高考数学一轮复习 第26讲　复数 学用

第26讲复数知识整合体系重构激活思维1．(2025·新高考Ⅰ卷)(1＋5i)i的虚部为()A．－1 B．0C．1 D．62．(教材经典题)复数eq\f(5,i－2)的共轭复数是()A．2＋i B．－2＋iC．－2－i D．2－i3．已知i是虚数单位，若z＝－eq\f(\r(3),2)＋eq\f(1,2)i，则z2＝()A．－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i B．－eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2)iC．eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i D．eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2)i4．(教材经典题改编)(多选)下列各式计算正确的是()A．eq\f(1＋i,1－i)＝I B．i(2－i)(1－2i)＝2iC．eq\f(7＋i,3＋4i)＝1－i D．eq\f(－1＋i2＋i,－i)＝1－3i5．已知z0＝eq\f(1－3i,1＋2i)，复数z满足|z－z0|＝1，则复数z对应点的轨迹方程为()A．(x－1)2＋(y＋1)2＝4 B．(x－1)2＋(y－1)2＝4C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1 D．(x－1)2＋(y－1)2＝1聚焦知识1．复数的有关概念(1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1，____叫做实部，____叫做虚部，复数集记作C，即C＝{z|z＝a＋bi，a，b∈R}．(2)复数相等：复数z1＝a＋bi与z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)相等⇔___________．(3)共轭复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，那么这两个复数叫做互为共轭复数，即复数z＝a＋bi的共轭复数为eq\x\to(z)＝a－bi．2．复数的分类对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则z是实数⇔b＝0；z是虚数⇔b≠0；z是纯虚数⇔a＝0且b≠0．3．复数的几何意义(1)复平面：建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．显然，实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示虚数．(2)几何意义：复数z＝a＋bieq\o(,\s\up7(一一对应))复平面内的点Z(a，b)eq\o(,\s\up7(一一对应))向量eq\o(OZ,\s\up6(→))．(3)复数的模：设eq\o(OZ,\s\up6(→))＝a＋bi，则向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模叫做复数a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|．由模的定义知|z|＝|a＋bi|＝___________．4．复数的代数运算已知两个复数z1＝a＋bi与z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，那么：z1±z2＝(a±c)＋(b±d)i；z1·z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(ac＋bd＋bc－adi,c2＋d2)(z2≠0)．5．常用结论(1)(1±i)2＝±2i，eq\f(1＋i,1－i)＝i，eq\f(1－i,1＋i)＝－i．(2)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*)．(3)z·eq\x\to(z)＝|z|2＝|eq\x\to(z)|2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(z1,z2)))＝eq\f(|z1|,|z2|)，|zn|＝|z|n．(4)若ω＝－eq\f(1,2)±eq\f(\r(,3),2)i，则ω3k＝1(k∈Z)，ω2＋ω＋1＝0．(5)z＝eq\x\to(z)⇔z∈R．(6)复数z的方程在复平面上表示的图形①a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环；②|z－(a＋bi)|＝r(r＞0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆．题型突破思维拓展举题说法复数的有关概念例1(1)(2025·青岛期末)已知复数z1＝2＋i，z2＝a－i(a∈R)，若复数z1·z2为纯虚数，则实数a的值为()A．1 B．0C．－eq\f(1,2) D．－1(2)(2025·广州一模)若复数z满足1＋iz＝i，则z的虚部为()A．－1 B．1C．－i D．i解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置问题均可转化为其实部与虚部需满足的条件问题．只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部分别满足的方程(或不等式)组即可求解．(2)解题时，要先确认复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以此明确其实部和虚部．变式1(1)(2025·南京零模)(多选)已知复数z，下列结论正确的是()A．若z＋1∈R，则z∈RB．若z＋i∈R，则z的虚部为－1C．若|z|＝1，则z＝±1D．若z2∈R，则z∈R(2)(2025·徐州2月调研)若复数z＝2i＋eq\f(2,1＋i)，则复数z的共轭复数的模为()A．1 B．eq\r(2)C．eq\r(3) D．2复数的运算及性质例2(1)(2024·新高考Ⅰ卷)若eq\f(z,z－1)＝1＋i，则z＝()A．－1－i B．－1＋iC．1－i D．1＋i(2)(2025·金华模拟)(多选)已知复数z1，z2互为共轭复数，则()A．|z1|＝|z2| B．z1z2＝|z1||z2|C．|z1－z2|2＝－(z1－z2)2 D．eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(z1,z2)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(z1,z2)))2(1)复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算．(2)复数的除法：除法的关键是分子、分母同乘以分母的共轭复数．变式2(1)(2023·新高考Ⅰ卷)已知z＝eq\f(1－i,2＋2i)，则z－eq\x\to(z)＝()A．－i B．iC．0 D．1(2)(2025·湛江一模)(多选)若复数z1，z2满足z1＋z2＝4，z1·z2＝8，则()A．eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(z1))·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(z2))＝8 B．eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(z1－z2))＝4C．eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(z1))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(z2))＝4 D．eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(z1,z2)))＝1复数的几何意义例3(1)(2026·萍乡期中)(多选)在复平面内，复数z＝1＋eq\r(3)i对应的点为Z，向量eq\o(OZ,\s\up6(→))绕原点O逆时针旋转至eq\o(OZ1,\s\up6(→))处，若旋转角为θ，则()A．Z的坐标为(eq\r(3)，1)B．当θ＝eq\f(π,2)时，|eq\o(ZZ1,\s\up6(→))|＝2eq\r(2)C．当θ＝eq\f(2π,3)时，以O为圆心，OZ为半径的圆中劣弧ZZ1的长为eq\f(4π,3)D．Z1的坐标为(cosθ－eq\r(3)sinθ，sinθ＋eq\r(3)cosθ)(2)(2026·黄冈期初)已知z∈C，且eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(z－1))＝1，则eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(z－2i))的最大值是()A．eq\r(5)＋1 B．eq\r(5)－1C．2 D．eq\r(5)复数的几何意义体现了数形结合思想的运用．处理这类问题常用两种方法：一是利用复数的代数形式进行求解，即“化虚为实”，思路自然清晰，但运算较复杂；二是利用复数的几何意义进行求解，简洁明快．另外，关于复数模的问题，一般可化为复平面内两点间的距离来解决．变式3(1)(2025·汕头一模)(多选)已知复数z0＝1－i，z＝x＋yi(x，y∈R)，则下列结论正确的是()A．方程eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(z－z0))＝2表示的z在复平面内对应点的轨迹是圆B．方程eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(z－z0))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(z－\x\to(z0)))＝2表示的z在复平面内对应点的轨迹是椭圆C．方程eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(z－z0))－eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(z－\x\to(z0)))＝1表示的z在复平面内对应点的轨迹是双曲线D．方程eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(z＋\f(1,2)z0＋\x\to(z0)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(z－z0))表示的z在复平面内对应点的轨迹是直线(2)(2025·上海卷)已知复数z满足z2＝eq\x\to(z)2，|z|≤1，则|z－2－3i|的最小值是__________．随堂内化1．(2023·全国甲卷文)eq\f(51＋i3,2＋i2－i)＝()A．－1 B．1C．1－i D．1＋i2．(2025·景德镇三模)已知复数z1，z2满足eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(z1))＝1，z2＝1＋eq\r(3)i，则eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(z1－z2))的最大值是()A．1 B．2C．3 D．43．(2025·苏州期初)(多选)在复数范围内关于x的实系数一元二次方程x2＋px＋2＝0的两根为x1，x2，其中x1＝1＋i，则()A．p＝2 B．x2＝1－iC．x1·eq\x\to(x)2＝－2i D．eq\f(x1,x2)＝i4．(多选)已知复数z1，z2，下列结论正确的有()A．|z1－z2|≤|z1|＋|z2|B．若z1－z2＞0，则|z1|＞|z2|C．若|z1－z2|＝|z1＋z2|，则z1z2＝0D．若z1＝1＋i，z2＝1－i，则eq\f(z1,z2)为纯虚数配套精练A组夯基精练一、单项选择题1．(2024·全国甲卷)若z＝5＋i，则i(eq\x\to(z)＋z)＝()A．10i B．2iC．10 D．22．(2025·杭州期末)已知eq\x\to(z)为z的共轭复数，若z＝eq\f(1＋2i,2－i)，则eq\x\to(z)＝()A．－i B．iC．eq\f(4,5)＋eq\f(3,5)i D．eq\f(4,5)－eq\f(3,5)i3．(2025·唐山一模)已知a∈R，若(a－2)＋(a－1)i是纯虚数，则a＝()A．－2 B．－1C．1 D．24．(2025·泰州一调)已知复数z满足eq\f(z－2,3z－4)＝i，则z的虚部为()A．eq\f(1,5)i B．eq\f(1,5)C．eq\f(7,5)i D．eq\f(7,5)5．(2026·武汉期初)若复数z满足eq\f(2z＋i,z)＝3＋i，则z＝()A．1＋i B．1－iC．－1＋i D．－1－i6．(2025·北京卷)已知复数z满足i·z＋2＝2i，则|z|＝()A．eq\r(2) B．2eq\r(2)C．4 D．87．(2025·广州二模)已知复数z满足|z－2i|＝1，则|z|的最小值为()A．3 B．2C．1 D．0二、多项选择题8．(2026·济南期初)设z是复数，则下列命题中正确的有()A．z＋eq\x\to(z)∈R B．z·eq\x\to(z)∈RC．|z|2＝z2 D．|z|＝|eq\x\to(z)|9．(2025·南通一调)已知z1，z2是复数，则下列说法正确的是()A．若z2为实数，则z是实数 B．若z2为虚数，则z是虚数C．若z2＝eq\x\to(z1)，则z1z2是实数 D．若zeq\o\al(2,1)＋zeq\o\al(2,2)＝0，则z1z2＝010．(2025·石家庄一检)下列选项正确的是()A．若m，n∈R，则m＋ni＝2＋i的充要条件是m＝2，n＝1B．若复数z1，z2，z3满足z1z2＝z2z3，则z1＝z3C．i＋i2＋i3＋…＋i2025＝iD．若复数z满足|z|＝1，则|z－3＋4i|的最大值为611．(2025·郑州二检)已知复数z满足|z＋1|＋|z－1|＝4，则下列说法正确的是()A．|z|≤2 B．|z－1|≥1C．若z∈R，则|z|＝2 D．若z2∈R，则|z|＝2三、填空题12．(2025·郑州三模)若复数z满足(1＋2i)eq\x\to(z)＝4＋3i，则|z|＝__________．13．(2025·张家口期末)