江苏省百校大联考2027届高三上学期9月学情检测数学试题（含答案）

·1·1.若集合A=(0,4[,B={xllog2(x+1(<2{，则A∪B=()A.(0,3(B.(-∞,4[C.(-1,4[D.(-∞,3(3.函数f(x(=log0.5(x2-5x-6(的单调增区间是()A.B.C.(-∞,2(D.(-∞,-1(A.B.3C.D.6A.a>c>bB.a>b>cC.b>a>cD.b>c>a6.函数f(x(=(ex-e-x(log2lxl的图象大致是()A.B.C.D.·2·ABCD8.已知函数f(x(=kx(x+1(-lnx，若f(x(<0有且只有3个整数解，则k的取值范围是()A.(++=2B.AA1与平面ABCD所成角等于45ŌC.A1在底面ABCD上的射影是线段AC的三等分点D.BD1与AC所成角的余弦值为11.设函数f(x(的定义域为R，且满足f(2x+2(是偶函数，f(x(=-f(x+4(，当x∈(0,2[时，f(x(=A.f(x(是奇函数B.f(2026(=6C.f(x(的最小值是-12.已知定义域为[-1,1]的函数f(x)=x3+sinx，则关于a的不等式f(a-2)+f(a2-4)>0的解集是 ·3·15.已知命题p：函数f(x(=lg(mx2-mx+1(的定义域为R；命题q：g(x(=cos(2x，不等式g2(x(-g(x(-m≥0在x∈上有解．(1)若将函数f(x(的图象向右平移个单位得到g(x(，求g(x(在区间[0,π[上的单调递增区间；·4·17.已知关于x的函数f(x(=x(1)若不等式f(2x(≥m.2x对x∈R恒成立，求实数m的取值范围；(2)求直线AE与平面BDF所成角的正弦值；·5·19.已知函数f(x(=exx2-asinx-1．(2)若f(x(在上单调递增，求a的取值范围；·1·1.若集合A=(0,4[,B={xIlog2(x+1(<2{，则A∪B=()A.(0,3(B.(-∞,4[C.(-1,4[D.(-∞,3(所以B={x|-1<x<3{，又A=(0,4[，所以A∪B=(-1,4[.3.函数f(x(=log0.5(x2-5x-6(的单调增区间是()A.B.C.(-∞,2(D.(-∞,-1(2-5x-6>0，解得x<-1或x>6，即函数定义域为(-∞,-1)∪(6,+∞).设t=x2-5x-6，0.5t在(0,+∞(上单调递减.t=x2-5x-6是开口向上的二次函数，对称轴为x，函数t=x2-5x-6在(-∞,-1(上单调递减，xy·2·xyA.a>c>bB.a>b>cC.b>a>cD.b>c>a16.函数f(x(=(ex-e-x(log2lxl的图象大致是()A.B.C.D.【详解】函数f(x(=(ex-e-x(log2lxl的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)，关于原点对称.∵f(-x(=(e-x-ex(log2l-xl=-(ex-e-x(log2lxl=-f(x(，-xex-e-x>0.ABCD·3·A(3,0,0(,B(0,3,0(,C(-3,0,0(,D(0,-3,0(,S(0,0,3(，设异面直线PC与BD的公垂线方向向量为=(x,y,z(，则故异面直线PC与BD的距离d8.已知函数f(x(=kx(x+1(-lnx，若f(x(<0有且只有3个整数解，则k的取值范围是()A.B.C.,D.【详解】函数f(x(=kx(x+1(-lnx的定义域为(0,+∞(.若f(x(<0有且只有3个整数解，则kx(x+1(-lnx<0有且只有3个整数解.令g(x则g,(x令h(x(=x+1-lnx(2x+1(，则h,(x(=1--2lnx=--2lnx-1.令m(x(=h,(xlnx-1，则m,(x,(x(>0，m(x(单调递增；当x∈,+∞(时，m,(x(<0，m(x(单调递减.所以h,(x(<0恒成立，h(x(是减函数.又h(1(=2>0,h(2(=3-5ln2<0，·4·所以∃x0所以当x∈(0,x0(时，h(x(>0,g,(x(>0，g(x(单调递增；当x∈(x0,+∞(时，h(x(<0,g,(x(<0，g(x(单调递减.又g(1(=0,gD正确.A.(++=2B.AA1与平面ABCD所成角等于45°C.A1在底面ABCD上的射影是线段AC的三等分点D.BD1与AC所成角的余弦值为·5·22对于C，设线段AC上靠近点A的三等分点为M，连接A1M，1++(.=-.+.+21++(.=-.+2+.