初三数学-第05讲-直角三角形的边角关系（提高）-教案

学科教师辅导讲义学员编号：年级：九年级（下）课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第05讲-----直角三角形的边角关系授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标掌握三角函数的几何意义；熟练进行三角函数值的相关计算；熟练利用边角关系进行解三角形；熟练应用边角关系构造直角三角形解决实际问题；进一步提高数学建模、实际应用的能力。授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂体系搭建体系搭建知识梳理知识概念三角函数的概念1、正弦，余弦，正切的概念(及书写规范)如图，在中，（1）＝EQ\F(a,b)（2）＝EQ\F(a,c)（3）＝EQ\F(b,c)2、定义中应该注意的几个问题（1）sinA、cosA、tanA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)（2）sinA、cosA、tanA是一个比值（数值）（3）sinA、cosA、tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关。（二）特殊角的三角函数值度数sinαcosαtanα30°45°160°（三）三角函数之间的关系1、余角关系：在∠A+∠B=90°时2、同角关系sin2A+cos2A=1.（四）斜坡的坡度1、仰角、俯角、坡度、坡角和方向角（1）仰角：视线在水平线上方的角叫仰角．俯角：视线在水平线下方的角叫俯角．（2）坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或叫坡比)，用字母i表示．坡角：坡面与水平面的夹角叫坡角，用α表示，则有i＝_tanα如图所示，，即坡度是坡角的正切值．（3）方向角：平面上，通过观察点O作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从O点出发的视线与水平线或铅锤线所夹的角，叫做观测的方向角．（五）解三角形及其应用1、解直角三角形应用题的步骤（1）根据题目已知条件，画出平面几何图形，找出已知条件中各量之间的关系．（2）若是直角三角形，根据边角关系进行计算；若不是直角三角形，应大胆尝试添加辅助线，构造直角三角形进行解决．2、解三角形关系解直角三角形时，正确选择关系式是关键：（1）求边时一般用未知边比已知边，去找已知角的某一个三角函数；（2）求角时一般用已知边比已知边，去找未知角的某一个三角函数；（3）求某些未知量的途径往往不唯一，其选择的原则：①尽量直接使用原始数据；②计算简便；③若能用乘法应避免除法．3、利用（三角函数）解直角三角形解实际应用题的一般步骤：①弄清题中名词术语的意义(如俯角、仰角、坡角、方向角等)，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型；②将实际问题中的数量关系归结为直角三角形中元素之间的关系，当有些图形不是直角三角形时，可添加适当的辅助线，把它们分割成直角三角形；③寻求基础直角三角形，并解这个三角形或设未知数进行求解．考点一：锐角三角函数例1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB上的高，下列线段的比值不等于cosA的值的是（）A． B． C． D．【解析】C．例2、已知∠A为锐角，且tanA=，则∠A的取值范围是（）A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45° C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90°【解析】C．例3、计算：sin45°+cos230°﹣+2sin60°．【解析】原式=•+（）2﹣+2×=+﹣+=1+．考点二：坡度、坡角实际问题例1、如图，某水渠的横断面是梯形，已知其斜坡AD的坡度为1：1.2，斜坡BC的坡度为1：0.8，现测得放水前的水面宽EF为3.8米，当水闸放水后，水渠内水面宽GH为6米．则放水后水面上升的高度是（）米．A．1.2 B．1.1 C．0.8 D．2.2【解析】过点E作EM⊥GH于点M，过点F作FN⊥GH于点N，可得四边形EFNM为矩形，则MN=EF，设ME=FN=x，在Rt△GME中，∵斜坡AD的坡度为1：1.2，∴ME：GM=1：1.2，∴GM=1.2x，在Rt△NHF中，∵斜坡BC的坡度为1：0.8，∴NF：NH=1：0.8，∴NH=0.8x，则GH=1.2x+0.8x+3.8=6，解得：x=1.1．故选B．例2、如图，某仓储中心有一斜坡AB，其坡度为i=1：2，顶部A处的高AC为4m，B、C在同一水平地面上．（1）求斜坡AB的水平宽度BC；（2）矩形DEFG为长方体货柜的侧面图，其中DE=2.5m，EF=2m，将该货柜沿斜坡向上运送，当BF=3.5m时，求点D离地面的高．（结果保留根号）【解析】（1）∵坡度为i=1：2，AC=4m，∴BC=4×2=8m．（2）作DS⊥BC，垂足为S，且与AB相交于H．∵∠DGH=∠BSH，∠DHG=∠BHS，∴∠GDH=∠SBH，∴=，∵DG=EF=2m，∴GH=1m，∴DH==m，BH=BF+FH=3.5+（2.5﹣1）=5m，设HS=xm，则BS=2xm，∴x2+（2x）2=52，∴x=m∴DS=+=2m．