人教版数学八年级下册 期中测试卷 （测试范围：二次根式~平行四边形） 试卷 含答案

2024-2025学年八年级数学下学期期中测试卷基础知识达标测（考试时间：120分钟试卷满分：120分）考前须知：1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题。2．测试范围：二次根式~平行四边形（人教版）。第Ⅰ卷一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．（3分）x≥3是下列哪个二次根式有意义的条件（）A．x+3 B．1x−3 C．1x+3 2．（3分）在24，ab，x2−y2A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（3分）五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列摆放正确的是（）A． B． C． D．4．（3分）下列运算中，正确的是（）A．53−23=3 B．22×3C．33÷3=3 D．23+5．（3分）矩形具有而菱形不一定具有的性质是（）A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．对角线平分一组对角6．（3分）如图，把一块含45°角的三角板放入2×4的网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上表示﹣1的点重合，则数轴上点A所表示的数为（）A．22 B．1.8 C．﹣1+22 D．37．（3分）如图，平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，若添加①BE∥DF；②AF＝CE；③BE＝DF；④BE平分∠ABC，DF平分∠ADC中任意一个条件能够使△ABE≌△CDF，则共有几种添法（）A．1 B．2 C．3 D．48．（3分）如图，在△ABC中，AB＝BC＝7，BD平分∠ABC交AC于点D，点F在BC上，且BF＝1，连接AF，E为AF的中点，连接DE，则DE的长为（）A．2 B．3 C．4 D．59．（3分）如图，四边形ABCD的对角线交于点E，BE＝ED，∠BAC＝90°，∠ACD＝2∠ACB．若CD＝10，AD＝14，则DE的长为（）A．9 B．10 C．11 D．1210．（3分）在平面直角坐标系中，菱形OABC的位置如图所示，其中点B的坐标为（﹣1，1），第1次将菱形OABC绕着点O顺时针旋转90°，同时扩大为原来的2倍得到菱形OA1B1C1（即OB1＝2OB），第2次将菱形OA1B1C1绕着点O顺时针旋转90°，同时扩大为原来的2倍得到菱形OA2B2C2（即OB2＝2OB1），第3次将菱形OA2B2C2绕着点O顺时针旋转90°，同时扩大为原来的2倍得到菱形OA3B3C3（即OB3＝2OB2）…依次类推，则点B2025的坐标为（）A．（22025，22025） B．（2507，2507） C．（﹣22005，22025） D．（﹣22025，﹣22025）二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）若最简二次根式2a−43a+b与a−b是同类根式，则2a﹣b＝12．（3分）若0≤x≤1，则x2+13．（3分）如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝25°，则∠DHO的度数是．14．（3分）在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离AB长度为1尺．将它往前水平推送10尺，即A'C＝10尺，则此时秋千的踏板离地距离A'D就和身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，则绳索OA长为尺．15．（3分）如图是用八个全等的直角三角形拼成的“弦图”．记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若正方形EFGH的边长为6，则S1+S2+S3＝．16．（3分）如图，矩形ABCD中，AD＝18，AB＝24．点E为边DC上的一个动点，△AD'E与△ADE关于直线AE对称，当△CD'E为直角三角形时，DE的长为．三．解答题（共8小题，满分72分）17．（8分）计算：（1）15（2）(2318．（8分）已知x=5+1，（1）x2﹣xy+y2；（2）xy19．（8分）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°．