高考数学一轮复习 第20讲　简单的三角恒等变换 学用

第20讲简单的三角恒等变换知识整合体系重构激活思维1．计算：coseq\f(5π,12)＝()A．eq\f(\r(6)－\r(2),4) B．eq\f(\r(6)＋\r(2),4)C．eq\f(\r(3)＋\r(2),4) D．eq\f(\r(2)－\r(6),4)2．(教材经典题)若cosθ＝－eq\f(3,5)且θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,3)))的值为()A．eq\f(4－3\r(3),10) B．－eq\f(4＋3\r(3),10)C．eq\f(3\r(3)－4,10) D．eq\f(3\r(3)＋4,10)3．(多选)下列等式成立的是()A．sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(π,2)))＝cos2B．cos73°cos28°＋sin73°sin28°＝eq\f(\r(2),2)C．tan15°＝2－eq\r(3)D．eq\f(1,2)sin40°＋eq\f(\r(3),2)cos40°＝sin70°4．(教材经典题)若α＋β＝eq\f(3π,4)，则(1－tanα)(1－tanβ)＝____．5．(教材经典题)已知cosα＋cosβ＝eq\f(1,2)，sinα＋sinβ＝eq\f(1,3)，则cos(α－β)的值为________．聚焦知识1．两角和、差公式(1)两角和与差的余弦、正弦和正切公式说明：正切公式中，α，β，α＋β，α－β≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．(2)辅助角公式函数f(α)＝acosα＋bsinα(a，b为常数)，可化为f(α)＝eq\r(a2＋b2)sin(α＋φ)或f(α)＝eq\r(a2＋b2)·cos(α－φ)，其中φ可由a，b的值确定．2．二倍角公式S2αsin2α＝__________；变形：1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2，1－sin2α＝(sinα－cosα)2C2αcos2α＝__________＝__________＝___________；降幂公式：cos2α＝___________，sin2α＝__________T2αtan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(kπ,2)＋\f(π,4)且α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))*3．半角公式sineq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,2))；coseq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1＋cosα,2))；taneq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))＝eq\f(sinα,1＋cosα)＝eq\f(1－cosα,sinα)．题型突破思维拓展举题说法和、差、倍角公式的直接应用例1(1)已知sinα＝eq\f(1,3)(角α为第二象限角)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝()A．eq\f(4－\r(2),6) B．eq\f(\r(2)－2,6)C．eq\f(4＋\r(2),6) D．eq\f(\r(2)－4,6)(2)(2026·青岛调研)已知taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))－taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝4，则eq\f(1＋cos2α,2＋sin2α)＝()A．2 B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,3) D．3(3)(2025·南京、盐城一模)(多选)若cosαcosβ＝eq\f(1,4)，cos(α＋β)＝eq\f(1,3)，则()A．sinαsinβ＝eq\f(1,12) B．cos(α－β)＝eq\f(1,6)C．tanαtanβ＝－eq\f(1,3) D．sin2αsin2β＝eq\f(1,12)(1)利用两角和与差的三角函数公式时，首先要记住公式的结构特征．(2)利用公式求值时，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．和、差、倍角公式的逆用与变形应用视角1公式的逆用例2－1(1)下列函数值为eq\f(1,4)的是()A．sin2eq\f(π,12)－sin2eq\f(5π,12) B．eq\f(1－tan222°30′,tan22°30′)C．sin105°sin15° D．eq\f(1,sin10°)－eq\f(\r(3),cos10°)(2)(多选)下列等式正确的是()A．cos82°sin52°－sin82°cos52°＝eq\f(1,2)B．sin15°sin30°sin75°＝eq\f(1,8)C．eq\f(tan48°＋tan72°,1－tan48°tan72°)＝eq\r(3)D．cos215°－sin215°＝eq\f(\r(3),2)视角2公式的变形应用例2－2(1)计算tan70°＋tan50°－eq\r(3)tan70°·tan50°的值为()A．eq\r(3) B．eq\f(\r(3),3)C．－eq\f(\r(3),3) D．－eq\r(3)(2)(2025·辽宁联考)若coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq\f(1,3)，则sin2α＝()A．－eq\f(5,9) B．eq\f(5,9)C．－eq\f(7,9) D．eq\f(7,9)(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．(2)注意特殊角的应用，当式子中出现eq\f(1,2)，1，eq\f(\r(3),2)，eq\r(3)等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．