高中数学导学案 第八节　解三角形中的综合问题

第八节解三角形中的综合问题考教衔接·活用教材探究式精练收获一个“赢”命题点一多三角形问题例1(2026·长沙模拟)如图，在平面凸四边形ABCD中，tan∠ABD＋tan∠ADB＝2sin(1)求∠ADB；(2)若AD＝BD＝4，∠ACB＝π6，求CD[听课笔记]学霸笔记：(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．跟踪训练如图，在四边形ABCD中，点O为AB的中点，AB＝2，OC＝OD＝CD＝3，且∠COB＝π6(1)求四边形ABCD的周长；(2)求四边形ABCD的面积．命题点二解三角形中的最值、范围问题考向1利用基本不等式求最值、范围例2(链接·2022年新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA(1)若C＝2π3，求(2)求a2+[听课笔记]学霸笔记：在解决三角形问题时，主要涉及边与角的关系，特别是在应用余弦定理计算周长、面积时，会出现三角形两边的平方和、两边的积、两边的和等代数式，应注意使用基本不等式求最值．跟踪训练(2026·新余模拟)若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2sinB＋sinA-B-π6＝sin(1)求A；(2)若bcosC＋ccosB＝1，求△ABC面积的最大值．考向2利用三角函数的性质求最值、范围例3(2026·内江模拟)在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（sinB+sinC2）＝sin2(B＋C)＋3sinBsinC，(1)求A的值；(2)求△ABC的周长的取值范围．[听课笔记]学霸笔记：解决此类问题时，首先通过正弦定理与余弦定理，将问题转化为某一内角的三角函数，再借助三角恒等变换和三角函数的性质求出最值或范围．跟踪训练(2026·益阳模拟)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cosC(1)求C；(2)若c＝3，求a＋b的取值范围．提示：请完成课时作业29

第八节解三角形中的综合问题考教衔接·活用教材例1解析：(1)∵tan∠ABD＋tan∠ADB＝2sin∴sin故sin由两角和的正弦公式可得sin∠ABD+∠ADB又在△ABD中，∠ABD＋∠ADB＋∠BAD＝π，∴sin(∠ABD＋∠ADB)＝sin(π－∠BAD)＝sin∠BAD≠0，∴sin故cos∠ADB＝12，由三角形内角范围知∠ADB＝π(2)∵AD＝BD＝4，∠ADB＝π3，∴△ABD为边长为4在△ABC中，∠ACB＝π6，由正弦定理得BCsin∠BAC＝ABsin∠ACB，∴BC在△ABC中，由于∠BAC＋∠BCA＋∠ABD＋∠CBD＝π，∴∠BAC＋π6+π3＋∠CBD＝π，∴∠BAC＋∠CBD＝π2，∴BC＝8sin∠BAC＝8sinπ2-∠CBD，故BC在△BCD中，由余弦定理得CD2＝BD2＋BC2－2BD×BC×cos∠CBD，即CD2＝42＋BC2－8×BC×cos∠CBD，化简得CD2＝42＋BC2－BC·BC，∴CD2＝16，即CD＝4.跟踪训练解析：(1)因为OC＝OD＝CD，所以△OCD是等边三角形，且∠COD＝π3，又∠BOC＝π所以∠AOD＝∠BOD＝π2又点O为AB的中点，AB＝2，所以OB＝OA＝1.在△OBC中，由余弦定理得BC2＝OB2＋OC2－2OB·OC·cos∠COB＝1＋3－2×1×3×32＝1，所以在△OAD中，由勾股定理可得AD2＝OD2＋OA2＝3＋1＝4，所以AD＝2，所以AB＋BC＋CD＋DA＝2＋1＋3+2故四边形ABCD的周长为5＋3.(2)因为OB＝OA＝1，OC＝OD＝CD＝3，结合三角形的面积公式可得S四边形ABCD＝S△OBC＋S△OCD＋S△OAD＝12OB·OCsin∠COB＋12OC·OD·sin∠COD＋12OD·OAsin＝12故四边形ABCD的面积为33例2解析：(1)由已知条件，得sin2B＋sinAsin2B＝cosA＋cosAcos2B.所以sin2B＝cosA＋cosAcos2B－sinAsin2B＝cosA＋cos(A＋2B)＝cos[π－(B＋C)]＋cos[π－(B＋C)＋2B]＝－cos(B＋C)＋cos[π＋(B－C)]＝－2cosBcosC，所以2sinBcosB＝－2cosBcosC，即(sinB＋cosC)cosB＝0.由已知条件，得1＋cos2B≠0，则B≠π2所以cosB≠0，所以sinB＝－cosC＝12又0＜B＜π3，所以B＝π(2)由(1)知sinB＝－cosC＞0，则B＝C－π2所以sinA＝sin(B＋C)＝sin2C-π2＝－由正弦定理得a2+4sin4C-5sin2Csin2C＝2sin当且仅当sin2C＝22时等号成立，所以a2+b跟踪训练解析：(1)因为2sinB＋sinA-B-π6＝sin5π6-C，C＝π－则2sinB＋sinA-B-π6＝sin可得2sinB＋32sin(A－B)－12cos(A－B)＝32sin(A＋B)－12cos则2sinB＝32[sin(A＋B)－sin(A－B)]－12[cos(A＋B)－cos(A－B)]＝3cosAsinB＋sinA又因为B∈(0，π)，则sinB≠0，可得3cosA＋sinA＝2，则sinA+π3且A∈(0，π)，则A＋π3∈π3，4π3，可得A＋π(2)设asinA＝bsinB＝csinC＝2R(R为△ABC外接圆的半径)，则a＝2RsinA，b因为bcosC＋ccosB＝1，即2RsinBcosC＋2RsinCcosB＝1，可得2Rsin(B＋C)＝2RsinA＝1，即a＝1.由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccosA，即b2＋c2－3bc＝1.又因为b2＋c2≥2bc，则2bc－3bc≤1，解得bc≤2＋3，当且仅当b＝c＝2+可得S△ABC＝12bcsinA＝1所以△ABC面积的最大值为2+3例3解析：(1)由题意得(sinB＋sinC)2＝sin2A＋3sinBsinC，∴sin2B＋sin2C＝sin2A＋sinBsinC，∴由正弦定理可得b2＋c2＝a2＋bc，即b2＋c2－a2＝bc，∴cosA＝b2又A∈(0，π)，∴A＝π3(2)由a＝6，A＝∴a＋b＋c＝6+22sinB＋22sin2π3-B＝6+22sinB＋＝32sinB＋6cosB＋6＝26sinB+由于△ABC为锐角三角形，则0<B<π2，0<2π则π3<B＋π6<2π3，∴32<sin则a＋b＋c＝26sinB+π6＋6∈即△ABC周长的取值范围为32跟踪训练解析：(1)因为cosCcosA化简得2cosCsinB＝sinAcosC＋cosAsinC＝sin(A＋C)＝sinB，又因为0<B<π，则sinB≠0，可得2cos