（1）尺规作图：按下列要求完成作图（保留作图痕迹，请标明字母）①作线段AB的垂直平分线l，交AB于点O；②连接CO并延长，在CO的延长线上截取OD，使得OD＝OC；③连接DA、DB．（2）若AB＝25，BC＝7，则BD＝．20．（8分）如图1，在每个边长为1的小正方形的网格中，点A、B、C均在格点上．仅用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示.（1）画出以AB为边的菱形ABCD；（2）直接写出点D到AB的距离；（3）在CD上画点E，使∠ABE＝45°；（4）如图2，点F为AB与格线交点，取AF中点G，连AC，在AC上画点H，使GH＝GF．21．（8分）如图，点E为平行四边形ABCD的边AD上的一点，连接EB并延长，使BF＝BE，连接EC并延长，使CG＝CE，连接FG．H为FG的中点，连接DH，AF．（1）求证：四边形AFHD为平行四边形；（2）连接EH，交BC于点O，若OB＝OE，FG＝8，求OH的长度．22．（10分）武汉光谷中央生态大走廊大草坪上，不仅有空轨旅游专线，而且视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所．某校801班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米．（1）求风筝的垂直高度CE；（2）如果小明站在原地想风筝沿CD方向下降12米，则他应该往回收线多少米？（3）小亮想一边收线，一边后退，也使风筝沿CD方向下降12米，且让收线的长度和后退的距离相等．试问小亮的想法能否实现，如果能实现，请求出收线的长度；如果不能实现，请说明理由．23．（10分）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P是直线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE（A，P，E按逆时针排列），点E的位置随点P的位置变化而变化．（1）如图1，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，则BP与CE的数量关系是，BC与CE的位置关系是；（2）如图2，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；（3）当点P在直线BD上时，其他条件不变，连接BE．若AB=23，BE=219，请直接写出线段24．（12分）在平面直角坐标系中，已知矩形AOBC，其中A（0，6）．（1）如图1，若点B（10，0），E在BC边上，将△ACE沿AE翻折，点C恰好落在OB边上的点F处．①直接写出点F的坐标及EF的长；②如图2，将△AOF沿y轴向上平移m个单位长度得到△A′O′F′，平面内是否存在点G，使以A′、O、F′、G为顶点的四边形是菱形，若存在，求点G的坐标，若不存在，请说明理由．（2）如图3，若点B（6，0），连接AB，M，N两点分别是线段BC，AB上的动点，且AN＝2CM，求OM+12

2024-2025学年八年级数学下学期期中测试卷基础知识达标测（考试时间：120分钟试卷满分：120分）考前须知：1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题。2．测试范围：二次根式~平行四边形（人教版）。第Ⅰ卷一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．（3分）x≥3是下列哪个二次根式有意义的条件（）A．x+3 B．1x−3 C．1x+3 【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数列出不等式，分别计算即可．【解答】解：A，x+3≥0，解得，x≥﹣3，错误；B、x﹣3＞0，解得，x＞3，错误；C、x+3＞0，解得，x＞﹣3，错误；D、x﹣3≥0，解得，x≥3，正确，故选：D．2．（3分）在24，ab，x2−y2A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答．【解答】解：24=26，ab被开方数中含有分母，a2在24，ab，x2−y2最简二次根式有x2−y故选：B．3．（3分）五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列摆放正确的是（）A． B． C． D．【分析】根据勾股定理的逆定理进行计算，即可解答．【解答】解：∵72＝49，152＝225，202＝400，242＝576，252＝625，∴72+242＝252，152+202＝252，∴以7，24，25三根木棒能摆成直角三角形，以15，20，25三根木棒能摆成直角三角形，故选：C．