初三数学暑假课程 第01讲-三角形的证明-教案

第01讲三角形的证明温故知新三角形全等的条件（1）三角形全等条件1：三条边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”。注意：①在运用“SSS”判定三角形全等，必须同时满足三边对应相等，只有一边或两边对应相等是不能得到全等的。②“SSS”判定全等只适用于三角形，不能适用其他图形。符号语言：已知△ABC与△DEF的三条边对应相等。在△ABC与△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SSS）（2）三角形全等条件2：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”。注意：①用“ASA”判定两个三角形全等时，一定要说明两个角及夹边对应相等②在书写两个三角形全等的条件“ASA”时，一般把夹边相等写在中间的位置。符号语言：已知∠D=∠E，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE．求证：△ABD≌△ACE．证明：在△ABD和△ACE中，∠D=∠EAD=AE∠BAD＝∠CAE∴△ABD≌△ACE（ASA）（3）三角形全等条件3：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“边边角”或“AAS”。符号语言：如图：D在AB上，E在AC上，DC=EB,∠C=∠B．求证：△ACD≌△ABE证明：在△ACD和△ABE中．∠C=∠B∠A=∠ADC=EB∴△ACD≌△ABE（AAS）．注意：“AAS”中的“S”是有限制条件的，必须是两组对应等角中一组等角的对边。（4）三角形全等条件4：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”。符号语言：在△ABC与△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SAS）．注意：①应用“SAS”时，必须满足相等的角是对应相等两边的夹角，即“两边夹一角”。（5）直角三角形全等条件：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”。符号语言：在Rt△ABC与Rt△DEF中，∠ABC=∠DEF=90°，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）．注意：①应用“HL”判定两个直角三角形全等，书写时，两个三角形符号前要加上“Rt”②“HL”是判定两个直角三角形全等的特殊方法，但不是唯一的方法，前面学过的判定方法在直角三角形中仍然适用。课堂导入知识要点一 知识要点一等腰三角形等腰三角形1、等腰三角形的性质定理（1）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。（AAS）（2）等腰三角形的两底角相等。即等边对等角。（3）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合。即三线合一。（4）等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°。2、等腰三角形的判定定理（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形。（2）有两个角相等的三角形是等腰三角形。即等角对等边。（3）三个角都相等的三角形是等边三角形。（4）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 典例分析例1、等腰三角形有一个角是90°，则另两个角分别是（）A．30°，60° B．45°，45°C．45°，90°D．20°，70°【解答】选B．例2、如图在等腰△ABC中，其中AB=AC，∠A=40°，P是△ABC内一点，且∠1=∠2，则∠BPC等于（）A．110° B．120°C．130° D．140°【解答】∵∠A=40°，∴∠ACB+∠ABC=180°﹣40°=140°，又∵∠ABC=∠ACB，∠1=∠2，∴∠PBA=∠PCB，∴∠1+∠ABP=∠PCB+∠2=140°×=70°，∴∠BPC=180°﹣70°=110°．故选A．例3、如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，则∠P的度数为（）A．44° B．66° C．88° D．92°【解答】∵PA=PB，∴∠A=∠B，在△AMK和△BKN中，，∴△AMK≌△BKN，∴∠AMK=∠BKN，∵∠MKB=∠MKN+∠NKB=∠A+∠AMK，∴∠A=∠MKN=44°，∴∠P=180°﹣∠A﹣∠B=92°，故选：D．例4、如图，在△ABC中，AB=AC=6，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，连接AD，若AD=4，则DC=5．