故A1M丄AB、A1M丄AD，又AB∩AD=A且AB、ADC底面ABCD，故A1M丄底面ABCD，即A1在底面ABCD上的射影是线段AC的三等分点，C说法正确；对于B，由C知A1在底面ABCD上的射影是线段AC的三等分点M，所以AA1与平面ABCD所成角为LA1AC，1++1则tanLA1AC即LA1AC>45O，2-AB-AB.AD对于D，因为BD1.AC=(AD+AA1-AB(.(AB+AD(=AD.AB+AD2-AB-AB.AD·6·11.设函数f(x(的定义域为R，且满足f(2x+2(是偶函数，f(x(=-f(x+4(，当x∈(0,2[时，f(x(=A.f(x(是奇函数B.f(2026(=6C.f(x(的最小值是-【详解】因为f(2x+2(是偶函数，所以f(-2x+2(=f(2x+2(，即f(-x+2(=f(x+2(，即f(-x(=f(x+4(.又f(x(=-f(x+4(，所以f(-x(=-f(x(，且f(x+8(=-f(x+4(=f(x(.所以f(x(是奇函数，且是周期为8的周期函数.所以选项A正确.f(2026(=f(253x8+2(=f(2(=6，所以选项B正确.f(6(=-f(2(=-6，所以选项C不正确.作y=f(x(一个周期内的图象，可得y与y=f(x(一个周期内的图象有4个交点，所以选项D正确. 12.已知定义域为[-1,1]的函数f(x)=x3+sinx，则关于a的不等式f(a-2)+f(a2-4)>0的解集是 ·7·则函数f(x)=x3+sinx是奇函数由f(a-2)+f(a2-4)>0，得f(a-2)>f(4-a2)，所以到点A首次与P重合时，正方形滚动了3轮.l=·8·15.已知命题p：函数f(x(=lg(mx2-mx+1(的定义域为R；命题q：g(x(=cos(2x，不等式g2(x(-g(x(-m≥0在x上有解．不等式g2(x(-g(x(-m≥0在x∈0,l上有解，即当g(x(∈-1,时g2(x(-g(x(≥m有解，令g(x(=t,t∈-1,，设函数y=t2-t，故在t=-1时取得最大值为y=2，所以当m≤2时，不等式g2(x(-g(x(-m≥0在x上有解，所以m∈(-∞,2[.p为真命题时，即函数f(x(=lg(mx2-mx+1(的定义域为R，即mx2-mx+1>0在R上恒成立，当m≠0时，(-m(2-4m<0，解得0<m<4，所以p为真命题且q为假命题时实数m的取值范围为(2,4(.(1)若将函数f(x(的图象向右平移个单位得到g(x(，求g(x(在区间[0,π[上的单调递增区间；因为将函数f(x(的图象向右平移个单位得到g(x(，所以g(x(=f(xsinsin(2x·9·因为f-=-3sinα,所以2sinl2-+=-3sinα,17.已知关于x的函数f(x(=x(1)若不等式f(2x(≥m.2x对x∈R恒成立，求实数m的取值范围；【答案】(1)(-∞,0[(2)(-,0(-2l=2l4x-1l=2u，化简整理得u2-(2+3t(u+(1+4t(=0，设g(u(=u2-(2+3t(u+(1+4t(，开口向上，由根的分布得：·10·CDEF为正方形，平面CDEF⊥平面A(2)求直线AE与平面BDF所成角的正弦值；故四边形EFBG为平行四边形,因为FB⊂平面BDF，EG⊄平面BDF，因为四边形CDEF为正方形，所以ED⊥DC.因为平面CDEF⊥平面ABCD，平面CDEF∩平面ABCD=DC，DE⊂平面CDEF，所以ED⊥平面ABCD.所以AD⊥BD．·11·设平面BDF的法向量为n=(x,y,z(，由设直线AE与平面BDF所成的角为θ,所以AE与平面BDF所成的角的正弦值为线段FC上不存在点H，使平面BDF丄平面HAD．证明如下： 则．．所以线段FC上不存在点H，使平面BDF丄平面HAD．19.已知函数f(x(=exx2-asinx-1．(2)若f(x(在上单调递增，求a的取值范围；(2)(-∞,1[·12·证明：令h(x(=ex-x2-ax-1，则h,(x(=ex-x-a．令v(x(=h,(x(=ex-x-a，则v,(x(=ex-1．所以v(x(=h,(x(在(-∞,0(上单调递减，在(0,+∞(上单调递增．h,(x(≥h,(0(=1-a≥0，所以h(x(是增函数．因为h(0(=0，所以h(x(>0在(0,+∞(上恒成立，xx2-ax-1>0在(0,+∞(上恒成立．令t(x(=x-sinx，则t,(x(=1-cosx≥0，所以t(x(是增函数．因为0≤a≤1，所以当x>0时，-ax≤-asinx，所以ex-x2-asinx-1≥ex-x2-ax-1>0，所以当x>0时，f(x(>0．,(x(=ex-x，f(0(=0，f,(0(=1，所以曲线y=f(x(在原点处的切线方程为y=x．,(x(=ex-x-acosx，若