4．（3分）下列运算中，正确的是（）A．53−23=3 B．22×3C．33÷3=3 D．23+【分析】直接利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．【解答】解：A、53−23=3B、22×32C、33÷D、23+32故选：C．5．（3分）矩形具有而菱形不一定具有的性质是（）A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．对角线平分一组对角【分析】利用矩形与菱形的性质即可解答本题．【解答】解：矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等，故选：C．6．（3分）如图，把一块含45°角的三角板放入2×4的网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上表示﹣1的点重合，则数轴上点A所表示的数为（）A．22 B．1.8 C．﹣1+22 D．3【分析】由题意可知，BA＝BC，∠BDC＝90°，BD＝CD＝2，再由勾股定理求出BC＝22，则BA＝22，然后求出DA＝BA﹣BD＝22−【解答】解：如图，由题意可知，BA＝BC，∠BDC＝90°，BD＝CD＝2，∴BC=BD2∴BA＝22，∴DA＝BA﹣BD＝22−∴数轴上点A所表示的数为22−2+1＝﹣1+22故选：C．7．（3分）如图，平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，若添加①BE∥DF；②AF＝CE；③BE＝DF；④BE平分∠ABC，DF平分∠ADC中任意一个条件能够使△ABE≌△CDF，则共有几种添法（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据平行四边形的性质和全等三角形的判定定理即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∠ABC＝∠ADC，∴∠BAE＝∠DCF，添加①BE∥DF，∴∠BEF＝∠DFE，∴∠AEB＝∠CFD，∴△ABE≌△CDF（AAS），添加②AF＝CE，∴AE＝CF，∴△ABE≌△CDF（SAS），添加③BE＝DF不能证明△ABE≌△CDF，添加④BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，∴∠ABE=12∠ABC，∠FDC∴∠ABE＝∠CDF，∴△ABE≌△CDF（ASA），故选：C．8．（3分）如图，在△ABC中，AB＝BC＝7，BD平分∠ABC交AC于点D，点F在BC上，且BF＝1，连接AF，E为AF的中点，连接DE，则DE的长为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根据等腰三角形的三线合一得到AD＝DC，根据三角形中位线定理计算得到答案．【解答】解：∵BC＝7，BF＝1，∴FC＝BC﹣BF＝7﹣1＝6，∵AB＝BC，BD平分∠ABC，∴AD＝DC，∵AE＝EF，∴DE是△AFC的中位线，∴DE=12FC故选：B．9．（3分）如图，四边形ABCD的对角线交于点E，BE＝ED，∠BAC＝90°，∠ACD＝2∠ACB．若CD＝10，AD＝14，则DE的长为（）A．9 B．10 C．11 D．12【分析】过D作DF⊥AC于点F，延长AC至G，使得CG＝CD，连接DG，证明△ABE≌△FDE（AAS），△ABC≌△FDG（AAS），利用勾股定理即可解答．【解答】解：如图，过D作DF⊥AC于点F，延长AC至G，使得CG＝CD，连接DG，∴∠DFE＝90°，∵∠BAE＝∠DFE＝90°，∠AEB＝∠DEF，BE＝DE，∴△ABE≌△FDE（AAS），∴AB＝DF，∵CG＝CD，∴∠G＝∠DCG，∵∠ACD＝2∠ACB＝∠G+∠ACG，∴∠G＝∠ACB，又∵DF＝AB，∠BAC＝∠DFG＝90°，∴△ABC≌△FDG（AAS），∴AC＝FG，∴AF＝CG＝CD＝10，∴EF＝5，∴DF2＝AD2﹣AF2＝142﹣102＝96，∴DE2＝EF2+DF2＝52+96＝121，解得DE＝11（舍负），故选：C．10．（3分）在平面直角坐标系中，菱形OABC的位置如图所示，其中点B的坐标为（﹣1，1），第1次将菱形OABC绕着点O顺时针旋转90°，同时扩大为原来的2倍得到菱形OA1B1C1（即OB1＝2OB），第2次将菱形OA1B1C1绕着点O顺时针旋转90°，同时扩大为原来的2倍得到菱形OA2B2C2（即OB2＝2OB1），第3次将菱形OA2B2C2绕着点O顺时针旋转90°，同时扩大为原来的2倍得到菱形OA3B3C3（即OB3＝2OB2）…依次类推，则点B2025的坐标为（）A．