高考数学一轮复习 第27讲　数列的概念与简单表示 学用

第六章数列第27讲数列的概念与简单表示知识整合体系重构激活思维1．(教材经典题改编)已知数列{an}的通项公式为an＝n2＋2n，那么120是这个数列的第________项()A．9 B．10C．11 D．122．(教材经典题改编)(多选)根据下面的图形的规律及相对应的点数，判断下列说法正确的是()A．第五个图形对应的点数为20B．第五个图形对应的点数为21C．图形的点数构成的数列的一个通项公式为an＝5n－4D．图形的点数构成的数列的一个通项公式为an＝4n－33．(教材经典题改编)(多选)已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝eq\f(n,n＋1)，则下列说法正确的是()A．数列{an}的首项为a1＝eq\f(1,2)B．数列{an}的通项公式为an＝eq\f(1,nn＋1)C．数列{an}为递减数列D．数列{an}为递增数列4．(教材经典题改编)已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝－2n2，则{an}的通项公式为_______________．5．(教材经典题改编)已知f(x)＝eq\f(2x－1,2x)(x∈R)，设数列{an}的通项公式为an＝f(n)(n∈N*)，则an的最小值为___________．聚焦知识1．数列的有关概念名称概念通项公式如果数列{an}的第n项an与它的_____________之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式数列{an}的前n项和把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an．常见用法还有：an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2))2．数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数______________无穷数列项数_____________项与项间的大小关系递增数列an＋1＞an其中n∈N*递减数列an＋1＜an常数列an＋1＝an摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3．数列与函数的关系数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是____________，对应的函数值是____________，记为an＝f(n)．题型突破思维拓展举题说法数列中的项与通项公式例1(1)已知数列－1，eq\f(\r(,2),3)，－eq\f(\r(,3),5)，eq\f(2,7)，…，则该数列的第211项为()A．－eq\f(\r(,211),421) B．eq\f(\r(,211),421)C．－eq\f(\r(,210),423) D．eq\f(\r(,210),423)(2)数列0.3,0.33,0.333,0.3333，…的一个通项公式是an＝()A．eq\f(1,9)(10n－1) B．eq\f(1,3)(10n－1)C．eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,10n))) D．eq\f(3,10)(10n－1)已知数列的前几项求通项公式，主要从结构特征来考虑：(1)负号用(－1)n与(－1)n＋1或(－1)n－1来调节，这是因为n和n＋1或n－1奇偶交错．(2)分式形式的数列，分子、分母找通项，要充分借助分子、分母的关系．变式1(1)数列eq\f(1,2)，－eq\f(3,4)，eq\f(5,8)，－eq\f(7,16)，…的一个通项公式为()A．(－1)neq\f(2n－1,2n) B．(－1)n－1eq\f(2n－1,2n)C．(－1)neq\f(2n－1,2n) D．(－1)n－1eq\f(2n－1,2n)(2)(2025·临沂期中)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，a2＝1，an＝an－1＋2an－2(n≥3)，则S9＝()A．341 B．340C．61 D．60由an与Sn的关系求通项例2(1)设数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，若b1＝－1，b5＝8b2，(1－2n)Sn＝n(n＋1)Tn，则an＝____________．(2)设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an(2Sn－1)＝2Seq\o\al(2,n)(n≥2，n∈N*)，则an＝______________．Sn与an的关系问题转化的两个方向：(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解；(2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．变式2(2025·岳阳质检)已知数列{an}满足4n－1a1＋4n－2a2＋…＋an＝n(n∈N*)，则an＝____________．数列的函数性质视角1单调性与最值例3－1(1)(2025·泉州三检)(多选)已知数列{an}的前n项和Sn＝kn2＋n－k＋2，则下列说法正确的是()A．若{an}是等差数列，则k＝2B．若{an}不是递增数列，则k≤eq\f(2,3)C．若Sn＜Sn＋2，则k＞2D．若eq\f(Sn,n)的最小值为3，则k≥eq\f(2,3)(2)(2025·漳州期初)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n，当eq\f(Sn＋9,an)取最小值时，n＝_______________．探究数列的单调性可以从连续函数角度考察，但在数列中可采用作差、作商比较法．其中，作差比较法是根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列或递减数列或常数列．视角2周期性例3－2(2025·滁州一模)已知数列{an}的第1项和第2项均为1，以后各项由an＋2＝an＋1＋an(n∈N*)给出．若数列{an}的各项除以3所得余数组成一个新数列{bn}，则b2025＋b2026＝()A．