初三上册数学-第13讲-相似三角形的性质、应用与位似（提高）-教案

学科教师辅导讲义学员编号：年级：九年级课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第13讲----相似三角形的性质、应用与位似授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标掌握相似三角形的性质；掌握利用相似三角形测高的常见模型；了解位似及相关特征；进一步提高综合分析问题的能力及将数学应用到实际生活中的能力。授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂体系搭建体系搭建一、知识框架二、知识概念（一）黄金分割在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC＞BC)，如果AC＝eq\f(\r(5)－1,2)AB，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比，黄金比约为0.618，一条线段的黄金分割点有2个.（二）相似三角形的性质1、相似三角形对应角相等，对应边成比例.

2、相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.3、相似三角形周长的比等于相似比.4、相似三角形面积的比等于相似比的平方.（三）利用三角形相似测量高度方法1、利用阳光下的影子测量物高根据太阳光线是平行的，寻找相似三角形.在同一时刻，EQ\F(被测量物体的实际高度,被测量物体的影长)=\F(某物体的实际高度,某物体的影长)2、利用标杆测量物高观测者的眼睛、标杆顶端、旗杆顶端“三点一线”.3、利用镜子原理测量物高借助“反射角等于入射角”找出相等的角，得到三角形相似.（四）图形的位似1、位似图形的定义两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，并且对应边互相平行或位于同一直线上，像这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。2、图形位似的性质位似图形的任意一对对应点与位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。（1）位似图形对应线段的比等于相似比；（2）位似图形的对应角都相等；（3）位似图形对应点连线的交点是位似中心；（4）位似图形面积的比等于相似比的平方；（5）位似图形高、周长的比都等于相似比；（6）位似图形对应边互相平行或在同一直线上。典例分析典例分析考点一：黄金分割例1、已知线段AB=8，点C是AB的黄金分割点，则AC=【解析】根据黄金分割点的概念，应有两种情况，当AC是较长线段时，AC=4×=2﹣2；当AC是较短线段时，则AC=4﹣2+2=6﹣2．故本题答案为：2﹣2或6﹣2．例2、如图，在△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，若AE=BC，则点E是线段AB的黄金分割点吗？说明你的理由．【解析】点E是线段AB的黄金分割点．证明（略）考点二：相似三角形的性质例1、两个相似三角形的面积比为4：9，周长和是20cm，则这两个三角形的周长分别是（）A．8cm和12cm B．7cm和13cm C．9cm和11cm D．6cm和14cm【解析】A．例2、以边长为1的正方形ABCD的边AB为对角线作第二个正方形AEBO1，再以BE为对角线作第三个正方形EFBO2，如此作下去，…，则所作的第n个正方形的面积Sn=．【解析】∵正方形ABCD的边长为1，∴AB=1，AC=，∴AE=AO1=，则：AO2=AB=，∴S2=，S3=，S4=，∴作的第n个正方形的面积Sn=．故答案为：．考点三：利用三角形相似测高例1、某数学课外实习小组想利用树影测量树高，他们在同一时刻测得一身高为1.5米的同学的影子长为1.35米，因大树靠近一栋建筑物，大树的影子不全在地面上，他们测得地面部分的影子长BC=3.6米，墙上影子高CD=1.8米，求树高AB。【解析】过点D作DE⊥AB于E，