【解答】过A作AF⊥BC于F，∵AB=AC，∴BF=CF=BC，∵AB的垂直平分线交AB于点E，∴BD=AD=4，设DF=x，∴BF=4+x，∵AF2=AB2﹣BF2=AD2﹣DF2，即16﹣x2=36﹣（4+x）2，∴x=0.5，∴DF=0.5，∴CD=CF+DF=BF+DF=BD+2DF=4+0.5×2=5，故答案为：5．举一反三1、如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为55°．【解答】AB=AC，D为BC中点，∴AD是∠BAC的平分线，∠B=∠C，∵∠BAD=35°，∴∠BAC=2∠BAD=70°，∴∠C=（180°﹣70°）=55°．故答案为：55°．2、在等腰△ABC中，AB=AC，AC腰上的中线BD将三角形周长分为15和21两部分，则这个三角形的底边长为16或8．【解答】∵BD是等腰△ABC的中线，可设AD=CD=x，则AB=AC=2x，又知BD将三角形周长分为15和21两部分，∴可知分为两种情况①AB+AD=15，即3x=15，解得x=5，此时BC=21﹣x=21﹣5=16；②AB+AD=21，即3x=21，解得x=7；此时等腰△ABC的三边分别为14，14，8．经验证，这两种情况都是成立的．∴这个三角形的底边长为8或16．故答案为：16或8．3、如图，锐角三角形的两条高BD、CE相交于点O，且OB=OC．求证：△ABC是等腰三角形．【解答】证明：∵锐角三角形的两条高BD、CE相交于点O，∴∠OEB=∠ODC=90°，∠EOB=∠DOC，∴∠EBO=∠DCO，又∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．知识要点二 知识要点二直角三角形直角三角形1、在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。2、直角三角形的性质和判定方法定理：直角三角形的两个锐角互余。定理：有两个角互余的三角形是直角三角形。3、勾股定理：勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。4、勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。5、逆命题、逆定理互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆命题。6、斜边、直角边定理定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。简述为“斜边、直角边定理”或“HL”定理。 典例分析例1、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，如果∠A=50°，则∠DCB=（）A．50° B．45° C．40° D．25°【解答】∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，∴∠B=40°，∵CD是AB边上的高，∴∠CDB=90°，∴∠DCB=50°，故选A．例2、具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（）A．∠A+∠B=∠C B．∠A﹣∠B=∠CC．∠A：∠B：∠C=1：2：3 D．∠A=∠B=3∠C【解答】选：D．例3、如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，CD为高，且CD，CE三等分∠ACB．（1）求∠B的度数；（2）求证：CE是AB边上的中线，且CE=AB．【解答】（1）∵在△ABC中，∠ACB=90°，CD，CE三等分∠ACB，∴∠ACD=∠DCE=∠BCE=30°，则∠BCD=60°，又∵CD为高，∴∠B=90°﹣60°=30°（2）证明：由（1）知，∠B=∠BCE=30°，则CE=BE，AC=AB．∵∠ACB=90°，∠B=30°，∴∠A=60°，又∵由（1）知，∠ACD=∠DCE=30°，∴∠ACE=∠A=60°，∴△ACE是等边三角形，∴AC=AE=EC=AB，∴AE=BE，即点E是AB的中点．∴CE是AB边上的中线，且CE=AB．例4、如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD的中点，试说明：（1）MD=MB；（2）MN⊥BD．【解答】（1）∵∠ABC=∠ADC=90°，M是AC的中点，∴BM=AC，DM=AC，∴DM=BM；（2）由（1）可知DM=BM，∵N是BD的中点，∴MN⊥BD．举一反三1．如图，在△ABC中，∠C=90°，点E是AC上的点，且∠1=∠2，DE垂直平分AB，垂足是D，如果EC=3cm，则AE等于（）A．3cm B．4cm C．6cm D．9cm【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴AE=BE，∴∠2=∠A，∵∠1=∠2，∴∠A=∠1=∠2，∵∠C=90°，∴∠A=∠1=∠2=30°，∵∠1=∠2，ED⊥AB，∠C=90°，∴CE=DE=3cm，在Rt△ADE中，∠ADE=90°，∠A=30°，∴AE=2DE=6cm，故选C．2．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（）A．