高中数学导学案 第七节　利用空间向量求空间距离

第七节利用空间向量求空间距离新课标要求真题分布能用向量法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用．近几年未单独考查必备知识·助学教材清单式排查彰显一个“准”知识清单1.点到直线的距离如图，已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设AP＝a，则向量AP在直线l上的投影向量AQ＝(a·u)u，在Rt△APQ中，由勾股定理得PQ＝AP2-2．点到平面的距离如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是AP在直线l上的投影向量QP的长度，因此PQ＝AP·自主诊断1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面α上不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β.()(2)点到直线的距离也就是该点到直线上任一点连线的长度．()(3)直线l平行于平面α，则直线l上各点到平面α的距离相等．()(4)直线l上两点到平面α的距离相等，则l平行于平面α.()2．(人教A版选修一P35T2改编)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点．则(1)点A1到直线B1E的距离为________；(2)直线FC1到直线AE的距离为________；(3)点A1到平面AB1E的距离为________；(4)直线FC1到平面AB1E的距离为________．考教衔接·活用教材探究式精练收获一个“赢”命题点一利用空间向量求点到直线的距离例1如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，O为△PBC的重心，AM＝-2PM，且PA＝3，AB＝2，则点O到直线DM的距离为A．666B．664C．336[听课笔记]学霸笔记：先求出直线的方向向量u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，则点P到直线l的距离为AP2跟踪训练已知△ABC的顶点坐标分别为A(－1，0，0)，B(0，1，－1)，C(－2，－1，2)，则AB边上的高为()A．63B．62C．33命题点二利用向量求点到平面的距离例2(2026·南昌模拟)已知在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，PA＝PD＝AD＝2BC＝2CD＝2，E，F分别是AD，PC的中点．(1)证明：PA∥平面BEF；(2)求AB的中点M到平面BEF的距离．[听课笔记]学霸笔记：向量法：点A到平面α的距离d＝AB·nn(其中B是平面α内一点，n是平面α跟踪训练(衔接·人教A版选修一P44T13)如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E为CD的中点，求点D1到平面AEC1的距离．命题点三利用空间向量求线面、面面等距离例3如图，边长为4的两个正△ABC，BCD所在平面互相垂直，E，F分别为BC，CD的中点，点G在棱AD上，AG＝2GD，直线AB与平面EFG相交于点H.(1)证明：BD∥GH；(2)求直线BD与平面EFG的距离．[听课笔记]学霸笔记：(1)如果一条直线l与一个平面α平行，可在直线l上任取一点P，将线面距离转化为点P到平面α的距离求解．(2)如果两个平面α，β平行，在其中一个平面内任取一点P，可将两个平行平面的距离转化为点P到另一个平面的距离求解．跟踪训练在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面AB1C与平面A1DC1之间的距离为()A．33B．C．22D．提示：请完成课时作业45第七节利用空间向量求空间距离必备知识·助学教材知识清单1.eq\r(a2－（a·u）2)2.AP·nn自主诊断1．答案：(1)×(2)×(3)√(4)×2．解析：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，B1(1，1，1)，C(0，1，0)，F(1，1，eq\f(1,2))，C1(0，1，1)，D1(0，0，1)，E(0，0，eq\f(1,2))，A1(1，0，1).(1)A1B1＝(0，1，0)，EB1＝(1，1，eq\f(1,2))，∴d＝eq\r(|A1B1|2－|\f(A1B1·EB1,|EB1|)|2)＝eq\f(\r(5),3).(2)FC1∥AE，F点到AE的距离就是FC1到AE的距离，＝(0，1，eq\f(1,2))，＝(－1，0，eq\f(1,2))，∴d＝＝eq\f(\r(30),5).(3)设平面AB1E的法向量n＝(x，y，z)，∴n·EB1＝n·＝0，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＋\f(1,2)z＝0，,－x＋\f(1,2)z＝0，))令x＝－1，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝2，,z＝－2，))即n＝(－1，2，－2)，∴d＝|eq\f(A1B1·n,|n|)|＝|eq\f(（0，1，0）·（－1，2，－2）,\r(12＋22＋（－2）2))|＝eq\f(2,3).(4)∵FC1∥平面AB1E，故F点到平面AB1E的距离为所求．d＝|eq\f(B1F·n,|n|)|＝|eq\f(（0，0，－\f(1,2)）·（－1，2，－2）,3)|＝eq\f(1,3).