒 D．6秒7．已知一个正数m的两个平方根分别是2n+1和n−7，则m的值是（

）A．−5 B．5 C．−25 D．258．如图，在数轴上，−10与5之间的整数一共有（

A．7个 B．6个 C．5个 D．4个9．如图，以单位长度为边长画一个正方形，正方形的两个顶点在数轴上，分别表示数1和2，以表示数1的顶点为圆心，以正方形的对角线为半径画弧，分别交数轴于点A，B，设点A，B表示的数为a，b，则以下说法正确的是（

）A．a=−2 B．表示数π2的点在线段C．a+b是无理数 D．b−a是有理数10．用x表示不超过x的最大整数，例如：2=2,3.2=3,2.9=2A．−21 B．21 C．−22 D．22填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）11．化简：7−π=12．我国古代数学家祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为227，张衡将圆周率取值为10，比较大小：22710（填“>”“=”或“13．16的算术平方根是．14．如图，正方形ABCD的面积为3，点A在数轴上，且表示的数为−2，以点A为圆心，AB长为半径画弧，与数轴交于点E（点E在点A的右侧），则点E所表示的数为．15．已知a−2b+(c+b)2+c+116．我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．华罗庚是按照下面的方法算出的：由103=1000，1003=1000000，从而确定359319是两位数，由59319的个位上的数是9，所以能确定359319的个位上的数是9，如果划去59319后面的三位319得到数59，而33=27，43=64，由此就能确定359319三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（8分）计算：(1)46−−3218．（8分）已知3a+1的两个平方根分别是7−m和2−2m，9+b的立方根是2．(1)求m，a，b的值；(2)求7a−b的平方根．19．（8分）阅读材料，解答问题：(1)计算下列各式：①4×9=__________，4②16×25=__________，16(2)运用（1）中的结果可以得到：8=4×2=2(3)通过（1）（2），完成下列问题：①化简：18=②计算：12+③化简：a2ba>0,b>020．（8分）如图1是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64．(1)求出这个魔方的棱长；(2)图1中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的面积和边长；(3)把正方形ABCD放到数轴上，如图2，使点A与−1重合，请直接写出点D在数轴上所表示的数．21．（10分）数学课上，老师出了一道题：比较19−23与小华的方法：因为19>4，所以19−22，所以19−2323小英的方法：19−23−23=19−43，因为19>42=16，所以19−4(1)将上述材料补充完整；(2)请从小华和小英的方法中选择一种比较6−14与22．（10分）如图，小正方形的边长为1个单位长度，以数轴的原点O为圆心，正方形的对角线OE的长为半径画圆，交数轴于A,B两点．(1)写出点A,B表示的数；(2)将点A沿数轴向右移动两个单位长度得到点D，求BD的长；(3)在（2）的情况下，若点A是线段CD的中点，求点C表示的数以及线段BC的长．23．（10分）阅读与理解大家知道3是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此3的小数部分我们不可能全部写出来，于是我用3−1来表示3的小数部分，你同意我的表示方法吗？事实上，我的表示方法是有道理的，因为3例如：∵4<7∴7的整数部分是2，小数部分是根据以上内容，请完成如下任务．(1)任务一：31的小数部分为______．(2)任务二：a为13的小数部分，b为27的整数部分，请计算a−b+(3)任务三：x+y=10+3，其中x是整数，且0<y<1，求2x−y24．（10分）数感和量感都是“数”的表达，二者密切相关，相互依存．问题情境：2有多大呢？教材中用两个面积为1的小正方形分别沿对角线剪开，拼成一个面积为2的大正方形，如图②，可以求出大正方形的边长为2；(1)探究过程：因为1.42=1.96，1.52=2.25，所以1.4<2<1.5．设2=1.4+x，将边长为2的正方形分成如图①所示的四部分．由面积公式，可得x2+2.8x+1.96=2(2)黄金分割数5−12是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，现在仿照上面探究“2有多大呢？”的过程，请你写出探究“5有多大”的过程，然后计算出黄金分割数(3)怎样画出5？现有5个边长为1的小正方形，排列形式如图③，类比图①的方法，请你在图③中用实线把它们分割，然后在图④中拼接成一个新的大正方形．要求：在图③中画出分割线，并在正方形网格图④中直接用实线画出拼接成的新的大正方形，且大正方形的边长为5．第三章实数（高效培优单元测试·提升卷）（考试时间：120分钟试卷满分：120分）选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．在实数11，−2，A．11 B．−2 C．5 D．3【答案】A【分析】本题考查了实数的大小比较，根据实数的大小比较方法即可得出答案，掌握实数的大小比较方法是解题的关键．【详解】解：∵3=9∴−2<5∴最大的数是11，故选：A．2．如图，数轴上表示实数14的点可能是（