1 B．2C．3 D．4解决数列周期性问题的方法：先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．变式3在数列{an}中，a1＝4，a2＝3，an＋1＝eq\f(an,an－1)(n∈N*，n≥2)，则a1000＝()A．eq\f(1,4) B．eq\f(3,4)C．3 D．eq\f(4,3)随堂内化1．数列0，eq\f(\r(,3),3)，eq\f(\r(,2),2)，eq\f(\r(,15),5)，eq\f(\r(,6),3)，…的一个通项公式是()A．an＝eq\r(,\f(n－2,n)) B．an＝eq\r(,\f(n－1,n))C．an＝eq\r(,\f(n－1,n＋1)) D．an＝eq\r(,\f(n－2,n＋2))2．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝eq\f(an－1,an＋1)(n∈N*)，则a2026＝()A．－3 B．－eq\f(1,2)C．eq\f(1,3) D．23．(2025·汕尾、肇庆二模)已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝n2＋3n＋2，则下列判断正确的是()A．数列{an}为等差数列 B．a5＝11C．数列{Sn}存在最大值 D．数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn)))存在最大值4．设数列{bn}的通项公式为bn＝(2n－1)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8)))n＋1，则{bn}中的最大项的值为______________．配套精练A组夯基精练一、单项选择题1．(2025·武汉4月调研)已知数列{an}的通项公式为an＝2n－11，Sn为其前n项和，则Sn的最小值为()A．－9 B．－7C．－3 D．－192．(2026·保定期中)已知数列{an}中，a1＝－2，aeq\o\al(2,n)＝an＋1＋7，则a2026＝()A．－3 B．－2C．2 D．33．已知数列{an}满足anan＋1＝2an＋1－an－1，且a1＝3，则a2026＝()A．eq\f(1,5) B．－4C．eq\f(5,4) D．eq\f(2,3)4．已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＋1＋Sn＝n(n∈N*)，则下列说法正确的是()A．数列{an＋1＋an}是常数列B．若a1＜eq\f(1,3)，则{an}是递增数列C．若a1＝－1，则S2026＝1013D．若a1＝1，则{an}的最小项的值为－15．已知数列{an}满足an＝λn2－n，对任意n∈{1,2,3}都有an＞an＋1，且对任意n∈{n|n≥7，n∈N}都有an＜an＋1，则实数λ的取值范围是()A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,14)，\f(1,8))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,14)，\f(1,7)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,15)，\f(1,7))) D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,15)，\f(1,8)))二、多项选择题6．已知数列{an}满足a1＝1，Sn－1＝3an(n≥2)，则下列结论正确的是()A．a2＝eq\f(1,3) B．{an}是等比数列C．an＋1＝eq\f(4,3)an，n≥2 D．Sn－1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))n－1，n≥27．已知数列{an}的通项公式为an＝eq\f(9,2n－9)(n∈N*)，前n项和为Sn，则下列说法正确的是()A．数列{an}有最小项，也有最大项B．使an∈Z的项共有5项C．满足anan＋1an＋2≤0的n的值共有5个D．使Sn取得最小值的n为48．已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和Sn满足an·Sn＝9(n＝1,2，…)，则下列说法正确的是()A．{an}的第2项小于3 B．{an}为等比数列C．{an}为递减数列 D．{an}中存在小于eq\f(1,100)的项三、填空题9．洛卡斯是19世纪法国数学家，他以研究斐波那契数列而著名．洛卡斯数列就是以他的名字命名，洛卡斯数列{Ln}为1,3,4,7,11,18,29,47,76，…，即L1＝1，L2＝3，且Ln＋2＝Ln＋1＋Ln(n∈N*)．设数列{Ln}的各项依次除以4所得余数形成的数列为{an}，则a2025＝____________．10．(2025·张家口二模)已知数列{an}不是递增数列，且an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3，n＝1，,2kn－k＋1，n≥2，)))则实数k的取值范围为___________．11．(2025·湖州、衢州、丽水质检改)若函数f(x)满足f(x)＋f(4－x)＝4，已知数列{an}中，首项a1＝eq\f(1,20)，an＝a1＋eq\f(a2,2)＋eq\f(a3,3)＋…＋eq\f(an,n)，n∈N*，则eq\o(∑,\s\up6(79),\s\do6(i＝1))f(ai)＝__158__．四、解答题12．已知数列{an}，若存在正整数T，对一切n∈N*，都有an＋T＝an，则称数列{an}为周期数列，T是它的一个周期．(1)已知bn＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(nπ,2)))，cn＝n，求数列{bn·cn}的前40项和S40；(2)数列1,2,1,2，…的最小正周期是多少？并求这个数列的前n项和Tn．13．(2026·苏州期初)已知数列{an}的前n项为Sn，且Sn＝n2．正项等比数列{bn}的首项为1，Tn为其前n项和，且T5＝5T3－4．(1)求an，bn；(2)当λ＞0时，若λSn≤Tn＋1对任意的n∈N*恒成立，求实数λ的最大值．B组创新题体验14．(2025·德州期中节选