2.5 B． C． D．2【解答】解：如图，连接AC、CF，∵正方形ABCD和正方形CEFG中，BC=1，CE=3，∴AC=，CF=3，∠ACD=∠GCF=45°，∴∠ACF=90°，由勾股定理得，AF===2，∵H是AF的中点，∴CH=AF=×2=．故选：B．3．如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，则PD的长为2．【解答】解：过P作PE⊥OB，交OB与点E，∵∠AOP=∠BOP，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE，∵PC∥OA，∴∠CPO=∠POD，又∠AOP=∠BOP=15°，∴∠CPO=∠BOP=15°，又∠ECP为△OCP的外角，∴∠ECP=∠COP+∠CPO=30°，在直角三角形CEP中，∠ECP=30°，PC=4，∴PE=PC=2，则PD=PE=2．故答案为：2．4．在△ABC中，AB边上的中线CD=3，AB=6，BC+AC=8，则△ABC的面积为7．【解答】解：如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，∵CD=3，AB=6，∴AD=DB=3，∴CD=AD=DB，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴∠1+∠3=90°，∴△ABC是直角三角形，∴AC2+BC2=AB2=36，又∵AC+BC=8，∴AC2+2AC•BC+BC2=64，∴2AC•BC=64﹣（AC2+BC2）=64﹣36=28，又∵S△ABC=AC•BC，∴S△ABC==7．5．如图，等腰△ABC中，AB=AC=10，∠B=15°，则S△ABC=25．【解答】解：如图，过点C作CD⊥BA的延长线于点D，∵AB=AC，∠B=15°，∴∠C=15°，∴∠CAD=∠B+∠C=15°+15°=30°，∴CD=AC=×10=5，∴S△ABC=AB•CD=×10×5=25．故答案为：25．6．如图，在△ACB中，∠ACB=90゜，CD⊥AB于D．（1）求证：∠ACD=∠B；（2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：∠CEF=∠CFE．【解答】证明：（1）∵∠ACB=90゜，CD⊥AB于D，∴∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，∴∠ACD=∠B；（2）在Rt△AFC中，∠CFA=90°﹣∠CAF，同理在Rt△AED中，∠AED=90°﹣∠DAE．又∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠DAE，∴∠AED=∠CFE，又∵∠CEF=∠AED，∴∠CEF=∠CFE．知识要点三 知识要点三垂直平分线与角平分线垂直平分线与角平分线1、线段垂直平分线的性质定理：定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。2、线段垂直平分线性质定理的逆定理（判定定理）定理：到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。3、三角形三条边的垂直平分线的性质性质：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个定点的距离相等。4、角平分线的性质定理：定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。5、角平分线性质定理的逆定理（判定定理）：定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。6、三角形三内角的角平分线性质：性质：三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等。典例分析例1、如图，△ABC中，AB=5，AC=6，BC=4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是（）A．8 B．9 C．10 D．11【解答】故选C．例2、如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF的度数为（）A．48° B．36° C．30° D．24°【解答】选A．例3、如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E．（1）求证：△ABD是等腰三角形；（2）若∠A=40°，求∠DBC的度数；（3）若AE=6，△CBD的周长为20，求△ABC的周长．【解答】（1）证明：∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，∴DB=DA，∴△ABD是等腰三角形；（2）∵△ABD是等腰三角形，∠A=40°，∴∠ABD=∠A=40°，∠ABC=∠C=（180°﹣40°）÷2=70°∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=70°﹣40°=30°；（3）∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，AE=6，∴AB=2AE=12，∵△CBD的周长为20，∴AC+BC=20，∴△ABC的周长=AB+AC+BC=12+20=32．