）A．点P B．点Q C．点R D．点S【答案】C【分析】本题考查了无理数的估算方法（利用完全平方数比较）和数轴上点与实数的一一对应关系，解题的关键是通过找出与14相邻的两个完全平方数，确定14的取值范围，再匹配数轴上各点的区间．先找出小于14和大于14的最近完全平方数：32=9，42=16；由9<14<16可得9<14<【详解】解：∵32=9，4∴9<14<又∵数轴上点P在1～2之间，点Q在2～3之间，点R在3～4之间，点S在4～5之间，∴表示14的点是点R，故选：C．3．下列计算正确的是（

）A．(−3)2=−3 C．36=±6 D．【答案】D【分析】本题考查算术平方根和立方根的定义．熟练掌握定义是解答的关键．根据算术平方根和立方根的定义求解即可．【详解】A．(−3)2B．3−2C．36=6≠±6D．−0.01故选：D．4．有一个数值转换器，计算程序如图所示，当输入的x为16时，则输出的y的值是（

）A．4 B．3 C．22 D．【答案】D【分析】本题考查了算术平方根，有理数，无理数的定义．根据数值转换器，输入x=16进行计算即可．【详解】解：第1次计算得：16=4第2次计算得：4=2第3次计算得：2，2是无理数，故输出的y的值是2，故选：D．5．点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为−3、1．若B、C两点之间的距离为3，则A、C两点之间的距离为（）A．3−3或3+3 B．3−3或4+3 C．4−3或3+【答案】D【分析】此题主要考查了数轴上两点间的距离，先得到点C表示的数，然后分情况求出AC长解答即可．【详解】解：由题意可知点C表示的数为1−3或1+∴AC=或AC=1+3故选：D．6．球从空中落到地面所用的时间t（秒）和球的起始高度h（米）之间有关系式t=h5，若球的起始高度为85米，则球落地所用时间与下列最接近的是（A．3秒 B．4秒 C．5秒 D．6秒【答案】B【分析】本题考查无理数的估算，掌握估算的方法是解决问题的关键．将h=85代入公式计算，然后用平方法估算即可．【详解】解：将h=85代入t=h5得：∵4.12∴4.1<17∴所用时间与4秒最接近．故选：B．7．已知一个正数m的两个平方根分别是2n+1和n−7，则m的值是（

）A．−5 B．5 C．−25 D．25【答案】D【分析】本题考查了平方根的性质．根据平方根的性质，正数的两个平方根互为相反数，列出方程求解n的值，再代入任一平方根表达式计算m即可．【详解】解：∵一个正数m的两个平方根分别是2n+1和n−7，∴2n+1+n−7=0解得：n=2∴m的值为：m=故选：D．8．如图，在数轴上，−10与5之间的整数一共有（

A．7个 B．6个 C．5个 D．4个【答案】B【分析】此题考查了无理数的估算能力，运用算术平方根的知识进行估算、求解．【详解】解：∵3<10∴−4<−10∵2<5∴−10与5之间的整数是−3,−2,−1,0,1,2即−10与5故选：B．9．如图，以单位长度为边长画一个正方形，正方形的两个顶点在数轴上，分别表示数1和2，以表示数1的顶点为圆心，以正方形的对角线为半径画弧，分别交数轴于点A，B，设点A，B表示的数为a，b，则以下说法正确的是（