（22025，22025） B．（2507，2507） C．（﹣22005，22025） D．（﹣22025，﹣22025）【分析】由题意得B1的坐标为（2，2），同理B2的坐标为（4，﹣4），即（22，﹣22），B3的坐标为（﹣8，﹣8），即（﹣23，﹣23），B4的坐标为（﹣16，16），即（﹣24，24），……，再由2025÷4＝506……1，即可得出结论．【解答】解：∵点B的坐标为（﹣1，1），第1次将菱形OABC绕着点O顺时针旋转90°，同时扩大为原来的2倍得到菱形OA1B1C1（即OB1＝2OB），∴B1的坐标为（2，2），同理：B2的坐标为（4，﹣4），即（22，﹣22），B3的坐标为（﹣8，﹣8），即（﹣23，﹣23），B4的坐标为（﹣16，16），即（﹣24，24），……，∵2025÷4＝506……1，∴点B2025的坐标为（22025，22025），故选：A．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）若最简二次根式2a−43a+b与a−b是同类根式，则2a﹣b＝9【分析】结合同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．进行求解即可．【解答】解：∵最简二次根式2a−43a+b与a−b∴2a﹣4＝2，3a+b＝a﹣b，解得：a＝3，b＝﹣3．∴2a﹣b＝2×3﹣（﹣3）＝9．故答案为：9．12．（3分）若0≤x≤1，则x2+【分析】根据二次根式的性质化简即可．【解答】解：∵0≤x≤1，∴x﹣1≤0，∴x＝x+1﹣x＝1．故答案为：1．13．（3分）如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝25°，则∠DHO的度数是25°．【分析】由菱形的性质可得AD＝AB，BO＝OD，∠DAO＝∠BAO＝25°，AC⊥BD，可求∠ABD＝65°，由直角三角形的性质可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB，BO＝OD，∠DAO＝∠BAO＝25°，AC⊥BD，∴∠ABD＝65°，∵DH⊥AB，BO＝DO，∴HO＝DO，∴∠DHO＝∠BDH＝90°﹣∠ABD＝25°，故答案为25°．14．（3分）在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离AB长度为1尺．将它往前水平推送10尺，即A'C＝10尺，则此时秋千的踏板离地距离A'D就和身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，则绳索OA长为14.5尺．【分析】设秋千的绳索长OA＝x尺，由题意知：OC＝x﹣（5﹣1）＝（x﹣4）尺，CA′＝10尺，OA′＝x尺，根据勾股定理列方程即可得出结论．【解答】解：设秋千的绳索长为x尺，由题意知：OC＝x﹣（5﹣1）＝（x﹣4）尺，CA′＝10尺，OA′＝x尺，在Rt△OCA′中，OC2+CA′2＝CA′2，∴（x﹣4）2+102＝x2，解得：x＝14.5，答：绳索OA长为14.5尺．故答案为：14.5．15．（3分）如图是用八个全等的直角三角形拼成的“弦图”．记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若正方形EFGH的边长为6，则S1+S2+S3＝18．【分析】根据八个直角三角形全等，四边形ABCD，四边形EFGH，四边形MNKT是正方形，得出CG＝KG，CF＝DG＝KF，再根据S1＝（CG+DG）2，S2＝GF2，S3＝（FM﹣FN）2，S1+S2+S3＝3GF2，即可求解．【解答】解：在Rt△CFG中可得CG2+CF2＝GF2，∵四边形ABCD，四边形EFGH，四边形MNKT是正方形，八个直角三角形全等，∴CF＝FN＝DG，CG＝FM＝NG，∴S1＝（CG+DG）（CG+DG）＝CG2+DG2+2CG•DG＝CG2+CF2+2CG•DG＝GF2+2CG•DG，S2＝GF×GF＝GF2，S3＝（FM﹣FN）（FM﹣FN），＝FM2+FN2﹣2FM•FN＝CG2+CF2﹣2CG•DG＝GF2﹣2CG•DG，∵正方形EFGH的边长为6，∴GF2＝6，∴S1+S2+S3＝GF2+2CG•DG+GF2+GF2﹣2CG•DG＝3GF2＝3×6＝18．故答案为：18．16．（3分）如图，矩形ABCD中，AD＝18，AB＝24．点E为边DC上的一个动点，△AD'E与△ADE关于直线AE对称，当△CD'E为直角三角形时，DE的长为9或18．