根据题题意得：四边形BCDE是矩形，

∴BE=CD=1.8m，∴EQ\F(AE,DE)=\F(1.5,1.35)\F(AE,3.6)=\F(1.5,1.35)解得：AE=4，

∴AB=AE+BE=4+1.8=5.8（m），树高AB为5.8m．例2、如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE=0.5米，EF=0.25米，目测点D到地面的距离DG=1.5米，到旗杆的水平距离DC=20米，求旗杆的高度．【解析】由题意可得：△DEF∽△DCA，则=，∵DE=0.5米，EF=0.25米，DG=1.5m，DC=20m，∴=，解得：AC=10，故AB=AC+BC=10+1.5=11.5（m），旗杆的高度为11.5m．例3、小红用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度：如图，在水平地面点E处放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离AE=20米．当她与镜子的距离CE=2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B．已知她的眼睛距地面高度DC=1.6米，请你帮助小红测量出大楼AB的高度（注：入射角=反射角）．【解析】∵根据反射定律知：∠FEB=∠FED，∴∠BEA=∠DEC∵∠BAE=∠DCE=90°∴△BAE∽△DCE∴；∵CE=2.5米，DC=1.6米，∴；∴AB=12.8∴大楼AB的高为12.8米．考点四：图形的位似例1、对于平面图形上的任意两点P，Q，如果经过某种变换得到新图形上的对应点P′，Q′，保持PQ=P′Q′，我们把这种变换称为“等距变换”，下列变换中不一定是等距变换的是（）A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．位似【解析】位似变换的性质：位似变换的两个图形是相似形，则位似变换不一定是等距变换，故选：D．例2、如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为（）A．（3，2） B．（3，1） C．（2，2） D．（4，2）【解析】∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，∴=，∵BG=6，∴AD=BC=2，∵AD∥BG，∴△OAD∽△OBG，∴=，∴=，解得：OA=1，∴OB=3，∴C点坐标为：（3，2），故选：A．P(Practice-Oriented)——实战演练实战演练实战演练课堂狙击1、将一个三角形改成与它相似的三角形，如果面积扩大为原来的9倍，那么周长扩大为原来的（）A．9倍 B．3倍 C．81倍 D．18倍【解析】B．2、己知两个相似三角形周长的比为3：2，其中较小的三角形面积为12，则较大的三角形的面积是（）A．27 B．24 C．18 D．16【解析】A3、已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为，则△ABC与△DEF对应中线的比为（）A． B． C． D．【解析】A4、如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，已知OB=3OB′，则△A′B′C′与△ABC的面积比为（）A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：9【解析】∵OB=3OB′，∴，∵以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，∴△A′B′C′∽ABC，∴=．∴=，故选D5、如图，为了测量一水塔的高度，小强用2米的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、水塔的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距8米，与水塔相距32米，则水塔的高度为10米．【解析】∵BC⊥AD，ED⊥AD，∴BC∥DE，∴△ABC∽△ADE，∴，即，∴DE=10，即水塔的高度是10米．6、两个相似三角形周长之比为4∶9，面积之和为291，则面积分别是。【解析】48；2437、在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB=2.5m，它的影子BC=2m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，PM=1.6m，MN=1m，求木竿PQ的长度．【解析】过N点作ND⊥PQ于D，如图所示：∴，又∵AB=2，BC=1.6，DN=PM=1.2，NM=0.8，∴QD===1.5，∴PQ=QD+DP=QD+NM=1.5+1=2.5（m）．木竿PQ的长度为2.5m．8、如图，矩形ABCD为台球桌面，AD=260cm，AB=130cm，球目前在E点位置，AE=60cm．如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D点位置．（1）求证：△BEF∽△CDF；（2）求CF的长．【解析】（1）证明：如图，在矩形ABCD中：∠DFC=∠EFB，∠EBF=∠FCD=90°，∴△BEF∽△CDF；（2）∵由（1）知，△BEF∽△CDF．∴=，即=，解得：CF=169．即：CF的长度是169cm．9、如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件PQMN，使正方形PQMN的边QM在BC上，其余两个项点P，N分别在AB，AC上．求这个正方形零件PQMN面积S.【解析】PN与AD交于点E，如图，设MN=xmm，易得四边形MNED为矩形，则ED=MN=x，∴AE=AD﹣ED=80﹣x，∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∴=，即=，∴PN=（80﹣x），∵PN=MN，∴（80﹣x）=x，解得x=48．故正方形零件PQMN面积S为：48×48=2304（mm2）．课后反击1、如图，已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB，若AB=1，则AP长约为（）A．1 B．0.618 C．0.5 D．0.382【解析】由于P为线段AB=1的黄金分割点，且AP是较长线段；则AP=AB=≈0.618．2、两个相似三角形，他们的周长分别是36和12．周长较大的三角形的最大边为15，周长较小的三角形的最小边为3，则周长较大的三角形的面积是（）A．52 B．54 C．56 D．58【解析】B．3、已知两个相似三角形的对应边长分别为9cm和11cm，它们的周长相差20cm，则这两个三角形的周长分别为（）A．45cm，65cm B．90cm，110cm C．45cm，55cm D．70cm，90cm【解析】B．4、如图，M是Rt△ABC的斜边BC上一点（M不与B、C重合），过点M作直线截△ABC，所得的三角形与△ABC相似，这样的直线共有（）A．0条 B．2条 C．3条 D．无数条【解析】C．5、如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6），B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（）A．（﹣1，2） B．（﹣9，18） C．（﹣9，18）或（9，﹣18） D．（﹣1，2）或（1，﹣2）【解析】∵A（﹣3，6），B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，∴点A的对应点A′的坐标为（﹣3×，6×）或[﹣3×（﹣），6×（﹣）]即A′点的坐标为（﹣1，2）或（1，﹣2）．故选D6、如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是48mm．【解析】∵正方形PQMN的QM边在BC上，∴PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∴．设ED=x，∴PN=MN=ED=x，，∴解得：x=48，∴这个正方形零件的边长是48mm．故答案为：48．7、赵亮同学想利用影长测量学校旗杆的高度，如图，他在某一时刻立1米长的标杆测得其影长为1.2米，同时旗杆的投影一部分在地面上，另一部分在某一建筑的墙上，分别测得其长度为9.6米和2米，则学校旗杆的高度为10米．【解析】1米长的标杆测得其影长为1.2米，即某一时刻实际高度和影长之比为定值，所以墙上的2米投射到地面上实际为2.4米，即旗杆影长为12米，因此旗杆总高度为10米．8、有一块三角形的余料ABC，要把它加工成矩形的零件，已知：BC=8cm，高AD=12cm，矩形EFGH的边EF在BC边上，G、H分别在AC、AB上，设HE的长为ycm、EF的长xcm（1）写出y与x的函数关系式．（2）当x取多少时，EFGH是正方形？【解析】（1）∵BC=8cm，高AD=12cm，HE的长为ycm、EF的长为xcm，四边形EFGH是矩形，∴AK=AD﹣y=12﹣y，HG=EF=x，HG∥BC，∴△AHG∽△ABC，∴=，即=，∴y=12﹣x；（2）由（1）可知，y与x的函数关系式为y=12﹣x，∵四边形EFGH是正方形，∴HE=EF，即x=y，∴x=12﹣x，解得x=．当x=时，四边形EFGH是正方形．9、为了测量校园水平地面上一棵树的高度，数学兴趣小组利用一根标杆、皮尺，设计如图所示的测量方案．已知测量同学眼睛A、标杆顶端F、树的顶端E在同一直线上，此同学眼睛距地面1.6米，标杆高为3.2米，且BC=2米，CD=6米，求树ED的高．【解析】过A作AH垂直ED，垂足为H，交线段FC与G，由题知，∵FG∥EH，∴△AFG∽△AEH，∴=，又因为AG=BC=2，AH=BD=2+6=8，FG=FC﹣GC=3.2﹣1.6=1.6，所以=，解得：EH=6.4，则ED=EH+HD=6.4+1.6=8（m）．树ED的高为8米．直击中考直击中考1、【2012•深圳】小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为（）A.（6+）米B.12米C.（4﹣2）米D.10米【解析】A