）A．a=−2 B．表示数π2的点在线段C．a+b是无理数 D．b−a是有理数【答案】B【分析】此题考查了实数在数轴的上表示方法，首先求出正方形对角线的长度，然后得出a=1−2，b=【详解】解：由题意可得：正方形的对角线长为2，∴a=−2−1=1−∵2+1>∴表示数π2的点在线段AB∵a+b=1−2∴a+b是有理数，故C选项不符合题意；∵b−a=2∴b−a是无理数，故D选项不符合题意；故选：B．10．用x表示不超过x的最大整数，例如：2=2,3.2=3,2.9=2A．−21 B．21 C．−22 D．22【答案】C【分析】本题主要考查了无理数的估算，先估算2023，2024的大小，然后根据已知条件中的新定义，求出所求代数式中带有根号的数的近似值，然后再代入所求代数式进行计算即可．【详解】解：∵442=1936，∴1936=44，2025∴x表示不超过x的最大整数，∴1=4=9=...，2023=∴1=1−1+1−2+2−2+2−2+3−3+3−=1−2+3−4+=−1×22=−22，故选：C．填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）11．化简：7−π=【答案】π−【分析】本题考查了无理数的估算，绝对值的定义，解题的关键是掌握无理数的估算．先求出2<7【详解】解：∵4<∴2<7∴7∴7−π故答案为：π−712．我国古代数学家祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为227，张衡将圆周率取值为10，比较大小：22710（填“>”“=”或“【答案】<【分析】分别计算227和10【详解】解：227≈3.1429，10≈3.1623所以227故答案为：<．13．16的算术平方根是．【答案】2【分析】本题考查算术平方根，掌握知识点是解题的关键．先求出16=4【详解】解：∵16=4∴16的算术平方根是2．故答案为：2．14．如图，正方形ABCD的面积为3，点A在数轴上，且表示的数为−2，以点A为圆心，AB长为半径画弧，与数轴交于点E（点E在点A的右侧），则点E所表示的数为．【答案】−2+【分析】本题考查了实数与数轴，熟练掌握算术平方根的概念是解题的关键；根据算术平方根的概念可求AE=AB=3【详解】解：∵正方形的面积为3，∴AB=3∵以A点为圆心，AB为半径，和数轴交于E点，∴AE=AB=3∴点E所表示的数为−2+3故答案为：−2+315．已知a−2b+(c+b)2+c+1【答案】±2【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b、c的值，代入所求代数式计算即可．本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．还考查了平方根的定义．熟练掌握以上知识是解题的关键．【详解】解：∵a−2b+∴a−2b=0，c+b=0，c+1=0，即a−2b=0c+b=0解得a=2b=1∴a+b−c=2+1−−1∵4的平方根是±2，∴a+b−c的平方根是±2．故答案为：±2．16．我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．华罗庚是按照下面的方法算出的：由103=1000，1003=1000000，从而确定359319是两位数，由59319的个位上的数是9，所以能确定359319的个位上的数是9，如果划去59319后面的三位319得到数59，而33=27，43=64，由此就能确定359319【答案】58【分析】本题考查了数的立方根，理解一个数的立方根的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解本题的关键．根据例题的方法求解即可．【详解】解：∵1003=1000000，∴3195112又∵只有个位上是8的数的立方的个位上的数是2，∴3195112的个位上的数是8如果划去后面的三位112得到195，而53=125，∴3195112十位上的数是5∴195112的立方根是58，故答案为：58．三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（8分）计算：(1)46(2)3【答案】(1)2(2)−2【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．（1）先开方，再进行加减运算即可；（2）先去绝对值，进行开方运算，再进行加减运算即可．【详解】（1）解：46=4=26（2）解：3=−3+3−=−2218．（8分）已知3a+1的两个平方根分别是7−m和2−2m，9+b的立方根是2．(1)求m，a，b的值；(2)求7a−b的平方根．【答案】(1)m=3，a=5，b=−1(2)±【分析】此题考查平方根，立方根，熟练掌握相关知识是解题的关键；（1）根据平方根定义，立方根定义列得7−m+2−2m=0，9+b=23，即可求出m，a，（2）先求出7a−b的值，再利用平方根定义求出答案即可．【详解】（1）解：依题意得，7−m+2−2m=0解得m=3