考点三：解三角形例1、如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD=3，cosB=，则AC的长为（）A．3 B．3.5 C．4.8 D．5【解析】∵在Rt△ABC中，cosB=，∴sinB=，tanB=．∵在Rt△ABD中AD=3，∴AB=．在Rt△ABC中，∵tanB=，∴AC=，故选D例2、如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA=，BC=8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E．（1）求线段CD的长；（2）求cos∠ABE的值．【解析】（1）在△ABC中，∵∠ACB=90°，∴sinA==，而BC=8，∴AB=10，∵D是AB中点，∴CD=AB=5；（2）在Rt△ABC中，∵AB=10，BC=8，∴AC==6，∵D是AB中点，∴BD=5，S△BDC=S△ADC，∴S△BDC=S△ABC，即CD•BE=•AC•BC，∴BE==，在Rt△BDE中，cos∠DBE===，即cos∠ABE的值为．考点四：三角函数综合应用例1、如图，某日，正在我国南海海域作业的一艘大型渔船突然发生险情，相关部门接到求救信号后，立即调遣一架直升飞机和一艘正在南海巡航的渔政船前往救援，当飞机到达海面3000m的高空C处时，测得A处渔政船的俯角为45°，测得B处发生险情渔船的俯角为30°，此时渔政船和渔船的距离AB是（）A．3000m B．3000（）m C．3000（）m D．1500m【解析】如图，由题意可知CE∥BD，∴∠CBA=30°，∠CAD=45°，且CD=3000m，在Rt△ACD中，AD=CD=3000m，在Rt△BCD中，BD===3000m，∴AB=BD﹣AD=3000﹣3000=3000（﹣1）（m），故选C．例2、如图，小山岗的斜坡AC的坡角α=45°，在与山脚C距离200米的D处，测得山顶A的仰角为26.6°，小山岗的高AB约为（结果取整数，参考数据：sin26.6°=0.45，cos26.6°=0.89，tan26.6°=0.50）（）A．164m B．178m C．200m D．1618m【解析】∵在直角三角形ABC中，=tanα=1，∴BC=AB，∵在直角三角形ADB中，∴=tan26.6°=0.50，即：BD=2AB，∵BD﹣BC=CD=200，∴2AB﹣AB=200，解得：AB=200米，答：小山岗的高度为200米；故选C．例3、如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60°方向上，航行半小时后到达B处，此时观测到灯塔M在北偏东30°方向上，那么该船继续航行到达离灯塔距离最近的位置所需时间是（）A．10分钟 B．15分钟 C．20分钟 D．25分钟【解析】作MN⊥AB于点N．∵在直角△BMN中，∠MBN=90°﹣30°=60°，∠BMN=30°，又∵∠MAN=90°﹣60°=30°，∴∠AMN=60°，∴∠MAB=∠AMB，∴AB=BM，∴BN=BM，又∵由A到B航行半小时，即30分钟，∴由B到N是15分钟．故选B．P(Practice-Oriented)——实战演练实战演练实战演练课堂狙击1、如图，点A为∠α边上任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是（）A． B． C． D．【解析】D．2、如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanA的值是（）A． B． C．2 D．【解析】D．3、α是锐角，且，则（）A．0°＜α＜30° B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．60°＜α＜90°【解析】B.4、如图，已知AD是等腰△ABC底边上的高，且sinB=．点E在AC上且AE：EC=2：3．则tan∠ADE等于（）A． B． C． D．【解析】D．5、斜坡的倾斜角为α，一辆汽车沿这个斜坡前进了500米，则它上升的高度是（）A．500•sinα米 B．米 C．500•cosα米 D．米【解析】A．6、如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1：2，AC=3米，坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连，若AB=10米，则旗杆BC的高为（）A．（3+）米 B．8米C．6米 D．5米【解析】D．7、如图，热气球从C地垂直上升2km到达A处，观察员在A处观察B地的俯角为30°，则B、C两地之间的距离为（）A．km B． C．2km D．2【解析】D．8、小敏家对面新建了一幢图书大厦，小敏在自家窗口测得大厦顶部的仰角为45°，大厦底部的仰角为30°，如图所示，量得两幢楼之间的距离为20米．（1）求出大厦的高度BD；（2）求出小敏家的高度AE．