(3)和差角公式变形：sinαsinβ＋cos(α＋β)＝cosαcosβ；cosαsinβ＋sin(α－β)＝sinαcosβ；tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)．(4)倍角公式变形：降幂公式：cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)；配方变形：1±sinα＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)±cos\f(α,2)))2,1＋cosα＝2cos2eq\f(α,2)，1－cosα＝2sin2eq\f(α,2)．1．下列式子的运算结果不等于eq\r(3)的是()A．tan25°＋tan35°＋eq\r(3)tan25°tan35°B．2(sin35°cos25°＋cos35°cos65°)C．eq\f(1＋tan15°,1－tan15°)D．eq\f(tan\f(π,6),1－tan2\f(π,6))2．(2026·苏州期初)已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则4tanα＋tanβ＝()A．13 B．14C．15 D．163．(2024·新高考Ⅰ卷)已知cos(α＋β)＝m，tanαtanβ＝2，则cos(α－β)＝()A．－3m B．－eq\f(m,3)C．eq\f(m,3) D．3m4．已知α，β，γ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，sinα＋sinγ＝sinβ，cosβ＋cosγ＝cosα，则β－α＝____．辅助角公式的应用例3(1)(2025·江门模拟)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＋cosα＝eq\f(1,3)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))＝()A．－eq\f(7,9) B．eq\f(7,9)C．－eq\f(4\r(2),9) D．eq\f(4\r(2),9)(2)(2025·汕尾、肇庆二模)已知α是锐角，eq\r(3)sinα＋2eq\r(2)cosα＝eq\r(11)，则sinα＝_________．(3)若函数f(x)＝sin(x＋φ)＋cosx的最大值为2，则常数φ的一个取值为____．辅助角公式主要用于完成正弦和余弦的叠加，利用公式asinx＋bcosx＝eq\r(,a2＋b2)sin(x＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(tanφ＝\f(b,a)))先将表达式进行转化，再研究其相关性质．解题时要注意观察角、函数名、结构等方面的特征．变式3(1)(2025·新余二模)函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))cosx的最小值为_________．(2)函数f(x)＝cos2x＋eq\r(3)sinxcosx(x∈[0，π])的单调递减区间为__________．三角恒等式的求值视角1给角求值例4－1(1)(教材经典题)计算：tan70°cos10°·(eq\r(3)tan20°－1)＝____．(2)计算：sin10°sin30°sin50°sin70°＝____．视角2给值求值例4－2(2026·肇庆一模)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝eq\f(1,5)，且0＜α＜eq\f(π,2)，则sin2α＝()A．eq\f(6\r(2)＋1,10) B．eq\f(6\r(2)－1,10)C．eq\f(23\r(3)－4\r(6),50) D．eq\f(23\r(3)＋4\r(6),50)视角3给值求角例4－3(1)已知sinα＝eq\f(\r(5),5)，α为锐角，tanβ＝－3，且β为钝角，则α＋β＝()A．eq\f(π,4) B．eq\f(3π,4)C．eq\f(π,3) D．eq\f(2π,3)(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝eq\f(1,2)，tanβ＝－eq\f(1,7)，则2α－β＝____．常见的缩小角的范围的方法一是灵活运用条件中角的取值范围，运用不等式的性质(如“同向可加性”)求解；二是可以根据三角函数值的符号缩小角的范围；三是可以把已知三角函数值与特殊角的三角函数值比较，缩到更小的范围．变式4(1)(2025·苏北七市二调)已知sin2α＝2sin2β，cos2α＝4sin2β，则cos(2α＋β)＝____．(2)(2025·泉州二检)计算：eq\f(\r(3),sin20°)－eq\f(1,cos20°)＝()A．2 B．3C．4 D．5积化和差与和差化积公式1．积化和差cosαcosβ＝eq\f(1,2)[cos(α＋β)＋cos(α－β)]，sinαsinβ＝－eq\f(1,2)[cos(α＋β)－cos(α－β)]，sinαcosβ＝eq\f(1,2)[sin(α＋β)＋sin(α－β)]，cosαsinβ＝eq\f(1,2)[sin(α＋β)－sin(α－β)]，2．和差化积sinα＋sinβ＝2sineq\f(α＋β,2)coseq\f(α－β,2)，sinα－sinβ＝2coseq\f(α＋β,2)sineq\f(α－β,2)，cosα＋cosβ＝2coseq\f(α＋β,2)coseq\f(α－β,2)，cosα－cosβ＝－2sineq\f(α＋β,2)sineq\f(α－β,2)．例5(1)计算：sin20°＋sin40°－sin80°＝____．(2)计算：(sin20°－sin40°)2＋3sin20°·cos50°＝()A．eq\f(3,2) B．eq\r(3)C．eq\f(3,4) D．－3(3)已知taneq\f(α＋β,2)＝eq\f(\r(6),2)，tanαtanβ＝eq\f(13,7)，则cos(α－β)＝____．随堂内化1．(2025·茂名二模)若(1＋tanα)(1＋tanβ)＝2，则tan(α＋β)＝()A．0 B．eq\f(1,2)C．1 D．42．(2025·东莞、揭阳、韶关期末)已知sin(α－β)＝－eq\f(\r(2),10)，eq\f(tanα,tanβ)＝eq\f(3,4)，则sin(α＋β)＝___________．3．计算：eq\f(\r(3)sin10°,sin40°)＋4cos220°＝____．