【分析】分两种情况•分别求解，（1）当∠CED′＝90°时，如图（1），根据轴对称的性质得∠AED＝∠AED′＝45′，得DE＝AD＝18；（2）当∠ED′A＝90°时，如图（2），根据轴对称的性质得∠AD′E＝∠D，AD′＝AD，DE＝D′E，得A、D′、C在同一直线上，根据勾股定理得AC＝30，设DE＝D′E＝x，则EC＝CD﹣DE＝24﹣x，根据勾股定理得，D′E2+D′C2＝EC2，代入相关的值，计算即可．【解答】解：（1）当∠CED′＝90°时，如图（1），∵∠CED′＝90°，根据轴对称的性质得∠AED＝∠AED′=1∵∠D＝90°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴DE＝AD＝18；（2）当∠ED′A＝90°时，如图（2），根据轴对称的性质得∠AD′E＝∠D＝90°，AD′＝AD，DE＝D′E，△CD'E为直角三角形，即∠CD′E＝90°，∴∠AD′E+∠CD′E＝180°，∴A、D′、C在同一直线上，根据勾股定理得AC=A∴CD′＝30﹣18＝12，设DE＝D′E＝x，则EC＝CD﹣DE＝24﹣x，在Rt△D′EC中，D′E2+D′C2＝EC2，即x2+144＝（24﹣x）2，解得x＝9，即DE＝9；综上所述：DE的长为9或18；故答案为：9或18．三．解答题（共8小题，满分72分）17．（8分）计算：（1）15（2）(23【分析】（1）先算乘除，再算加法；（2）先算完全平方，平方差，再算加减．【解答】解：（1）原式==3=7（2）原式＝12+43+＝13+43−＝19+43．18．（8分）已知x=5+1，（1）x2﹣xy+y2；（2）xy【分析】求出x+y＝25，xy＝4；（1）把所求式子变形后再代入计算即可；（2）把所求式子通分，再变形后再代入计算即可．【解答】解：∵x=5+1，∴x+y＝25，xy＝4；（1）x2﹣xy+y2＝（x+y）2﹣3xy＝（25）2﹣3×4＝20﹣12＝8；（2）x=x=(x+y=(2=20−8＝3．19．（8分）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°．（1）尺规作图：按下列要求完成作图（保留作图痕迹，请标明字母）①作线段AB的垂直平分线l，交AB于点O；②连接CO并延长，在CO的延长线上截取OD，使得OD＝OC；③连接DA、DB．（2）若AB＝25，BC＝7，则BD＝24．【分析】（1）根据所给作图步骤作图即可．（2）由题意可得四边形ACBD为矩形，可得CD＝AB＝25，∠CBD＝90°．再根据BD=C【解答】解：（1）如图所示．（2）∵直线l为线段AB的垂直平分线，∴OA＝OB，∵OD＝OC，∴四边形ACBD为平行四边形．∵∠ACB＝90°，∴四边形ACBD为矩形．∴CD＝AB＝25，∠CBD＝90°．由勾股定理得，BD=C故答案为：24．20．（8分）如图1，在每个边长为1的小正方形的网格中，点A、B、C均在格点上．仅用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示.（1）画出以AB为边的菱形ABCD；（2）直接写出点D到AB的距离4；（3）在CD上画点E，使∠ABE＝45°；（4）如图2，点F为AB与格线交点，取AF中点G，连AC，在AC上画点H，使GH＝GF．【分析】（1）根据菱形的定义画出图形；（2）利用菱形的高的性质解决问题；（3）取格点J，构造等腰直角△ABJ，BJ交CD一点E，∠ABE即为所求；（4）取AC的中点E，连接BE，利用平行线的判定定理在AE上取一点H，使得AH＝2HE．作线段GH即可，这里利用直角三角形斜边中线的性质证明GH＝GF＝GA．【解答】解：（1）如图1中，四边形ABCD即为所求；（2）点D到AB的矩形是菱形的高＝AH＝4，故答案为：4；（3）如图1中，∠ABE即为所求；（4）如图2中，点G，点H即为所求．21．（8分）如图，点E为平行四边形ABCD的边AD上的一点，连接EB并延长，使BF＝BE，连接EC并延长，使CG＝CE，连接FG．H为FG的中点，连接DH，AF．（1）求证：四边形AFHD为平行四边形；（2）连接EH，交BC于点O，若OB＝OE，FG＝8，求OH的长度．【分析】（1）由平行四边形的性质得AD＝BC，AD∥BC，再证BC是△EFG的中位线，得BC∥FG，BC=12FG，证出AD∥FH，AD∥（2）连接BH、EH、CH，由三角形的中位线定理以及平行四边形的判定和性质解答即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∠BAE＝∠BCD，∵BF＝BE，CG＝CE，∴BC是△EFG的中位线，∴BC∥FG，BC=1∵H为FG的中点，FH=1∴BC∥FH，BC＝FH，∴AD∥FH，AD＝FH，∴四边形AFHD是平行四边形；（2）解：连接BH，EH，CH，∵CE＝CG，FH＝HG，∴CH=12EF，CH∵EB=BF=1∴BE＝CH，∴四边形EBHC是平行四边形，∴OB＝OC，OE＝OH，∵OB＝OE，∴OE=OH=OB=OC=1∵BC=1∴OH＝2．