例4、如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．【解答】证明：∵DE⊥AB，∴∠AED=90°=∠ACB，又∵AD平分∠BAC，∴∠DAE=∠DAC，∵AD=AD，∴△AED≌△ACD，∴AE=AC，∵AD平分∠BAC，∴AD⊥CE，即直线AD是线段CE的垂直平分线．举一反三1．已知P为△ABC三边垂直平分线的交点，且∠BAC=40°，则∠BPC=（）A．70° B．80° C．120° D．110°【解答】解：∵P为△ABC三边垂直平分线的交点，∴点P是△ABC的外心，由圆周角定理得，∠BPC=2∠BAC=80°，故选：B．2．如图，在△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（）A．65° B．60° C．55° D．45°【解答】解：由题意可得：MN是AC的垂直平分线，则AD=DC，故∠C=∠DAC，∵∠C=30°，∴∠DAC=30°，∵∠B=55°，∴∠BAC=95°，∴∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=65°，故选A．3．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DE=2，AC=3，则△ADC的面积是（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：如图，过点D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，∴DE=DF=2．∴S△ACD=AC•DF=×3×2=3，故选A．4．如图，O是Rt△ABC的角平分线的交点，OD∥AC，AC=5，BC=12，OD等于（）A．2 B．3 C．1 D．1【解答】解：作OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，在Rt△ABC中，AC=5，BC=12，由勾股定理得，AB=13，∵O是Rt△ABC的角平分线的交点，OD∥AC，∴OD⊥BC于D，又OE⊥AC，OF⊥AB，∴OD=OE=OF，∴×AC×BC=×AC×OE+BC×OD+AB×OF，解得，OD=2，故选：A．5．如图所示，△ABC中，∠A=90°，BD是角平分线，DE⊥BC，垂足是E，AC=10cm，CD=6cm，则DE的长为4cm．【解答】解：∵∠A=90°，BD是角平分线，DE⊥BC，∴DE=AD（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）∵AD=AC﹣CD=10﹣6=4cm，∴DE=4cm．故填4．6．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=4，BD是角平分线，则BC+CD=4．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C=90°，BD是角平分线，∴DE=CD，在Rt△BCD和Rt△BED中，，∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），∴BC=BE，∵∠C=90°，AC=BC，∴∠A=45°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴AE=DE，∵BE+AE=AB，∴BC+CD=AB，∵AB=4，∴BC+CD=4．故答案为：4．7．在△ABC中，∠B=22.5°，∠C=30°，AB的垂直平分线OD交BC边于点D，连结AD（1）求∠DAC的度数；（2）若AC=4cm，求△ABC的面积（结果保留根号）【解答】解：（1）∵OD是AB的垂直平分线；∴AD=BD，∴∠B=∠BAD=22.50，∴∠ADC=45°，∵∠A=30°，∴∠DAC=105°；（2）过A点作AE⊥BC于点E，则AE=DE，在Rt△ACE中，∵AC=4，∴AE=2，EC=2，∴DE=2，在Rt△AED中，AD=2，∴AD=BD=2，∴BC=2+2+2∴S△ABC==（）=（）．课堂闯关初出茅庐1、如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，则下列结论不一定成立的是（）A．AD=BD B．BD=CD C．∠1=∠2 D．∠B=∠C【解答】选A．2、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=55°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB=（）A．40°B．30° C．20° D．10°【解答】选：C．3、下列说法中，正确的是（）A．直角三角形中，已知两边长为3和4，则第三边长为5B．