专题02空间向量基底的综合运用(7大题型专练)(答案版)

专题02空间向量基底的综合运用参考答案（题型突破·举一反三）题型一：空间向量基底概念辨析【典例1】【答案】D【解析】对于A选项，存在，使得，则三个向量共面，不能构成一组基底；对于B选项，存在，使得，则三个向量共面，不能构成一组基底；对于C选项，存在，使得，则三个向量共面，不能构成一组基底；对于D选项，设，整理得，由不共面，得​，解得，只有零解，则，，三个向量不共面，所以能构成一组基底.【变式1-1】【答案】C【解析】对于A，，共面，不可为基底；对于B，，共面，不可为基底；对于C，假设共面，则，则，得，即为零向量，这与为空间的一个基底，不为零向量矛盾，故不共面，可作为空间的一个基底，对于D，，共面，不可为基底.【变式1-2】【答案】C【解析】对于A，假设存在实数，，使得，则，方程组无解，即不存在实数，使得上式成立，所以，，不共面，能构成一组基底.对于B，假设存在实数，，使得，则，方程组无解，即不存在实数，使得上式成立，所以，，不共面，能构成一组基底.对于C，假设存在实数，，使得，则，解得，即存在实数，使得上式成立，所以，，共面，不能构成一组基底.对于D，假设存在实数，，使得，则，方程组无解，即不存在实数，使得上式成立，所以，，不共面，能构成一组基底.【变式1-3】【答案】B【解析】对于A，设存在实数，使得，可得，所以，方程组无解，所以不共面，可以作为空间基底，所以A不符合题意；对于B，设存在实数，使得，可得，所以，解得，所以共面，不能作为空间基底，所以B符合题意；对于C，向量，不存在实数使得，所以不共面，可以作为空间基底，所以C不符合题意；对于D，设存在实数，使得，可得，所以，方程组无解，所以不共面，可以作为空间基底，所以D不符合题意.故选：B.题型二：基底表示空间向量【典例2】【答案】A【解析】由题意，在平行六面体中，.又因为为底面平行四边形对角线与的交点，所以.在平行六面体中，，，，所以.从而.【变式2-1】【答案】A【解析】由图可得，.【变式2-2】【答案】D【解析】由题意可知：，，所以.【变式2-3】【答案】C【解析】由题意可得，，设，，且，，因为，所以所以.题型三：基底法求向量模长【典例3】【答案】【解析】，，所以.【变式3-1】【答案】【解析】由题意得，所以，故对角线.【变式3-2】【答案】【解析】，则，，所以.故答案为：【变式3-3】【答案】【解析】如下图所示：

，平行六面体棱长均为1，，又，，，．故答案为：．题型四：基底法求异面直线夹角及余弦值【典例4】【解析】（1）因为，且，所以，又因为底面ABCD是边长为1的正方形且，所以．（2）因为底面是边长为1的正方形，且，，又由，所以，所以，故与的夹角为．【变式4-1】【解析】（1）设，，，则、、不共面，由题意可得，，所以，又因为直线、不重合，所以，故、、、四点共面.（2）由题意可得，，由空间向量数量积的定义可得，，同理可得，因为为的中点，所以，，所以，故，，，所以，因此直线与所成角的余弦值为.【变式4-2】【解析】（1）平行六面体所有棱长均为2，的模均为2，夹角均为，为与的中点，，，，．（2），，，，．【变式4-3】【解析】（1）过点作交于点，如图所示，由知，且，又因为且，所以平面，过点作交延长线于点，所以，又因为，故平面，即为三棱锥的高，由题知，，则，，，所以；（2）因为，，解得，所以，同理可得，所以，，由图知，两边平方得：，所以，又因为，所以.题型五：基底法证明共线、共面问题【典例5】【解析】证明：分别连接、、、交对边于、、、点.因为、、、分别是所在三角形的重心.所以、、、为所在边的中点，所以，且，，且，所以，，故四边形为平行四边形，且有，，，，所以，同理可得，因为四边形是平行四边形，所以，所以，则，故、、、四点共面.【变式5-1】【解析】（1）设，且，分别为，的中点.所以.则，所以.（2）由题意知，，因为，所以，所以，，，不妨设，即，解得.即，根据共面向量定理，共面，即四点共面.【变式5-2】【解析】设，，，，，，，因为，所以，又因为、有公共点C，所以C、E、F三点共线．【变式5-3】【解析】（1）,,所以，所以、、三点共线.（2）,,所以，所以、、三点共线.题型六：基底法证明空间平行、垂直关系【典例6】【解析】（1）设，，，因为底面是菱形，所以，且，.由题知，且，因此，即，故.（2）当时，平面，证明如下：设，，则，，，，因为底面是菱形，所以，又因为，平面，，所以平面，因为平面，所以.若平面，需满足，，，令，即，展开整理：，代入，得：，由于，，因此，即.此时且，，平面，故平面.【变式6-1】【解析】（1）由题意得；，.（2）由（1）得，，，．【变式6-2】【解析】（1）以为一个基底，由题意知，又，所以，所以；（2）由（1）知，在菱形中，，所以，所以，即.【变式6-3】【解析】D是的中点，翻折前，翻折后.是的中点，翻折前，翻折后翻折后，又，且方向相同，.又E是的中点，F是的中点，翻折前、后，，且方向相同，，翻折后，在中，；题型七：基底法求线面角、二面角【典例7】【解析】（1）作，交于点，设，则，∵，∴，即，∵且，连接，所以四边形为平行四边形，∴，∵平面，且平面，∴平面．(2)．（2）取中点，连接、、，∵，，，根据余弦定理得：，∴，则，∵是等边三角形，∴，∵，∴平面，平面∴平面平面，在中，，，作，交于点，因为平面平面，所以平面，则，∴，∵平面，所以点到平面距离，，，∴．，∵，∴，∴．【变式7-1】【解析】（1）根据图形可知：，则；（2）作，则等于二面角的一个平面角，因为，，则，易知，所以，所以，即二面角的大小为；【变式7-2】【解析】如下图所示：根据题意可得，由二面角定义可得的夹角即为二面角的大小，易知，又