22．（10分）武汉光谷中央生态大走廊大草坪上，不仅有空轨旅游专线，而且视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所．某校801班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米．（1）求风筝的垂直高度CE；（2）如果小明站在原地想风筝沿CD方向下降12米，则他应该往回收线多少米？（3）小亮想一边收线，一边后退，也使风筝沿CD方向下降12米，且让收线的长度和后退的距离相等．试问小亮的想法能否实现，如果能实现，请求出收线的长度；如果不能实现，请说明理由．【分析】（1）根据勾股定理求出CD的长即可得出结果；（2）设他应该往回收线x米，根据勾股定理得出方程求解即可；（3）设收线的长度为y米，根据勾股定理得出方程求解即可．【解答】解：（1）在Rt△CBD中，由勾股定理得，CD=B∴EC＝CD+DE＝20+1.6＝21.6（米）；（2）设他应该往回收线x米，根据勾股定理得，（25﹣x）2＝152+（20﹣12）2，解得x＝8，即他应该往回收线8米；（3）设收线的长度为y米，如图，则B'F＝（25﹣y）米，DF＝CD﹣CF＝20﹣12＝8（米），B'D＝BD+BB'＝（15+y）米，根据勾股定理得，（25﹣y）2＝（20﹣12）2+（15+y）2，解得y＝4.2，即收线的长度为4.2米．23．（10分）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P是直线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE（A，P，E按逆时针排列），点E的位置随点P的位置变化而变化．（1）如图1，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，则BP与CE的数量关系是BP＝CE，BC与CE的位置关系是BC⊥CE；（2）如图2，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；（3）当点P在直线BD上时，其他条件不变，连接BE．若AB=23，BE=219，请直接写出线段【分析】（1）连接AC，根据菱形的性质和等边三角形的性质证明△BAP≌△CAE即可证得结论；（2）（1）中的结论成立，用（1）中的方法证明△BAP≌△CAE即可；（3）分两种情形：当点P在BD的延长线上时或点P在线段DB的延长线上时，连接AC交BD于点O，由∠BCE＝90°，根据勾股定理求出CE的长即得到BP的长，则可得出答案．【解答】解：（1）如图1，连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°；∵△APE是等边三角形，∴AP＝AE，∠PAE＝60°，∴∠BAP＝∠CAE＝60°﹣∠PAC，∴△BAP≌△CAE（SAS），∴BP＝CE；∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABP=12∠∴∠ABP＝∠ACE＝30°，∵∠ACB＝60°，∴∠BCE＝60°+30°＝90°，∴CE⊥BC；故答案为：BP＝CE，CE⊥BC；（2）（1）中的结论：BP＝CE，CE⊥AD仍然成立，理由如下：如图2中，连接AC，∵菱形ABCD，∠ABC＝60°，∴△ABC和△ACD都是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAD＝120°，∠BAP＝120°﹣∠DAP，∵△APE是等边三角形，∴AP＝AE，∠PAE＝60°，∴∠CAE＝60°+60°﹣∠DAP＝120°﹣∠DAP，∴∠BAP＝∠CAE，∴△ABP≌△ACE（SAS），∴BP＝CE，∠ACE＝∠ABD＝30°，∴∠BCE＝60°+30°＝90°，∴CE⊥BC．∴（1）中的结论：BP＝CE，CE⊥AD仍然成立；（3）AP的长为27或2如图3中，当点P在BD的延长线上时，连接AC交BD于点O，连接CE，BE，作EF⊥AP于F，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BD平分∠ABC，∵∠ABC＝60°，AB=23∴∠ABO＝30°，∴AO=12AB=∴BD＝6，由