答案：(1)eq\f(\r(5),3)(2)eq\f(\r(30),5)(3)eq\f(2,3)(4)eq\f(1,3)考教衔接·活用教材例1解析：如图所示，建立空间直角坐标系，则P(0，0，3)，D(0，2，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，因为O为△PBC的重心，＝－2，所以M(0，0，2)，O(eq\f(4,3)，eq\f(2,3)，1)，所以＝(eq\f(4,3)，－eq\f(4,3)，1)，＝(0，－2，2)，则||＝eq\f(\r(41),3)，·＝eq\f(14,3)，||＝2eq\r(2)，故点O到直线DM的距离为d＝＝eq\f(\r(66),6).故选A.答案：A跟踪训练解析：由A(－1，0，0)，B(0，1，－1)，C(－2，－1，2)可得＝(1，1，－1)，因为||＝eq\r(3)，则与同方向的单位向量为u0＝(eq\f(\r(3),3)，eq\f(\r(3),3)，－eq\f(\r(3),3))，又＝(－1，－1，2)，则||＝eq\r(6)，则AB边上的高即点C到直线AB的距离d＝＝eq\r(6－（－\f(\r(3),3)－\f(\r(3),3)－\f(2\r(3),3)）2)＝eq\f(\r(6),3).故选A.答案：A例2解析：(1)证明：连接AC交BE于点O，并连接EC，FO，∵BC∥AD，AD＝2BC，E为AD的中点，∴AE∥BC，且AE＝BC.∴四边形ABCE为平行四边形，则O为AC的中点，又F为PC的中点，∴OF∥PA.∵OF⊂平面BEF，PA⊄平面BEF.∴PA∥平面BEF.(2)∵PA＝PD，E为AD的中点，∴PE⊥AD.∵侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD＝AD，PE⊂平面PAD，∴PE⊥平面ABCD.易知BCDE为正方形，∴AD⊥BE.建立如图所示空间直角坐标系Exyz，则E(0，0，0)，A(1，0，0)，B(0，1，0)，P(0，0，eq\r(3))，C(－1，1，0)，F(－eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2))，设n＝(x，y，z)是平面BEF的法向量，又＝(0，1，0)，＝(－eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2))，则⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝0，,x＝\r(3)z，))取z＝1，则x＝eq\r(3)，得n＝(eq\r(3)，0，1).AB的中点M(eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，0)，所以＝(－eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，0)，则点M到平面BEF的距离为＝eq\f(|－\f(\r(3),2)|,2)＝eq\f(\r(3),4).跟踪训练解析：如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则D1(0，0，1)，C1(0，1，1)，A(1，0，0)，E(0，eq\f(1,2)，0)，＝(－1，eq\f(1,2)，0)，AC1＝(－1，1，1).设平面AEC1的一个法向量为n＝(x，y，z)，则有⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x＋\f(1,2)y＝0，,－x＋y＋z＝0.))令y＝2，则x＝1，z＝－1.∴n＝(1，2，－1).又D1A＝(1，0，－1)，∴点D1到平面AEC1的距离d＝eq\f(|D1A·n|,|n|)＝eq\f(2,\r(6))＝eq\f(\r(6),3).例3解析：(1)证明：因为E，F分别为BC，CD的中点，所以EF∥BD，又BD⊄平面EFG，EF⊂平面EFG，则BD∥平面EFG，又BD⊂平面ABD，平面ABD∩平面EFG＝GH，所以BD∥GH.(2)由(1)知，BD∥平面EFG，则点B到平面EFG的距离即为BD与平面EFG的距离，连接EA，ED，由△ABC，△BCD均是边长为4的正三角形，E为BC的中点，得EA⊥BC，ED⊥BC，又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，AE⊂平面ABC，所以AE⊥平面BCD，又ED⊂平面BCD，则EA⊥ED，以E为坐标原点，EB，ED，EA所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，可得AE＝DE＝2eq\r(3)，可得B(2，0，0)，C(－2，0，0)，A(0，0，2eq\r(3))，D(0，2eq\r(3)，0)，所以F(－1，eq\r(3)，0)，H(1，0，eq\r(3))，又＝2，即G为AD的三等分点，可得G(0，eq\f(4\r(3),3)，eq\f(2\r(3),3))，所以＝(2，0，0)，＝(－1，eq\r(3)，0)，＝(0，eq\f(4\r(3),3)，eq\f(2\r(3),3)).设平面EFG的一个法向量为n＝(x，y，z)，则令y＝1，得n＝(eq\r(3)，1，－2)，可得·n＝2×eq\r(3)＋0×1＋0×(－2)＝2eq\r(3)，|n|＝eq\r(（\r(3)）2＋12＋（－2）2)＝2eq\r(2).设点B到平面EFG的距离为d，则d＝＝eq\f(2\r(3),2\r(2))＝eq\f(\r(6),2)，所以BD与平面EFG的距离为eq\f(\r(6),2).跟踪训练解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(1，0，0)，C1(0，1，0)，D(0，0，1)，A(