高中数学导学案 第七节　余弦定理和正弦定理

第七节余弦定理和正弦定理新课标要求真题分布借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理、正弦定理．2025年全国Ⅰ卷T11，全国Ⅱ卷T52024年新高考Ⅰ卷T15，新高考Ⅱ卷T152023年新高考Ⅰ卷T17，新高考Ⅱ卷T17必备知识·助学教材清单式排查彰显一个“准”知识清单1.正弦定理、余弦定理在△ABC中，若内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理余弦定理正弦定理公式a2＝____________，b2＝____________，c2＝____________asinA＝________＝2R常见变形cosA＝____________，cosB＝____________，cosC＝____________(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)sinA＝a2R，sinB＝bsinC＝c2R(3)a∶b∶c＝________________；(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况项目A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞ba≤b解的个数________________________________3.三角形中常用的面积公式(1)S＝12aha(ha表示边a上的高)(2)S＝12absinC＝________＝________(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)【常用结论】1．三角形中的三角函数关系(1)sin(A＋B)＝sinC；(2)cos(A＋B)＝－cosC；(3)sinA+B2＝cosC(4)cosA+B2＝sinC2．在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A＞B⇔a＞b⇔sinA＞sinB⇔cosA＜cosB．自主诊断1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．()(2)在△ABC中，若sinA>sinB，则A>B.()(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．()(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a2<0时，△ABC为钝角三角形．()2．(人教A版必修二P44练习T2改编)在△ABC中，a＝2，b＝2，c＝3＋1，A．15°B．30°C．45°D．60°3．(人教A版必修二P47例7改编)在△ABC中，A＝15°，B＝45°，c＝3＋3，则a＝()A.22 B．C．2 D．34．(人教A版必修二P47例8改编)在△ABC中，B＝30°，b＝2，c＝2，则这个三角形解的个数为________．考教衔接·活用教材探究式精练收获一个“赢”命题点一利用正弦、余弦定理解三角形例1(1)(链接·2025年全国Ⅱ卷)在△ABC中，BC＝2，AC＝1＋3，AB＝6，则AA．45°B．60°C．120°D．135°(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝－14，sinB＝158，b＝2，则a＝(A．3B．15C．4D．5[听课笔记]学霸笔记：在解三角形中，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．跟踪训练(1)(2026·张家口模拟)在△ABC中，满足a2＝b2＋c2＋3bc，则A＝()A．150°B．30°或150°C．60°D．60°或120°(2)在△ABC中，若A＝π3，cosB＝63，BC＝6，则AC＝(A．4B．42C．3D．4命题点二判断三角形的形状例2在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a－ccosB＝b－ccosA，且c2＝a2＋b2－ab，则△ABC的形状为()A．钝角三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形D．等边三角形[听课笔记]学霸笔记：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系．(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁．无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能，注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制．跟踪训练在△ABC中，cos2A2＝b+c2c(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABCA．直角三角形B．等腰三角形或直角三角形C．等腰直角三角形D．正三角形命题点三与三角形面积有关的问题例3(2026·保定模拟)在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，sinA＝3sinC，cosB＝－13(1)求bc(2)若D为边BC上靠近点B的三等分点，AD＝26，求△ABC的面积．[听课笔记]学霸笔记：(1)求三角形面积，一般要先利用正弦定理、余弦定理以及两角和与差的三角函数公式等，求出角与边，再求面积；(2)已知三角形面积解三角形，常选用已知邻边求出其夹角，或利用已知角求出角的两边间的关系；(3)已知与三角形面积有关的关系式，常选用关系式中的角作为面积公式中的角，化为三角形的边角关系，再解三角形．跟踪训练(衔接·人教A版必修二P54T22)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acosC＋3asinC－b－c＝0.(1)求A；(2)若a＝2，△ABC的面积为3，求b，c.提示：请完成课时作业28

第七节余弦定理和正弦定理必备知识·助学教材知识清单1．b2＋c2－2bccosA a2＋c2－2accosB a2＋b2－2abcosCbsinBcsinCb22．121103．12bcsinA12ac自主诊断1．答案：(1)×(2)√(3)×(4)×2．解析：因为b<a<c，所以b边所对的角最小，所以由余弦定理得cosB＝a2+c2-b22ac＝4+答案：B3．解析：由三角形内角和定理，得C＝180°－(15°＋45°)＝120°，由正弦定理，得a＝csinA＝3+322答案：C4．解析：由正弦定理，得sinC＝csinBb＝2sin30°2＝22.因为c＞b，B＝30°，所以30°＜答案：2考教衔接·活用教材例1解析：(1)由题意得cosA＝AB2+AC2-BC22AB·AC＝6(2)因为cosA＝－14，所以sinA＝1-cos2A＝1--1答案：(1)A(2)C跟踪训练解析：(1)因为a2＝b2＋c2＋3bc，即b2＋c2－a2＝-3bc，所以cosA＝-3bc2bc＝-32，且(2)根据题意，cosB＝63，所以B∈0，π2，且sinB＝33，由正弦定理得BCsinA＝答案：(1)A(2)A例2解析：由c2＝a2＋b2－ab得a2＋b2－c2＝ab，所以cosC＝a2+b2-c22ab＝12.又C∈(0，π)，所以C＝π3.由a－ccosB＝b－ccosA，根据正弦定理可得sinA－sinCcosB＝sinB－sinCcosA，又sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC，所以sinBcosC＝sinAcosC．又cosC≠0，所以sinB＝sinA，由正弦定理可得a＝b.因为答案：D跟踪训练解析：cos2A2＝1+cosA2＝b+c2c＝sinB+sinC2sinC，则sinC＋sinC·cosA＝sinB＋sinC，即sinC·cosA＝sinB＝sin(A＋C)＝sinA·cosC＋sinC·cosA，则sinA·cosC＝0，由A，C∈(0答案：A例3解析：(1)因为sinA＝3sinC，所以由正弦定理得a＝3c，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝9c2＋c2－2×3c×c×-13＝12c则b＝23c，所以bc(2)由题意得BD＝a3＝c在△ABD中，由余弦定理得AD2＝c2＋c2－2×c×c×-13＝83c2所以c＝3，则a＝9，又sinB＝1-cos所以S△ABC＝12acsinB＝1跟踪训练解析：(1)根据正弦定理得asinA＝bsinB＝csinc＝2R，则acosC＋3asinC－b－c＝0可变为2RsinAcosC＋23R·sinAsinC－2RsinB－2RsinC＝0，且B＝π－(A＋C)，即sinAcosC＋3sinAsinC－sin(A＋C)－sin