三角形是直角三角形，三角形的三边为a，b，c则满足a2﹣b2=c2C．以三个连续自然数为三边长能构成直角三角形D．△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：5：6，则△ABC是直角三角形【解答】故选D．4、如图，△ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A=25°，则∠BDC等于（）A．44° B．60° C．67° D．70°【解答】故选D．5、Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=54°，则∠A的度数是（）A．66° B．36° C．56 D．46°【解答】故选：B．6、如图，AB∥CE，BF交CE于点D，DE=DF，∠F=20°，则∠B的度数为40°．【解答】∵DE=DF，∠F=20°，∴∠E=∠F=20°，∴∠CDF=∠E+∠F=40°，∵AB∥CE，∴∠B=∠CDF=40°，故答案为：40°．7、如图，在△ABC中，已知△BAC=90°，AD⊥BC，AD与∠ABC的平分线交于点E，试说明△AEF是等腰三角形的理由．【解答】∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠DBF，又∵∠BAC=90°，AD⊥BC，∴∠AFE=90°﹣∠ABF，∠DEB=90°﹣∠DBF，∴∠AFE=∠DEB，又∵∠DEB=∠AEF，∴∠AEF=∠AFE，∴△AEF是等腰三角形．优学学霸8、如图：已知AB=AE，BC=ED，∠B=∠E，AF⊥CD，F为垂足，求证：①AC=AD；②CF=DF．【解答】证明：①∵AB=AE，BC=ED，∠B=∠E，∴△ABC≌△AED（SAS），∴AC=AD，②∵AF⊥CD，AC=AD，∴CF=FD（三线合一性质）．9、如图，AD平分∠BAC，BD⊥AD，DE∥AC，求证：△BDE是等腰三角形．【解答】证明：∵AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠CAD，∵DE∥AC，∴∠CAD=∠ADE，∴∠EAD=∠ADE，∵BD⊥AD∴∠ADE+∠BDE=90°，∴∠EAD+∠B=90°，∴∠BDE=∠B，∴BE=DE，∴△BDE是等腰三角形．10．如图，在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，AD的垂直平分线交AB于点E，则△DEF的面积为6﹣4．【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，∠ACB=90°，DE⊥AB，∴∠CAD=∠EAD，DE=CD，AE=AC=2，∵AD的垂直平分线交AB于点E，∴AF=DF，∴∠ADF=∠EAD，∴∠ADF=∠CAD，∴AC∥DE，∴∠BDE=∠C=90°，∴△BDF、△BED是等腰直角三角形，设DE=x，则EF=BE=x，BD=DF=2﹣x，在Rt△BED中，DE2+BE2=BD2，∴x2+x2=（2﹣x）2，解得x1=﹣2﹣2（负值舍去），x2=﹣2+2，∴△DEF的面积为（﹣2+2）×（﹣2+2）÷2=6﹣4．故答案为：6﹣4．考场直播1、如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB=72°，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，它们的交点为F，则图中等腰三角形有8个．【解答】由题意可得：∠ABD=∠DBC=∠ECB=∠ACE=∠A=36°，∠ABC=∠ACB=∠CDB=∠CFD=∠BFE=∠BEF=72°∴△ABC，△ABD，△ACE，△BEF，△CDF，△BCF，△BCE，△BCD均为等腰三角形，∴题中共有8个等腰三角形．故填8．2、如图，已知：AD平分∠CAE，AD∥BC．（1）求证：△ABC是等腰三角形．（2）当∠CAE等于多少度时△ABC是等边三角形？证明你的结论．【解答】（1）证明：∵AD平分∠CAE，∴∠EAD=∠CAD，∵AD∥BC，∴∠EAD=∠B，∠CAD=∠C，∴∠B=∠C，∴AB=AC．故△ABC是等腰三角形．（2）当∠CAE=120°时△ABC是等边三角形．∵∠CAE=120°，AD平分∠CAE，∴∠EAD=∠CAD=60°，∵AD∥BC，∴∠EAD=∠B=60°，∠CAD=∠C=60°，∴∠B=∠C=60°，∴△ABC是等边三角形．自我挑战1、若一个等腰三角形的两边长分别是2和5，则它的周长为（）A．12 B．9 C．12或9 D．9或7【解答】故选：A．2、如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠E=35°，则∠BAC的度数为（）A．40° B．45° C．60° D．70°【解答】故选：A3、如图，△ABC中，点D是边BC上一点，已知AB=AC=BD，AD=CD，则∠B=（）A．30° B．36° C．45° D．50°【解答】∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵CD=DA，∴∠C=∠DAC，∵BA=BD，∴