【解析】（1）如图，∵AC⊥BD，∴BD⊥DE，AE⊥DE，∴四边形AEDC是矩形，∴AC=DE=20米，∵在Rt△ABC中，∠BAC=45°，∴BC=AC=20米，在Rt△ACD中，tan30°=，∴CD=AC•tan30°=20×=20（米），∴BD=BC+CD=20+20（米）；∴大厦的高度BD为：（20+20）米；（2）∵四边形AEDC是矩形，∴AE=CD=20米．∴小敏家的高度AE为20米．9、2016年10月强台风“海马”登录深圳，伴随着就是狂风暴雨．梧桐山山坡上有一棵与水平面垂直的大树，台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面（如图所示）．已知山坡的坡角∠AEF=23°，量得树干的倾斜角为∠BAC=38°，大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC=60°，AD=3m．（1）求∠DAC的度数；（2）求这棵大树折断前的高度．（结果保留根号）【解析】（1）延长BA交EF于一点G，如图所示，则∠DAC=180°﹣∠BAC﹣∠GAE=180°﹣38°﹣（90°﹣23°）=75°；（2）过点A作CD的垂线，设垂足为H，在Rt△ADH中，∠ADC=60°，∠AHD=90°，∴∠DAH=30°，∵AD=3，∴DH=，AH=，在Rt△ACH中，∠CAH=∠CAD﹣∠DAH=75°﹣30°=45°，∴∠C=45°，∴CH=AH=，AC=，则树高++（米）．课后反击1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB上的高，下列线段的比值不等于cosA的值的是（）A． B． C． D．【解析】C．2、如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为（）A． B． C．3 D．【解析】D．3、若0°＜α＜90°，则下列说法不正确的是（）A．sinα随α的增大而增大B．cosα随α的增大而减小C．tanα随α的增大而增大D．sinα、cosα、tanα的值都随α的增大而增大【解析】D．4、如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD=3，cosB=，则AC的长为（）A．3 B．3.5 C．4.8 D．5【解析】D．5、某人沿倾斜角为30°的斜坡前进6米，则他上升的最大高度为（）A．3米 B．3米 C．米 D．2米【解析】A．6、如图，某天小明发现阳光下电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量的CD=8米，BC=20米，斜坡CD的坡度比为1：，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为（）A．（14+2）米 B．28米 C．（7+）米 D．9米【解析】如图所示：过D作DE垂直BC的延长线于E，且过D作DF⊥AB于F，∵在Rt△DEC中，CD=8，斜坡CD的坡度比为1：，∴∠DCE=30°，∴DE=4米，CE=4米，∴BF=4米，DF=20+4（米），∵1米杆的影长为2米，∴=，则AF=（10+2）米，AB=AF+BF=10+2+4=（14+2）米，∴电线杆的高度（14+2）米．故选：A．7、如图，在一个20米高的楼顶上有一信号塔DC，某同学为了测量信号塔的高度，在地面的A处测得信号塔下端D的仰角为30°，然后他正对塔的方向前进了8米到达地面的B处，又测得信号塔顶端C的仰角为45°，CD⊥AB于点E，E、B、A在一条直线上．信号塔CD的高度为（）A．20 B．20﹣8 C．20﹣28 D．20﹣20【解析】C．8、如图，岛P位于岛Q的正西方，P、Q两岛间的距离为20（1+）海里，由岛P、Q分别测得船R位于南偏东30°和南偏西45°方向上，则船R到岛P的距离为（）A．40海里 B．40海里C．40海里 D．40海里【解析】A．9、计算：（1）+tan60°（2）2cos45°•sin45°﹣2sin30°•tan45°+•tan60°．【解析】（1）+；（2）3．10、据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一，所以规定以下情境中的速度不得超过15m/s，在一条笔直公路BD的上方A处有一探测仪，如平面几何图，AD=24m，∠D=90°，第一次探测到一辆轿车从B点匀速向D点行驶，测得∠ABD=31°，2秒后到达C点，测得∠ACD=50°（tan31°≈0.6，tan50°≈1.2，结果精确到1m）（1）求B，C的距离．（2）通过计算，判断此轿车是否超速．【解析】（1）在Rt△ABD中，AD=24m，∠B=31°，∴tan31°=，即BD==40m，在Rt△ACD中，AD=24m，∠ACD=50°，∴tan50°=，即CD==20m，∴BC=BD﹣CD=40﹣20=20m，则B，C的距离为20m；（2）根据题意得：20÷2=10m/s＜15m/s，则此轿车没有超速．直击中考直击中考1、【2016•益阳】小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C=α（B′C为水平线），测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为（）A． B． C． D．【解析】A．2、【2013•深圳】如图，已知l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直