配套精练简单的三角恒等变换——练习1一、单项选择题1．(2025·保定二模)若cos2α＝sin2α，则sinα＝()A．eq\f(\r(3),3) B．±eq\f(\r(3),3)C．eq\f(2\r(5),5) D．±eq\f(2\r(5),5)2．(2025·福州二模)已知sin(α－β)＝eq\f(1,2)，sin(α＋β)＝eq\f(1,3)，则sinαcosβ＝()A．eq\f(1,12) B．－eq\f(1,12)C．－eq\f(5,12) D．eq\f(5,12)3．(2025·鹰潭二模)若α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，tanα＝eq\f(cosα,3－sinα)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝()A．eq\f(\r(3)＋2\r(2),6) B．eq\f(\r(3)－2\r(2),6)C．eq\f(1＋2\r(6),6) D．eq\f(1－2\r(6),6)4．(2025·景德镇二模)已知sinα＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))，则tan2α－cos2α＝()A．eq\f(3,8) B．eq\f(7,12)C．eq\f(5,28) D．eq\f(11,36)5．(2025·泰安期末)已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝eq\f(1,7)，则cosα＝()A．eq\f(13,14) B．eq\f(11,14)C．eq\f(5\r(3),14) D．eq\f(3\r(3),14)6．(2025·苏锡常镇一模)已知sin(α＋β)＝eq\f(3,5)，tanα＝2tanβ，则sin(α－β)＝()A．eq\f(1,13) B．eq\f(1,5)C．eq\f(\r(3),3) D．eq\f(3,4)7．已知α为锐角，cosα＝eq\f(\r(,5)＋1,4)，则sineq\f(α,2)＝()A．eq\f(3－\r(,5),8) B．eq\f(－1＋\r(,5),8)C．eq\f(3－\r(,5),4) D．eq\f(－1＋\r(,5),4)8．(2022·新高考Ⅱ卷)若角α，β满足sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝2eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))sinβ，则()A．tan(α＋β)＝1 B．tan(α＋β)＝－1C．tan(α－β)＝1 D．tan(α－β)＝－1二、多项选择题9．下列等式能够成立的有()A．sin15°cos15°＝eq\f(1,2)B．sin75°cos15°＋cos75°sin15°＝1C．cos105°cos75°－sin105°cos15°＝－1D．eq\r(3)sin15°＋cos15°＝110．已知0＜α＜eq\f(π,2)＜β＜π，sinα＝eq\f(1,3)，cos(α＋β)＝－eq\f(2\r(2),3)，则下列选项正确的有()A．sin(α＋β)＝±eq\f(1,3) B．cosβ＝－eq\f(7,9)C．cos2β＝－eq\f(17,81) D．sin(α－β)＝－eq\f(23,27)11．下列等式正确的是()A．eq\f(sin24°cos6°－sin66°sin6°,sin21°cos39°－cos21°sin39°)＝－1B．若cos2α＝eq\f(1,2)，则sin4α－cos4α＝eq\f(1,2)C．若tanα＝3，则sin2α＝eq\f(3,5)D．tan23°＋tan37°＋eq\r(,3)tan23°tan37°＝－eq\r(,3)三、填空题12．(2025·杭州期末)已知α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，sin(α－β)＝eq\f(1,2)，tanα＝3tanβ，则α＋β＝________．13．(2025·北京卷)已知α，β∈[0,2π]，且sin(α＋β)＝sin(α－β)，cos(α＋β)≠cos(α－β)．写出满足条件的一组α，β的值α＝_________，β＝__________．14．(2025·湛江一模)已知taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,12)))＝eq\f(1,3)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(2π,3)))＝________．15．(2026·苏州期中)已知α＋β＝eq\f(π,4)，tanα＋tanβ＝3，则cos(α－β)＝_________．16．(2026·烟台期中)已知锐角α，β满足2α＋β＝eq\f(2π,3)，且tanαtaneq\f(β,2)＝2－eq\r(3)，则β＝____．简单的三角恒等变换——练习2一、单项选择题1．(2025·漳州二模)已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，若sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋2α))＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝0，则α＝()A．eq\f(π,12) B．eq\f(π,6)C．eq\f(5π,12) D．eq\f(π,3)2．(2026·连云港期中)若3sin(2α－β)＝sinβ，且α－β≠eq\f(π,2)＋kπ，α≠eq\f(kπ,2)，k∈Z，则eq\f(tanα－β,tanα)＝()A．－3 B．－eq\f(1,3)C．－2 D．－eq\f(1,2)3．(2025·肇庆期初联考)sin18°cos36°＝()A．eq\f(1,4) B．eq\f(\r(,5),8)C．eq\f(2\r(,5)－3,4) D．eq\f(\r(,5)－1,4)4．(2026·烟台期中)已知锐角α，β满足2α＋β＝eq\f(2π,3)，且tanαtaneq\f(β,2)＝2－eq\r(3)，则β＝()A．eq\f(π,12) B．eq\f(π,6)C．eq\f(π,4) D．eq\f(π,3)二、多项选择题5．已知0＜α＜β＜eq\f(π,2)，且3cos