故7−m=4,2−2m=−4∴3a+1=4解得a=5由题意9+b=2解得b=−1；（2）∵7a−b=7×5−−136=6，6的平方根为±所以7a−b的平方根为±619．（8分）阅读材料，解答问题：(1)计算下列各式：①4×9=__________，4②16×25=__________，16(2)运用（1）中的结果可以得到：8=4×2=2(3)通过（1）（2），完成下列问题：①化简：18=②计算：12+③化简：a2ba>0,b>0【答案】(1)①6，6；②20，20(2)a(3)①32；②53【分析】本题考查算术平方根的计算，读懂题意，理解题中新的运算公式，掌握运算法则是解决问题的关键．（1）由算术平方根的定义计算即可得到答案；（2）根据规律总结即可得答案；（3）由（2）中a⋅b=【详解】（1）解：①4×9=36=6②16×25=400=20故答案为：①6，6；②20，20（2）解：∵8=4×∴通过计算，我们可以发现a⋅b=故答案为：a（3）解：①18=②12+③a2故答案为：①32；②53；③20．（8分）如图1是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64．(1)求出这个魔方的棱长；(2)图1中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的面积和边长；(3)把正方形ABCD放到数轴上，如图2，使点A与−1重合，请直接写出点D在数轴上所表示的数．【答案】(1)这个魔方的棱长为4(2)阴影部分的边长为22(3)点D在数轴上所表示的数为−1−2【分析】本题主要考查实数与数轴、立方根的综合应用，解决此题的关键是能求出每个小正方形的边长．（1）根据立方体的体积公式，直接求棱长即可；（2）根据棱长，求出每个小正方体的棱长，进而可得小正方形的对角线的长，即阴影部分图形的边长，即可得解；（3）用点A表示的数减去边长即可得解．【详解】（1）解：364答：这个魔方的棱长为4；（2）解：∵魔方的棱长为4，∴每个小立方体的棱长为2，阴影部分面积为：12则阴影部分的边长为8=2（3）解：由（2）得AD=22则D在数轴上表示的数为−1−2221．（10分）数学课上，老师出了一道题：比较19−23与小华的方法：因为19>4，所以19−22，所以19−2323小英的方法：19−23−23=19−43，因为19>42=16，所以19−4(1)将上述材料补充完整；(2)请从小华和小英的方法中选择一种比较6−14与【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了实数的大小比较，算术平方根的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）根据算术平方根的定义以及实数的大小比较方法解答即可；（2）采取（1）中相同的方法解答即可．【详解】（1）解：小华的方法：因为19>4，所以19−2>2，所以小英的方法：19−23−23=19−43（2）解：小华的方法：因为6<3，所以6−1<2，所以小英的方法：6−14−12=6−3422．（10分）如图，小正方形的边长为1个单位长度，以数轴的原点O为圆心，正方形的对角线OE的长为半径画圆，交数轴于A,B两点．(1)写出点A,B表示的数；(2)将点A沿数轴向右移动两个单位长度得到点D，求BD的长；(3)在（2）的情况下，若点A是线段CD的中点，求点C表示的数以及线段BC的长．【答案】(1)点A,B表示的数为2和−(2)2+2(3)点C表示的数为2−2，线段BC的长为【分析】本题考查了实数的运算，实数与数轴，平方根的概念理解，熟练掌握知识点是解题的关键．（1）先求出OE=2，再由OA=OB=OE=2表示出点（2）先求出点D表示的数，再由数轴上两点距离公式求解；（3）根据点A是线段CD的中点，得到AC=AD，则2+2−2=2【详解】（1）解：如图，S△OEF=12×1×1=∴OE∴OE=2∴OA=OB=OE=2∴点A,B表示的数为2和−2（2）解：由题意得点D表示的数为2+2∴BD=2+2（3）解：设点C表示的数为m∵点A是线段CD的中点，∴AC=AD，∴2+2解得m=2∴BC=2∴点C表示的数为2−2，线段BC的长为223．（10分）阅读与理解大家知道3是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此3的小数部分我们不可能全部写出来，于是我用3−1来表示3的小数部分，你同意我的表示方法吗？事实上，我的表示方法是有道理的，因为3例如：∵4<7∴7的整数部分是2，小数部分是根据以上内容，请完成如下任务．(1)任务一：31的小数部分为______．(2)任务二：a为13的小数部分，b为27的整数部分，请计算a−b+(3)任务三：x+y=10+3，其中x是整数，且0<y<1，求2x−y【答案】(1)31(2)8(3)3【分析】本题考查了无理数的估算，相反数，掌握“逐步逼近”的方法是解题的关键．（1）根据“逐步逼近”的方法，结合算术平方根的意义可得答案；（2）根据3<13<